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【329657】4.1函数和它的表示法

时间:2025-02-02 18:28:51 作者: 字数:13271字

变量与函数

教学目标

知识与技能:借助简单实例,学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题,能指出具体问题中的常量、变量.初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画,能举出涉及两个变量的实例,并指出由哪一个变量确定另一个变量,这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想,体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系,能判断两个变量间是否具有函数关系。

过程与方法:借助简单实例,引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法,感知现实世界中变量之间联系的复杂性,数学研究从最简单的情形入手,化繁为简。

情感态度与价值观:从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题,引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识,感知数学是有用、有趣的学科。

教学重难点

重点: 借助简单实例,从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念

 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 难点: 怎样理解“唯一对应”

教学过程

  1. 创设情境、导入新课

我们生活在一个运动的世界中,周围的事物都是运动的,例如:地球在宇宙中的运动这一问题,此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化,这是生活中的常识,学生都很容易理解。再例如,气温随着高度的升高而降低,年龄随着时间的增长而增长。这几个问题中都涉及两个量的关系,地球的位置与时间,温度与高度,年龄与时间。

二、合作交流、解读探究

1、气温问题:上图是北京春季某一天的气温T随时间t变化的图象,看图回答:

1)这天的8时的气温是 ℃,14时的气温是 ℃,最高气温是 ℃,最低气温是 ℃;

2)这一天中,在4~12时,气温( ),在16~24时,气温( )。

A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变

思考:

1)天气温度随 的变化而变化,即T 的变化而变化;

2)当时间t取定一个确定的值时,对应的温度T的取值是否唯一确定?

2、当正方形的边长x分别取1234567……时,正方形的面积S分别是多少?

3、某城市居民用的天然气,1m3收费2.88元,使用xm3)天然气应缴纳费用y=2.88x ,x=10时,缴纳的费用为多少?

思考:上述三个问题中,分别涉及哪些量的关系?那些量是变化的?那些量是不变的?哪个量的变化导致另一个量的变化而变化?在一个问题中,当一个量取了确定的值之后,另一个量对应的能取几个值?

在上面的三个问题中,其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化),变化的量叫做变量;有些量的值始终不变(例如正方形的面积……).并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就随之确定,且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答,在黑板上板书:

时间----气温

正方形边长----正方形面积

天然气费用--------天然气体积

学生们会得出: <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

师生对上述三个问题进行分析,找出它们的共性,归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量xy,如果对于x的每一个值,y总有唯一的值与它对应,我们就说x是自变量,yx的函数。

三、应用迁移、巩固提高

1 已知圆柱的高是4cm,底面半径是rcm,当圆柱的底面半径r由小变大时,圆柱的体积Vcm3r的函数。(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V,指出自变量r的取值范围;(2)当r=5,10时,V是多少(结果保留 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> )?

1r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化?这些变量是高r的函数吗?

2)试求体积Vr变化的关系式,并指出其中的常量、变量与自变量。

课堂练习

  1. 请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数:

  1. y =3000-300x

(2) y=x

(3) S=  <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

解:(1)常量是3000,-300;变量是xy;自变量是xyx的函数。(2)常量是1;变量是xy;自变量是xyx的函数。(3)常量是π;变量是rs;自变量是rsr的函数。

  1. 根据所给的条件,写出yx的函数关系式:

y x1/3 2。② y x的倒数的4倍。

矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm,宽是x cm

等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。

练习 教材P112页 练习12

四、全课小结

1.这一节课你有什么收获?还有什么疑问?你可以编一道题考一考同学,也可以向同学请教。

2.函数是一种“数”吗?

  1. 作业:

教材 P116A1

课后反思:


函数的表示法

教学目标

知识与技能:1、了解函数的三种表示法:(1)解析法(2)列表法(3)图象法;2、进一步理解函数值的概念;3、会在简单情况下,根据函数的表示式求函数的值。

过程与方法:1. 经历回顾思考,训练提高归纳总结能力。 2. 利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。

情感态度与价值观:积极参与活动,提高学习兴趣。

教学重难点

重点: 认清函数的不同表示方法,知道各自的优缺点,能按具体情况选用适当的方法。

难点: 函数表示方法的应用

教学过程

一、创设情境

问题1 小明的哥哥是一名大学生,他利用暑假去一家公司打工,报酬按16元/时计算.设小明的哥哥这个月工作的时间为 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 时,应得报酬为 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 元,填写下表后回答下列问题:

工作时间 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (时)

1

5

10

15

20

……

报酬 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (元)







1)在上述问题中,哪些是常量?哪些是变量?(常量16,变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

2)能用 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的代数式来表示 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的值吗?(能, <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =16 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

教师指出:在这个变化过程中,有两个变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ,对 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的每一个确定的值, <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 都有唯一确定的值与它对应.

问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势,其跳远的距离 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ()与助跑的速度 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (米/秒)有关.根据经验,跳远的距离 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (0< <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <10.5) 然后回答下列问题:

1)在上述问题中,哪些是常量?哪些是变量?(常量0.085,变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>(2)计算当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 分别为7.588.5时,相应的跳远距离 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 是多少(结果保留3个有效数字)? (3)给定一个 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的值,你能求出相应的 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的值吗?

教师指出:在这个变化过程中,有两个变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ,对 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的每一个确定的值, <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 都有唯一确定的值与它对应.

二、探究新知

函数的表示法:①解析法:问题12中, <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =16 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>  <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 这两个函数用等式来表示,这种表示函数关系的等式,叫作函数解析式,简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.

 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 列表法:有时把自变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的一系列值和函数 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的对应值列成一个表.这种表示函数关系的方法是列表法.(如表教材P110页动脑筋问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系)

图象法: 我们还可以用法来表示函数,例如图中的图象就表示骑车时热量消耗 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ()与身体质量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (千克)之间的函数关系.解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法.

教师指出:(1)解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法,都很重要,不能有所偏颇.尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到,教学中应引起学生的重视.

2)对于列表法,图象法,如何表示两个变量之间的函数关系,学生可能不太容易理解,教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法.

3)函数值概念:与自变量对应的值叫做函数值,它与自变量的取值有关,通常函数值随着自变量的变化而变化.

若函数用解析法表示,只需把自变量的值代人函数式,就能得到相应的函数值.例如函数 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =16 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ,当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =5时,把它代入函数解析式,得 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =16×5=80() <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =80叫做当自变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =5时的函数值.由于函数值的概念是由函数的概念派生出来,用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念,教学中也可以增加一些具体例子,来加深学生的印象.

若函数用列表法表示.我们可以通过查表得到.例如正方形面积与边长的函数关系中,当x=2时,函数值S=4;当x=6时,函数值S=36

若函数用图象法表示.例如骑车时热量消耗 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ()与身体质量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> (千克)之间的函数关系中,对给定的自变量的值,怎样求它的函数值呢?如x=50,我们只要作一直线垂直于x轴,且垂足为点(500),这条直线与图象的交点P(50399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值,即W=399()

学生看书P113—114页自学动脑筋和例2内容并完成P115页练习。

三、应用迁移、巩固提高

1 等腰△ABC的周长为20,底边BC长为 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ,腰AB长为 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ,求:(1 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 关于 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的函数解析式;(2)当腰长AB=7时,底边的长;(3)当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =11 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =4时,函数值是多少?

答案:1 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =20-2 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> ;(2)腰长AB=7,即 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =7时, <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =6,所以底边长为6;(3)当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =11 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =4时,函数值不再有意义.

说明(1)第1问中的函数解析式不能写成 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的形式,一定要把 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 写成 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的代数式,(2)实际问题中,自变量的取值范围往往受到条件的限制,本题的自变量的取值范围是5< <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> <10,具体的求法本节课不作介绍,放到下一节课中去完成,当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =11 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =4时,尽管可求出它对应的值,但自变量 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> 的值都不在相应的取值范围内,因此当 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =11 <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> =4时,函数值不再有意义.

2 某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示:

月用水量x()

0<x≤12

12<x≤18

x>18

收费标准y

(元/度)

2.00

2.50

3.00

1yx的函数吗?为什么?

2)分别求当x=10,16,20时的函数值,并说明它的实际意义.

答案:1)是,根据函数的概念,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值;(2)当x=10时,y=2×10=20(元).月用水量10度需交水费20(元);当x=16时,y=2×12+4×2.50=34(元).月用水量16度需交水费34(元);当x=20时,y=2×12+6×2.50+2×3=45(元).月用水量45度需交水费45(元).

DrawObject1 明 本例安排的目的两个:①是让学生进一步巩固函数的概念;②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法.本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义,即月用水量不超过12度时每度2元,超过12度不超过18度时每度2.5元,超过18度时每度3元,如月用水量为38度时,应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99(元).

3 下图是小明放学回家的折线图,其中t表示时间,s表示离开学校的路程. 请根据图象回答下面的问题:(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系?路程s可以看成t的函数吗?(2)求当t=5分时的函数值?(3)10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义?(4)学校离家有多远?小明放学骑自行车回家共用了几分钟?

答案:1)折线图反映了st两个变量之间的关系,路程s可以看成t的函数;(2)当t=5分时函数值为1km;(3)当 10≤t≤15时,对应的函数值是始终为2,它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟;(4)学校离家有3.5km,放学骑自行车回家共用了20分钟.

DrawObject2 、全课小结:

1、我们认识了函数的三种不同的表示方法:(1)解析法(2)列表法(3)图象法。并归纳总结出三种表示方法的优缺点,学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题,进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化.

其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系,我们可以归纳如下:

图象特征 函数变化规律

由左至右曲线呈上升状态. <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>  <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> yx的增大而增大.

由左至右曲线呈下降状态. <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> yx的增大而减小.

曲线上的最高点是(ab). <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> x=a时,y有最大值b

曲线上的最低点是(ab). <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> x=a时,y有最小值b

2、能够分析图象信息,解答有关问题.通过例题学会了用描点法画出函数图象,这样我们又一次利用了数形结合的思想.

五、作业

课本P116页 习题 第234567

课后反思: