2.6.2 菱形的判定
要点感知1 四条边__________的四边形是菱形.
预习练习1-1 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A.一组临边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
图1-1 图2-1
要点感知2 对角线__________的平行四边形是菱形.
预习练习2-1 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是( )
A.BA=BC B.AC，BD互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD
知识点1 四条边都相等的四边形是菱形
1.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__________，学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花圃的面积为__________.
3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD=BC，求证：四边形EFGH是菱形.
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________________(写出一个即可).
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC.
(1)求证：∠1=∠2；
(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.
6.如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
7.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的条件是( )
A.AB＝BC B.AC＝BC C.∠B＝60° D.∠ACB＝60°
第7题图 第9题图 第10题图
8.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
9.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.
10.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形.
12.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.
(1)求证BE=CD；
(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.
13.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由.
参考答案
要点感知1 都相等
预习练习1-1 B
要点感知2 互相垂直
预习练习2-1 B
1.B 2.菱形 24 m2
3.证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF=
AD.
同理可得：GH=
AD，GF=
BC，HE=
BC，
又AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.
∴四边形EFGH是菱形.
4.答案不唯一，如AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等
5.(1)证明：∵在△ADC和△ABC中，AD＝AB，AC=AC，DC=BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠1=∠2；
(2)四边形BCDE是菱形；
证明：∵DC=BC，∠1=∠2，
∴AC垂直平分BD.
又∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形.
6.证明：连接EF，交AD于点O，
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.
∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.
在△AEO和△AFO中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，
∴△AEO≌△AFO(ASA).
∴EO=FO.
∵A点与D点重合，
∴AO=DO.
∴EF，AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形.
7.B 8.C 9.25° 10.③
11.证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠B＝180°.
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠B＝∠D.
∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN.
∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
12.(1)证明：由题知AE＝AD,AB＝AC,∠BAC＝∠EAD＝α.
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠EAB=∠DAC.
∴△EAB≌△DAC.
∴BE＝CD.
(2)四边形BDFE是菱形.
∵AB＝AC，AD⊥BC,∴BD＝CD.
∵BE＝CD,∴BE＝BD.
∵△EAB≌△DAC，
∴∠EBF＝∠C.
∵∠ABC＝∠C,
∴∠EBF＝∠ABC.
∵BF＝BF,
∴△EBF≌△DBF.
∴EF＝DF.
∵EF∥BC,∴∠EFB＝∠FBD.
∴∠EFB＝∠EBF.
∴EF＝EB.
∴BD＝BE＝EF＝FD.
∴四边形BDFE是菱形.
13.(1)证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS).
∴∠AFB=∠AFD.
又∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE.
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.
又∵CF为公共边，
∴△BCF≌△DCF(SAS).
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°.
∴∠EFD=∠BCD.