1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

第2课时 勾股定理的实际应用

一、选择题(本大题共8小题)

1. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )

A.12米 B.13米 C.14米 D.15米

2. 如图，小 明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向 西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是(　　)

A.90米 B.100米 C.120米 D.150米

第2题图 第4题图 第5题图

3. 在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )

A.5 cm B.12 cm C.13 cm D. cm

4. 如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )

A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米

5. 如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15

6. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　）

A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米

7. 一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有　米．

A．23米 B．15米 C．25米 D．22米

8. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（　　）尺．

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5

第8题图 第9题图 第10题图

二、填空题(本大题共6小题)

9. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.

10. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行 一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.

11. 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过 ___________米。

第11题图 第12题图 第13题图

12.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，则图书室E应该建在距点A km处，才能使它到两所学校的距离相等。

13. 一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km．

14. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？

16. 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

17. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

18. 如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. A

分析：由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度。

解： ，故选A。

2. B

解：如图，构造Rt△ABC，根据勾股定理得

AC²=(40+40)²+(70-10)²=10000=100²，

即AC=100(米).故选B

3. C

分析：要判断能否放进去，关键是求得该木箱中的最长线段的长度，即AD的长，通过比较它们的大小作出判断．

解：解：如图，连接AC、AD．

在Rt△ABC中，有AC²=AB²+BC²=160，

在Rt△ACD中，有AD²=AC²+CD²=169，

∵AD= ，

∴能放进去的木棒的最大长度为13．故选：C．

4.B

分析：利用勾股定理解答即可。

解：这条木板的长为 =3.9（米）．

5.C

分析：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．

解：当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，

此时a就是圆柱形的高，

即a=12；

当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，
即线段AB的长，

在Rt△ABO中，AB= = =13，

∴此时a=13，

所以12≤a≤13．

故答案为：12≤a≤13．故选C。

6. A

分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．

解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．

故选A．

7. C

根据题意，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．

【解答】解：∵5²+12²=169，

∴= 13（m），

∴13+12=25（米）．

∴旗杆折断之前有25米．

故答案为：25．

8. C

分析：仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．

解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．

设水深h尺，由题意得：

Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，

由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，

即（h+3）²=h²+6²，

解得：h=4.5．

故选：C．

二、填空题(本大题共6小题)

9.

分析：利用勾股定理解答即可。

解：解：根据题意可知BC=200米，AC=520米，

由勾股定理得，

则，AB²= AC² -BC²

解得AB=480．

答：该河的宽度BA为480米．故答案为：480．

10. 解：如图所示，

因为PA=2×(4+2)=12cm，

AQ=5cm，

所以PQ²=PA²+AQ²

=12²+5²=13²，

所以PQ=13cm.答案：13

11.分析：为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．

解：解：连接OA，交⊙O于E点，

在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，

所以OA= =10；

又OE=OB=6，

所以AE=OA-OE=4．

因此选用的绳子应该不＞4，

12.

解：设AE=x km，则BE=(25-x)km.

在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE²=AE²+AC²=x²+15².

同理可得：DE²=(25-x)²+10².

若CE=DE，则

x²+15²=(25-x)²+10².解得x=10.

答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.

13.分析：根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．

解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．

在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km，

BC=30×0.5km=15km．

则AB=k m=17km

故答案为 17．

14.

分析：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：AB== 10（m），

则AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m），

故他们仅仅少走了：4×2=8（步）．

故 答案为：8．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．

解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB== = 480m，

答：该河流的宽度为480m．

16. 分析：首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．

解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米，

根据题意，得：

（30-x）²-（x+10）²=20²，

解得x=5．

即树的高度是10+5=15米．

17.

分析：根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．

解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m

在 Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²

∴x²+5²=（x+1）²

解得x=12

∴AB=12

∴旗杆的高12m．

18.

分析：在△RtAOB中依据勾股定理可知AB²=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．

解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB²=AO²+OB²=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′²=A′O²+OB′²．

∵ AB=A′B′，

∴A′O²+OB′²=40．

∴OB′== ．

∴BB′=6﹣．