1.1 直角三角形的性质和判定（Ι）

第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用

要点感知1 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.

预习练习1-1 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为( )

A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm

要点感知2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.

预习练习2-1 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，∠B的度数为( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

知识点1 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( )

A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm

2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )

A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

第2题图 第4题图

3.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( )

A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.

5.在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.

知识点2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

6.在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.

7.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC= AB,那么∠B=__________.

8.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是( )

A.30° B.60° C.30°或150° D.不能确定

9.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长.

知识点3 含30°锐角的直角三角形的应用

10.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )

A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC

12.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( )

A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm

13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )

A.25° B.30° C.45° D.60°

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( )

A.0°＜∠B＜15° B.∠B=15° C.15°＜∠B＜30° D.∠B=30°

第14题图 第16题图

15.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S_△ABC=__________.

16.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.

17.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，周长为3+3 ，AC=3，求BC的长.

18.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.

求证：CD⊥AB.

19.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )

A.30° B.30°或150° C.120°或150° D.30°或120°或150°

20.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.

参考答案

要点感知1 一半

预习练习1-1 B

要点感知2 30°

预习练习2-1 C

1.D 2.D 3.C 4.2

5.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，

∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.

∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.

故最短的边的长是4 cm.

6.30 7.30° 8.C

9.在Rt△AEC中，∵2CE=AC，

∴∠1=∠2=30°.

∵AD=BD=4，

∴∠B=∠2=30°.

∴∠ACD=180°-30°×3=90°.

∴CD= AD=2.

10.由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.

在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.

∴AB=BC=2BD.

∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，

∴BD=80海里.

∴AB=BC=160海里.

∴AD=160+80=240(海里).

因此船从A到D一共走了240海里.

11.A 12.B 13.B 14.D 15.10 16.12

17.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,

∴AB=2BC.

∴AB+BC+AC=3BC+3=3+3 .解得BC= ,

即BC的长为 .

18.证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，

∴CM= AB=BM.

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴CB= AB=BM.

∴CM=CB.

∵D为MB的中点，

∴CD⊥BM，

即CD⊥AB.

19.D

20.取CD的中点E,连接AE,

∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.

∵E是CD的中点,CD=2,

∴AE= CD=DE=CE= ×2=1.

∵BD=1,∴BE=CD.

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

又∵AB=AC,

∴△ABE≌△ACD（SAS）.

∴AD=AE=1= CD.

又∵∠CAD=90°,

∴∠C=30°.