1.2 怎样判定三角形全等

基础巩固

一、填空题

1．木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图1所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是_______________________．

图1 图2

2．如图2所示，已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，则另外两组对应边为________，另外两组对应角为________．

3．如图3所示，AE、BD相交于点C，要使△ABC≌△EDC，至少要添加的条件是________________，理由是________________．

图3 图4 图5

4．如图4所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，根据是_______，AD与BC的位置关系是_______．

5．如图5所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．

作法：(1)作一条线段AB=________；

(2)分别以_______、_______为圆心，以________为半径画弧，两弧交于C点；

(3)连接_______、_______，则△ABC就是所求作的三角形．

二、选择题

6．如图6所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，则图中全等三角形共有( )对．

图6

A．2 B．3 C．4 D．5

7．全等三角形是( )

A．三个角对应相等的三角形

B．周长相等的两个三角形

C．面积相等的两个三角形

D．三边对应相等的两个三角形

8．如图7所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定( )

A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE

C．△ABE≌△ACE D．以上都不对

图7

9．如图8所示，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )

图8

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

10．以长为13 cm、10 cm、5 cm、7 cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

11．如图9所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是( )

A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边

图9 图10

三、解答题

12．如图10，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

综合提高

一、填空题

13．如图11，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB．

图11 图12

14．如图12，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 （不包括AB＝CD和AD＝BC）．

15．如图13，∠E＝∠F＝90⁰，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是 （填序号）．

图13 图14

16．如图14所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论(不在图中添加辅助线)．条件是________­­­­­­­­_­­­______，结论为__________．

1 7．完成下列分析过程．

如图15所示，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：AB=CD．

分析：要证AB=CD，只要证△________≌△________；需先证∠________=∠________，∠________=∠________．

由已知“________∥________”，可推出∠________=∠________，________∥________，可推出∠________=∠________，且公共边________=________，因此，可以根据“________”判定△________≌△________．

二、选择题

18．如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角( )

A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等

19．如图16所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件( )

A．∠A=∠D B．∠C=∠E

C．∠D=∠E D．∠ABD=∠CBE

图16 图17 图18

20．如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是( )

①△APC≌△BPD ②△ADO≌△BCO ③△AOP≌△BOP ④△OCP≌△ODP

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

21．已知△ABC不是等边三角形，P是△ABC所在平面上一点，P不与点A重合且又不在直线BC上，要想使△PBC与△ABC全等，则这样的P点有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

22．如图18所示，△ABC中，AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是( )

A．45° B．55° C．75° D．60°

三、解答题

23．已知△ABC与△ 中，AC＝ ，BC＝ ，∠BAC＝∠ ，

（1）试证明△ABC≌△ ．

（2）上题中，若将条件改为AC＝ ，BC＝ ，∠BAC＝∠ ，结论是否成立？为什么？

24．已知：如图19，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC．求证：OB=OD．

拓展探究

一、填空题

25．如图20所示，某同学不小心把一块三角形的玻璃仪器打碎成三块，现要去玻璃店配制一块完全一样的，那么最省事的办法是带________去．

图20

26．在△ABC和△ADC中，有下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个正确的因果关系，则条件是__________，结论为__________．

二、选择题

27．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是 ( )

①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F

A．①②③ B．②③④

C．①③④ D．①②④

28．图21是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是( )

图21

A．AD和BC，点D B． AB和AC，点A

C． AC和BC，点C D．AB和AD，点A

三、解答题

29．如图22，已知AD是△ABC的中线， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， 且BE=CF， 求证：(1)AD是∠BAC的平分线；(2)AB=AC．

30. 某公园有一块三角形的空地△ABC(如图23)，为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？

3 1．如图24，已知： AO=DO，EO=FO，BE=CF．能否推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF？

32．如图25所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？

参考答案

基础巩固

一、填空题

1． 三角形的稳定性 2．BC=DE、AC=AE ，∠B=∠ADE、∠BAC=∠DAE

3． BC=DC或AC=EC ，两个三角形全等至少有一组对应边相等

4．“边边边公理(SSS)” ， AD⊥BC 7． 2

5．(1) a ；(2) A 、 B ， 2a ；(3) AC 、 BC 。

二、选择题

6．B 7．D 8．C 9．B 10．C 11．D

三、解答题

12．解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：

（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE=BA．即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图甲）

（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE∥AB，使A、C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE=BA．即DE的长就是A、B间的距离．（如图乙）．

综合提高

一、填空题

13．AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；

14．DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；

15．①②③ 16．AB=AC 、BD=CD

17．要证AB=CD，只要证△ABC≌△CDA；需先证∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD．

由已知“AB∥DC”，可推出∠BAC=∠DCA，AD∥BC ，可推出∠ACB=∠CAD，且公共边AC=CA，因此，可以根据“角边角公理(ASA)”判定△ABC≌△CDA．

二、选择题

18．D 19．D 20．A 21．C 22．D

三、解答题

23．解： （1）如图1，作CD⊥BA于D， ．

∵∠BAC＝∠ ，∴∠CAD＝∠ ＝70°，

∴△ADC≌△ （AAS），∴CD＝ ．

在Rt△BDC与Rt△ 中，BC＝ ，CD＝ ．

∴Rt△BDC≌Rt△ （HL），∴ ∠B＝∠ ．

　　∴在△ABC与△ 中，

∴△ABC≌△ （AAS）．

图2

（2）若将条件改为AC＝ ，BC＝ ，∠BAC＝∠ ，结论不一定成立，如图2所示，△ABC与△ 中AC＝ ，BC＝ ，∠BAC＝∠ ，但△ABC与△ 显然不全等．

24．分析：要证出OB=OD，需要在△BCO和△DCO中证出此两个三角形全等，但需要有∠DCO=∠BCO．这两角相等又可以从△ABC≌△ADC得到．因此需要证明两次全等．

证明：在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SAS)

∴∠DCO=∠BCO(全等三角形对应角相等)

在△BCO和△DCO中，

∴△BCO≌△DCO(SAS)

∴OB=OD(全等三角形对应边相等)

拓展探究

一、填空题

25．③ 26．①AB=AD；②∠BAC=∠DAC，③BC=DC 或①AB=AD；③BC=DC，②∠BAC=∠DAC ．

二、选择题

27．C 28．A

三、解答题

29．[思路分析] 要证∠1=∠2， 需证∠1，∠2所在的两个三角形全等， 即证Rt△DAE≌△Rt△DAF， 由于AD是公共边， 若证出DE=DF， 就可用HL证全等， DE和DF分别在Rt△BED和Rt△CFD中， 所以只要证出Rt△BED≌Rt△CFD即可．

证明： (1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．

在Rt△EBD和Rt△FCD中

∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)，

∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)

在Rt△AED和Rt△AFD中，

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，

∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)，即AD是∠BAC的平分线．

(2)∵Rt△AED≌Rt△AFD(已证)，∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)．

又∵BE=CF(已知)，∴AB=AC．

30．解：这种设计是正确的．以证EF∥BC且EF＝ 为例．延长FE至G，使EG＝FE，连结CG，FC．易证得△AEF≌△CEG．∴AF＝CG，∠AFE＝∠G，∴AB∥CG．在△BFC与△GCF中，BF＝AF＝CG，∠BFC＝∠GCF，CF＝FC，∴△BFC≌△GCF，∴FG＝BC，FG∥BC．即EF∥BC且EF＝ ．故可知△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF．

31．解：在△AOE和△DOF中，

∴△AOE≌△DOF ∴AE=DF，∠AEO=∠DFO

又∵∠AEB+∠AEO=∠DFC+∠DFO=180° ∴∠AEB=∠DFC

在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF．

故可以推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF．

32．证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，

所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） ∴∠ABC=∠DEF

又∵∠DEF+∠DFE=90° ∴∠ABC+∠DFE=90°

即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．