【323799】2024八年级数学上册 第十五章 二次根式综合素质评价（新版）冀教版

第十五章综合素质评价

1．在式子 (x＞0)， ， (y＝－2)， (x＞0)， ， ，x＋y中，二次根式有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2．[2024·邢台期末]若 ＝－a－1，则a的值可以是(　　)

A.4 B.2 C.0 D.－2

3．下列计算正确的是(　　)

A.3²＝6 B. ＝－

C.(－2a²)²＝2a⁴ D. ＋2 ＝3

4．[母题·教材P106复习题C组T1] 若 是整数，则正整数n的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

5．已知a＝ ＋1，b＝ ，则a与b的关系为(　　)

A. a＝b B. ab＝1 C. a＝－b D. ab＝－1

6．已知a，b，c为△ABC的三边长，且 ＋｜b－c｜＝0，则a，b，c的大小关系是(　　)

A. a＝b＞c B. a＝b＝c C. a＞b＞c D. a＜b＝c

7．已知a－b＝2 －1，ab＝ ，则(a＋1)(b－1)的值为(　　)

A.－ B.3 C.3 －2 D. －1

8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简

｜a－b｜－ 的结果是(　　)

(第8题)

A.2a＋b B. b C.2a－b D.－b

9．[母题·教材P106复习题B组T3] 当x＝ －1时，代数式x²＋2x＋3的值是(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(　　)

(第10题)

A. B.2 C.2 D.6

11．如果x是6－ 的小数部分，那么x²的值为(　　)

A.6－4 B.16 C.3－2 D.6＋4

12．[新考法·新定义运算]对于任意的正数m，n，定义运算“※”：m※n＝ 计算(3※2)×(8※12)的结果为(　　)

A.2－4 B.2 C.2 D.20

二、填空题(每题3分，共12分)

13．[2024·邢台第三中学月考]若 有意义，则n的取值范围是　　　　；若 是整数，则整数n的值是　　　　.

14．[母题·教材P81复习题A组T6] 比较大小：3 　　　　2 (填“＞”“＜”或“＝”).

15．计算： －3 ＝　　　　.

16．[2022·宜宾]《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S＝ .现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为　　　　.

三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分)

17．[母题·教材P101例1] 计算：

(1) × ； (2)( ＋ )× ÷3 .

18．(1)先化简，再求值： ÷ ，其中a＝2＋ ，b＝2－ .

(2)已知a＋b＝－2，ab＝ ，求 ＋ 的值.

19．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简 － ＋ .

20．[2024·石家庄第五十四中学期末]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是　　　　；

(2)请给出正确的求解过程.

21．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是 m，下底是

m，高是 m.

(1)求横断面的面积.

(2)若用300m³的土，可修多长的拦河坝.

22．观察下列各式：

＝1＋ － ＝1 ，

＝1＋ － ＝1 ，

＝1＋ － ＝1 .

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

(1) ＝　　　　；

(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的

等式：　　　　；

(3)利用上述规律计算： (仿照上式写出过程).

23．[新考法·阅读类比法] · ＝a(a≥0)，

( ＋1)( －1)＝b－1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如( ＋1)( －1)＝( )²－1＝1，( － )( ＋ )＝( )²－( )²＝2，其中 －1与 ＋1， － 与 ＋ 都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化.请完成下列问题：

(1)计算： ＝　　　　， ＝　　　　；

(2)已知有理数a，b满足 － ＝2 －1，则a＝　　　　，

b＝　　　　；

(3)计算： ＋ ＋ ＋…＋ .

答案

一、1. B【点拨】 （x＞0）， ， 是二次根式；

（y＝－2）， （x＞0）没有意义， 不是二次根式，x＋y是整式，即二次根式有3个.

2. D【点拨】∵ ＝－a－1＝－（a＋1），

∴a＋1≤0，则a≤－1.

故选项D符合题意，选项A，B，C不符合题意.

3. D

4. B【点拨】 ＝5 ，要使 为整数，那么3n必须为完全平方数，则正整数n的最小值为3.

5. A　【点拨】b＝ ＝ ＝ ＝ ＋1＝a.

6. B【点拨】原等式可化为｜a－b｜＋｜b－c｜＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0，∴a＝b＝c.

7. A【点拨】（a＋1）（b－1）＝ab－（a－b）－1.将a－b＝2 －1，ab＝ 整体代入上式，得原式＝ －（2 －1）－1＝－ .

8. B【点拨】由数轴上点的位置知a＜0，a－b＜0，所以｜a－b｜－ ＝b－a＋a＝b.

9. D【点拨】x²＋2x＋3＝（x＋1）²＋2＝（ －1＋1）²＋2＝5＋2＝7.

10. B【点拨】设长方形的长和宽分别为a，b（a＞b＞0），则大正方形的边长为b，小正方形的边长为a－b.由题可得，b²＝8，（a－b）²＝2，解得b＝2 ，a－b＝ ，即可求得左边的小长方形的面积为b（a－b）＝2 × ＝4，所以图中阴影部分的面积为4－2＝2.

11. A【点拨】∵1＜2＜4，∴1＜ ＜2.∴－2＜－ ＜－1.∴4＜6－ ＜5.∴6－ 的小数部分x＝6－ －4＝2－ .∴x²＝（2－ ）²＝4－4 ＋2＝6－4 .

12. B【点拨】∵3＞2，∴3※2＝ － .∵8＜12，∴8※12＝ ＋ ＝2×（ ＋ ）.∴（3※2）×（8※12）＝（ － ）×2×（ ＋ ）＝2.

二、13. n＞1；13或4【点拨】∵ 有意义，

∴n－1＞0，解得n＞1.

∵ 是整数，n是整数，

∴n－1＝12或n－1＝3，

解得n＝13或n＝4.

14.＞　15.

16.3 【点拨】∵周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，∴设a＝4k，则b＝3k，c＝2k.∴4k＋3k＋2k＝18，解得k＝2.∴a＝8，b＝6，c＝4.

∴S＝

＝

＝ ＝ ＝3 .

三、17.【解】（1）原式＝ × ＋ ×

＝1＋9

＝10.

（2）原式＝（3 ＋2 ）÷3

＝1＋ .

18.（1）【解】原式＝ ÷ ＝ · ＝ ，当a＝2＋ ，b＝2－ 时，原式＝ ＝ ＝ .

（2）由题意知a＜0，b＜0，所以原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝

－ ＝－ ＝2 .

19.【解】∵a，b，c是△ABC的三边长，

∴a＋b＋c＞0，b＋c－a＞0，c－b－a＜0，

∴原式＝a＋b＋c－（b＋c－a）－（c－b－a）＝3a＋b－c.

20.【解】（1）甲、乙、丁【点拨】 －（ － ）－2 ＝ － ＋ － ，故甲错误；

＋ － ＋ －2× ＝ ＋ －2× ，故乙错误；

－ －2× ＝ －3 ，故丙正确；

－3 已是最简，不能再合并了，故丁错误.

∴自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁.

（2） －（ － ）－2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ －2 .

21.【解】（1） ×（ ＋ ）× ＝ ×（2 ＋4 ）× ＝ ×6 × ＝3 （m²）.

答：横断面的面积为3 m².

（2） ＝ ＝ ＝ ＝ （m）.

答：可修 m长的拦河坝.

22.【解】（1）1＋ － ＝1

（2） ＝1＋ － ＝1＋

（3） ＝ ＝1＋ － ＝1 .

23.【解】（1） ； ＋ 【点拨】 ＝ ＝ ；

＝ ＝ ＝ ＝ ＋ .

（2）－1；－1【点拨】∵ － ＝2 －1，

∴ － ＝2 －1.

∴ － ＝2 －1.

∴ － ＝2 －1.

∴a（2－ ）－b（ ＋1）＝2 －1.

∴2a－ a－ b－b＝2 －1.

∴（2a－b）－ （a＋b）＝2 －1.

∵a，b都是有理数，

∴ ∴

（3）∵ ＝

＝ ＝

＝ ，

∴ ＋ ＋ ＋…＋

＝ ＋ ＋ ＋…＋

＝ .