第十五章综合素质评价
题 号 |
一 |
二 |
三 |
总 分 |
得 分 |
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1．在式子
(x＞0)，
，
(y＝－2)，
(x＞0)，
，
，x＋y中，二次根式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2．[2024·邢台期末]若
＝－a－1，则a的值可以是( )
A.4 B.2 C.0 D.－2
3．下列计算正确的是( )
A.32＝6 B.
＝－
C.(－2a2)2＝2a4 D.
＋2
＝3
4．[母题·教材P106复习题C组T1]
若
是整数，则正整数n的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．已知a＝
＋1，b＝
，则a与b的关系为( )
A. a＝b B. ab＝1 C. a＝－b D. ab＝－1
6．已知a，b，c为△ABC的三边长，且
＋｜b－c｜＝0，则a，b，c的大小关系是( )
A. a＝b＞c B. a＝b＝c C. a＞b＞c D. a＜b＝c
7．已知a－b＝2
－1，ab＝
，则(a＋1)(b－1)的值为( )
A.－
B.3
C.3
－2 D.
－1
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简
｜a－b｜－
的结果是( )
(第8题)
A.2a＋b B. b C.2a－b D.－b
9．[母题·教材P106复习题B组T3]
当x＝
－1时，代数式x2＋2x＋3的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )
(第10题)
A.
B.2 C.2
D.6
11．如果x是6－
的小数部分，那么x2的值为( )
A.6－4
B.16 C.3－2
D.6＋4
12．[新考法·新定义运算]对于任意的正数m，n，定义运算“※”：m※n＝
计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A.2－4
B.2 C.2
D.20
二、填空题(每题3分，共12分)
13．[2024·邢台第三中学月考]若
有意义，则n的取值范围是 ；若
是整数，则整数n的值是 .
14．[母题·教材P81复习题A组T6]
比较大小：3
2
(填“＞”“＜”或“＝”).
15．计算：
－3
＝ .
16．[2022·宜宾]《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S＝
.现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 .
三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分)
17．[母题·教材P101例1] 计算：
(1)
×
； (2)(
＋
)×
÷3
.
18．(1)先化简，再求值：
÷
，其中a＝2＋
，b＝2－
.
(2)已知a＋b＝－2，ab＝
，求
＋
的值.
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简
－
＋
.
20．[2024·石家庄第五十四中学期末]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 ；
(2)请给出正确的求解过程.
21．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是
m，下底是
m，高是
m.
(1)求横断面的面积.
(2)若用300m3的土，可修多长的拦河坝.
22．观察下列各式：
＝1＋
－
＝1
，
＝1＋
－
＝1
，
＝1＋
－
＝1
.
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)
＝ ；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的
等式： ；
(3)利用上述规律计算：
(仿照上式写出过程).
23．[新考法·阅读类比法]
·
＝a(a≥0)，
(
＋1)(
－1)＝b－1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如(
＋1)(
－1)＝(
)2－1＝1，(
－
)(
＋
)＝(
)2－(
)2＝2，其中
－1与
＋1，
－
与
＋
都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化.请完成下列问题：
(1)计算：
＝ ，
＝ ；
(2)已知有理数a，b满足
－
＝2
－1，则a＝ ，
b＝ ；
(3)计算：
＋
＋
＋…＋
.
答案
一、1.
B【点拨】
（x＞0），
，
是二次根式；
（y＝－2），
（x＞0）没有意义，
不是二次根式，x＋y是整式，即二次根式有3个.
2.
D【点拨】∵
＝－a－1＝－（a＋1），
∴a＋1≤0，则a≤－1.
故选项D符合题意，选项A，B，C不符合题意.
3. D
4.
B【点拨】
＝5
，要使
为整数，那么3n必须为完全平方数，则正整数n的最小值为3.
5.
A 【点拨】b＝
＝
＝
＝
＋1＝a.
6. B【点拨】原等式可化为｜a－b｜＋｜b－c｜＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，∴a＝b＝c.
7.
A【点拨】（a＋1）（b－1）＝ab－（a－b）－1.将a－b＝2
－1，ab＝
整体代入上式，得原式＝
－（2
－1）－1＝－
.
8.
B【点拨】由数轴上点的位置知a＜0，a－b＜0，所以｜a－b｜－
＝b－a＋a＝b.
9.
D【点拨】x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2＝（
－1＋1）2＋2＝5＋2＝7.
10.
B【点拨】设长方形的长和宽分别为a，b（a＞b＞0），则大正方形的边长为b，小正方形的边长为a－b.由题可得，b2＝8，（a－b）2＝2，解得b＝2
，a－b＝
，即可求得左边的小长方形的面积为b（a－b）＝2
×
＝4，所以图中阴影部分的面积为4－2＝2.
11.
A【点拨】∵1＜2＜4，∴1＜
＜2.∴－2＜－
＜－1.∴4＜6－
＜5.∴6－
的小数部分x＝6－
－4＝2－
.∴x2＝（2－
）2＝4－4
＋2＝6－4
.
12.
B【点拨】∵3＞2，∴3※2＝
－
.∵8＜12，∴8※12＝
＋
＝2×（
＋
）.∴（3※2）×（8※12）＝（
－
）×2×（
＋
）＝2.
二、13.
n＞1；13或4【点拨】∵
有意义，
∴n－1＞0，解得n＞1.
∵
是整数，n是整数，
∴n－1＝12或n－1＝3，
解得n＝13或n＝4.
14.＞ 15.
16.3
【点拨】∵周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，∴设a＝4k，则b＝3k，c＝2k.∴4k＋3k＋2k＝18，解得k＝2.∴a＝8，b＝6，c＝4.
∴S＝
＝
＝
＝
＝3
.
三、17.【解】（1）原式＝
×
＋
×
＝1＋9
＝10.
（2）原式＝（3
＋2
）÷3
＝1＋
.
18.（1）【解】原式＝
÷
＝
·
＝
，当a＝2＋
，b＝2－
时，原式＝
＝
＝
.
（2）由题意知a＜0，b＜0，所以原式＝
＋
＝
＋
＝
＋
＝
－
＝－
＝2
.
19.【解】∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b＋c＞0，b＋c－a＞0，c－b－a＜0，
∴原式＝a＋b＋c－（b＋c－a）－（c－b－a）＝3a＋b－c.
20.【解】（1）甲、乙、丁【点拨】
－（
－
）－2
＝
－
＋
－
，故甲错误；
＋
－
＋
－2×
＝
＋
－2×
，故乙错误；
－
－2×
＝
－3
，故丙正确；
－3
已是最简，不能再合并了，故丁错误.
∴自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁.
（2）
－（
－
）－2
＝
－
＋
－
＝
＋
－2
.
21.【解】（1）
×（
＋
）×
＝
×（2
＋4
）×
＝
×6
×
＝3
（m2）.
答：横断面的面积为3
m2.
（2）
＝
＝
＝
＝
（m）.
答：可修
m长的拦河坝.
22.【解】（1）1＋
－
＝1
（2）
＝1＋
－
＝1＋
（3）
＝
＝1＋
－
＝1
.
23.【解】（1）
；
＋
【点拨】
＝
＝
；
＝
＝
＝
＝
＋
.
（2）－1；－1【点拨】∵
－
＝2
－1，
∴
－
＝2
－1.
∴
－
＝2
－1.
∴
－
＝2
－1.
∴a（2－
）－b（
＋1）＝2
－1.
∴2a－
a－
b－b＝2
－1.
∴（2a－b）－
（a＋b）＝2
－1.
∵a，b都是有理数，
∴
∴
（3）∵
＝
＝
＝
＝
，
∴
＋
＋
＋…＋
＝
＋
＋
＋…＋
＝
.