第十四章综合素质评价
八年级数学 上(R版) 时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列运算正确的是( )
A．a2·a4＝a8 B．(a2)3＝a5
C．－a2·ab＝－a3b D．a5÷a3＝2
2.
一颗人造地球卫星的速度是2.88×104千米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×103千米/时，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的( )
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．20倍
3．关于代数式(a＋1)0，下列说法正确的是( )
A．(a＋1)0的值一定是0 B．(a＋1)0的值一定是1
C．当a≠0时，(a＋1)0的值是1 D．当a≠－1时，(a＋1)0的值是1
4．已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，那么m－n＝( )
A．－11 B．5 C．1 D．－1
5．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列变形中，正确的是( )
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[a－(b－c)][(a－c)＋b] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
6．若(x＋m)(x2＋nx＋1)的展开式中常数项为－2，且不含x2项，则展开式中的一次项系数为( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
7．已知m2＝3n＋a，n2＝3m＋a，m≠n，则m2＋2mn＋n2的值为( )
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
8.（2024聊城东昌中学教育集团月考)下列因式分解正确的是( )
A．2－8a2＝2(1＋2a)(1－2a) B．4x2－4xy＋1＝(2x＋1)2
C．x2＋x－2＝(x＋1)－2 D．x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)
9．某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大2厘米，另一边缩短2厘米，改成长方形地砖，若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比( )
A．增加了4b元 B．增加了2ab元
C．减少了4b元 D．减少了2ab元
10.
现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图①，已知点H为AE的中点，连接DH，FH，将乙纸片放到甲的内部得到图②，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图②的阴影部分面积为6，则图①的阴影部分面积为( )
A．3 B．19 C．21 D．28
二、填空题(每题3分，共18分)
11.（2024太原晋源区月考)已知2m＝a，2n＝b，m，n为正整数，则23m＋4n＝________．
12．三个连续奇数，中间一个是k，则这三个数的积为________．
13．一个多项式4x3y－M可以分解因式得4xy(x2－y2＋xy)，那么M等于________．
14.
若25x2＋1加上一个单项式能成为一个完全平方式，则这个单项式是________．(写一个即可)
15.（2024沈阳南昌初级中学月考)小明将(2 023x＋2 024)2展开后得到a1x2＋b1x＋c1，小李将(2 024x＋2 023)2展开后得到a2x2＋b2x＋c2，若两人计算过程无误，则a1－a2的值为________．
16．若(－x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，则(a0＋a2)2－(a1＋a3)2的值为________．
三、解答题(共8小题，满分72分)
17．(8分)分解因式：
(1)x3－25x; (2)m2n－4mn＋4n.
18．(8分)先化简，再求值：
[(m－2n)(m＋2n)＋(m－n)2－n(m－3n)]÷，其中m，n满足(2ambm＋n)3＝8a3b15.
19．(8分)（2024无锡水秀中学期中)已知7m＝4，7n＝5，7p＝80.
(1)求73m的值；
(2)求7m－2n＋p的值；
(3)字母m，n，p之间的数量关系为________．
20.(8分)
定义一种新运算：规定F(a，b)＝ab，例如F(1，2)＝1×2＝2.
(1)已知A＝F(x＋2y，x－2y)，B＝F(4y，x－2y)，分别求A，B；
(2)通过计算比较A与B的大小．
21．(8分)甲、乙两人共同计算一道整式：(x＋a)(2x＋b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2－7x＋3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2＋2x－3.
(1)求(－2a＋b)(a＋b)的值；
(2)请计算这道题的正确结果．
22．(10分)（2024湖州吴兴区期中)如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：(a＋b)2，(a－b)2，4ab之间的等量关系式为________________________________________________________；
(2)若m，n均为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，运用(1)所得到的公式求m－n的值；
(3)如图③，S1，S2分别表示边长为x，y的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S1＋S2＝20，AB＝x＋y＝6，求图中阴影部分的面积．
23．(10分)（2024北京师大附中期中)在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
(1)图①是（2023年11月的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分)，将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：7×21－6×22＝________，4×18－3×19＝________，不难发现，结果都等于________．
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明．
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住的部分(阴影部分)9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数a＝________．
24．(12分)
（教材中这样写道：“我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2＋2x－3.
原式＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．
例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值．
原式＝x2＋4x＋4＋2＝(x＋2)2＋2.
∵(x＋2)2≥0，
∴当x＝－2时，x2＋4x＋6有最小值，最小值是2.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2－4m－5；
(2)求代数式x2－6x＋12的最小值；
(3)若y＝－x2＋2x－3，当x＝________时，y有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－6a－10b－6c＋43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
答案
一、1.C 2.C 3.D 4.A
5．D
【点方法】此题主要考查了平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，解题的关键是分别找出两个括号中符号相同的和符号不同的项．
6．D 点拨：(x＋m)(x2＋nx＋1)
＝x3＋nx2＋x＋mx2＋mnx＋m
＝x3＋(m＋n)x2＋(mn＋1)x＋m.
∵展开式中常数项为－2，且不含x2项，
∴m＝－2，m＋n＝0，
∴n＝2，
∴mn＋1＝－3.
7．A 点拨：∵m2＝3n＋a，n2＝3m＋a，
∴m2－n2＝3n－3m，
∴(m＋n)(m－n)＋3(m－n)＝0，
∴(m－n)(m＋n＋3)＝0，
∵m≠n，
∴m＋n＋3＝0，
∴m＋n＝－3，
∴m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝(－3)2＝9.
8．A
9．C 点拨：根据题意，得每块正方形地砖的面积为a2平方厘米，每块长方形地砖的面积为(a＋2)(a－2)＝a2－4(平方厘米)，每块长方形地砖的面积比正方形地砖减少了4平方厘米，因此这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比，减少了4b元．
10．B 点拨：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x＋y＝8，
∴(x＋y)2＝64，即x2＋y2＋2xy＝64，
∵点H为AE的中点，∴AH＝EH＝4，
∵题图②的阴影部分面积＝(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝6，
∴(x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝64＋6＝70，
∴x2＋y2＝35，
∴题图①的阴影部分面积＝x2＋y2－×4x－×4y＝x2＋y2－2(x＋y)＝35－2×8＝19.
二、11.a3b4 12.k3－4k 13.4xy3－4x2y2
14．10x 点拨：①25x2是平方项时，25x2±10x＋1＝(5x±1)2，
∴可添加的项是10x或－10x.
②25x2是乘积二倍项时，x4＋25x2＋1＝，
∴可添加的项是x4.
③完全平方式是单项式时，可添加的项是－25x2或－1.
综上所述，可添加的项是10x或－10x或x4或－25x2或－1.
15．－4 047 点拨：根据题意得a1＝2 0232，a2＝2 0242，
∴a1－a2＝2 0232－2 0242
＝(2 023＋2 024)×(2 023－2 024)
＝－4 047.
16．1 点拨：(－x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，
若令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＝(－1)3；
若令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＝(＋1)3，
所以(a0＋a2)2－(a1＋a3)2
＝(a0＋a2＋a1＋a3)(a0＋a2－a1－a3)
＝(－1)3×(＋1)3
＝[(－1)×(＋1)]3
＝1.
三、17.解：(1)原式＝x(x2－25)
＝x(x－5)(x＋5)．
(2)原式＝n(m2－4m＋4)
＝n(m－2)2.
18．解：原式＝(m2－4n2＋m2－2mn＋n2－mn＋3n2)÷
＝(2m2－3mn)÷
＝4m－6n，
∵m，n满足(2ambm＋n)3＝8a3b15，
∴8a3mb3(m＋n)＝8a3b15，
∴
解得
则原式＝4×1－6×4
＝4－24
＝－20.
19．解：(1)∵73m＝(7m)3，7m＝4，
∴73m＝43＝64.
(2)∵7m－2n＋p＝，7m＝4，，7n＝5，7p＝80，
∴7m－2n＋p＝＝.
(3)p＝2m＋n 点拨：∵7m＝4，7n＝5，7p＝80，80＝16×5＝42×5，
∴7p＝(7m)2·7n＝72m＋n.
∴p＝2m＋n.
20．解：(1)A＝F(x＋2y，x－2y)＝(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2.
B＝F(4y，x－2y)＝4y(x－2y)＝4xy－8y2.
(2)A－B＝x2－4y2－(4xy－8y2)＝x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2.
∵(x－2y)2≥0，∴A≥B.
21．解：(1)∵甲抄错了a的符号，∴计算结果为(x－a)(2x＋b)＝2x2＋(－2a＋b)x－ab＝2x2－7x＋3，
∴－2a＋b＝－7，－ab＝3.
∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数，
∴计算结果为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋2x－3，
∴a＋b＝2，ab＝－3，
∴(－2a＋b)(a＋b)＝－7×2＝－14.
(2)由(1)可知
解得
∴正确的计算结果为(x＋3)(2x－1)＝2x2＋5x－3.
22．解：(1)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
(2)由(1)可得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn.
∵m＋n＝－2，mn＝－3，
∴(m－n)2＝(－2)2－4×(－3)＝16.
∴m－n＝±4.
(3)∵S1＋S2＝20，
∴x2＋y2＝20.
又∵x＋y＝6，∴S阴影＝S△ACF＋S△BCD＝xy＋xy＝xy＝[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝×(62－20)＝8.
23．(1)15；15；15 点拨：7×21－6×22＝15，4×18－3×19＝15，结果都是15.
(2)证明：∵“Z”字型框架中位置C上的数为x，
∴A，B，D，E四个数依次为x－8，x－7，x＋7，x＋8，
由题意得
(x－7)(x＋7)－(x－8)(x＋8)
＝(x2－49)－(x2－64)
＝x2－49－x2＋64
＝15.
(3)11 点拨：∵中间位置上的数为a，
∴最小的数为a－8，最大的数为a＋8，
由题意得(a－8)(a＋8)＝57，
∴a2－64＝57，
∴a2＝121，
∴a＝11或－11(负值舍去)，
∴a＝11.
24．解：(1)m2－4m－5
＝m2－4m＋4－4－5
＝(m－2)2－9
＝(m－2＋3)(m－2－3)
＝(m＋1)(m－5)．
(2)x2－6x＋12
＝x2－6x＋9＋3
＝(x－3)2＋3.
∵(x－3)2≥0，
∴(x－3)2＋3≥3，即x2－6x＋12的最小值是3.
(3)1；大；－2 点拨：y＝－x2＋2x－3
＝－x2＋2x－1－2
＝－(x－1)2－2.
∵－(x－1)2≤0，∴y≤－2，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值是－2.
(4)△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a2＋b2＋c2－6a－10b－6c＋43＝0，
∴a2－6a＋9＋b2－10b＋25＋c2－6c＋9＝0，
∴(a－3)2＋(b－5)2＋(c－3)2＝0，
∴(a－3)2＝0，(b－5)2＝0，(c－3)2＝0，
∴a－3＝0，b－5＝0，c－3＝0，解得a＝3，b＝5，c＝3.
∴△ABC是等腰三角形．