第十三章综合素质评价

八年级数学 上(R版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.（2024湛江廉江市一模)第33届夏季奥运会于（2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是(　　)

2. （2024邯郸育华中学一模)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－8，2)，则点B的坐标为(　　)

A．(2，8) B．(2，－8) C．(－8，－2) D．(8，2)

(第2题)　　 (第3题)

3．如图，AB∥CD，AB＝CB，∠B＝80°，则∠ACD等于(　　)

A．50° B．55° C．60° D．85°

4.（2023聊城)如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A₁B₁C₁，再把△A₁B₁C₁平移后得到△A₂B₂C₂.若B₂的坐标为(2，1)，则点A₂的坐标为(　　)

A．(1，5) B．(1，3) C．(5，3) D．(5，5)

(第4题)　　 (第5题)

5．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

6.（2024崇左期末)等腰三角形的一个外角是95°，则它底角的度数是(　　)

A．85° B．47.5°或95°

C．85°或47.5° D．无法确定

7.（2023深圳期末)如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连接AF，则∠BAF的度数是(　　)

(第7题)

A．127.5° B．135° C．120° D．105°

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是(　　)

A．∠1＋2∠2＝90° B．∠1＝2∠2

C．2∠1＋∠2＝90° D．∠1＋∠2＝45°

(第8题)　　 (第9题)

9．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为(　　)

A．4 B．5 C．6 D．5.5

10.（2024鄂州期末)如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，DC＝3，BD＝2.点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S_△EDC＝(　　)

(第10题)

A．2.5 B．3 C．4 D．4.5

二、填空题(每题3分，共18分)

11.（2023佛山期末)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为40°，则∠A＝________°.

(第11题)　　　 (第12题)

12.（2023吉林)如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为________°.

13．如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为________．

(第13题)

14.（2024盐城市初级中学月考)如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经将3个三角形涂色，从①，②，③号位置选择一个三角形涂色，其中不能与图中涂色部分构成轴对称图形的是________号位置的三角形．

(第14题) (第15题)　 (第16题)

15. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且α＝60°，OB＝10，则BD＝________．

16.（2024哈尔滨工大附中期中)如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠A′BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为________．

三、解答题(共8小题，满分72分)

17．(6分)（2024哈尔滨萧红中学月考)如图，飞机从A地向正北方向飞行1 400 km到达B地，再从B地以东偏南30°的方向飞行1 400 km到达C地(即∠DBC＝30°)，求A，C两地的距离是多少千米．

18．(7分)如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，求∠BCD的度数．

19．(7分) 如图①所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC＝BD＝62 cm，且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°.求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．

20．(7分) A，B两村坐落在两条相交公路CD，CE旁(如图所示)．现计划在A，B两村之间新建一所学校P，学校P必须适合下列条件：①到两公路CD，CE的距离相等；②到A，B两村的距离也相等．请确定该学校P的位置．(要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法)

21．(9分)如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点．

(1)作图(保留作图痕迹，不写作法)：

①作出△ABC关于直线l的对称图形△A′B′C′；

②在直线l上找一点D，使AD＋BD最小；

(2)求出△A′B′C′的面积．

22．(10分)在△ABC中，BA＝BC，点D在边CB上，且DB＝DA＝AC.

(1)如图①，求∠B与∠C的度数；

(2)若M为线段BD上的点，过M作直线MH⊥AD的延长线于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图②，求证：△ANE是等腰三角形．

23．(12分) 在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．

(1)如图①，若BQ＝6，PQ∥AC，则t＝________；

(2)如图②，若点P运动的同时，点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

24．(14分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.

(1)如图①，连接AD，EB并延长，延长线相交于点O：

①则BE＝________；

②用含α的式子表示∠AOB的度数(直接写出结果)；

(2)如图②，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．

答案

一、1.B　2.D　3.A　4.B　5.C　6.C　7.A　8.B　9.D

10．B　点拨：如图，作点D关于l的对称点D′，连接AD′交l于点E，连接BD′，

则DE＝D′E，BD′＝BD＝2，∴DD′＝BD＋BD′＝2＋2＝4＝AD，

∴△ADD′是等腰直角三角形．∴∠AD′D ＝45°.

∴△D′BE是等腰直角三角形．∴BE＝BD′＝2.

∵此时△AED的周长＝AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋D′E＝AD＋AD′，

∴此时△AED的周长最小，

∴当△AED的周长最小时，S_△EDC＝×CD·BE＝3.

二、11.70　12.55　13.10　14.①②　15.5

16．130°　点拨：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，∠A′BC＝30°，

∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，

∵BD∥AC，∴∠ACD＋∠BDC＝180°，

∵∠BDC＝140°，∴∠ACD＝40°，

∴∠ACB＝∠A′CB＝20°，

∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－30°－20°＝130°.

三、17.解：∵∠DBC＝30°，∠DBA＝90°，

∴∠ABC＝∠DBA－∠DBC＝60°.

由题意知，AB＝1 400 km，BC＝1 400 km，

∴AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1 400 km.

∴A，C两地的距离是1 400 km.

18．解：如图，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，D′，

在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，

∴∠ACB＝180°－40°－80°＝60°.

①点D在线段AB上，由作图可知：AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝×(180°－80°)＝50°，

∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝60°－50°＝10°；

②点D′在线段BA的延长线上，由作图可知：AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，

∵∠ACD′＋∠AD′C＝∠BAC＝80°，

∴∠ACD′＝40°，

∴∠BCD′＝∠ACB＋∠ACD′＝60°＋40°＝100°.

综上所述，∠BCD的度数是10°或100°.

19．解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，

在Rt△ACE中，∵∠ACE＝30°，

∴AE＝AC＝×62＝31(cm)，

同理可得BF＝31 cm，

又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，

∴31＋12＋31＝74(cm)，

即当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74 cm.

20．解：如图，点P即为所求．

21．解：(1)①如图，△A′B′C′就是所求作的三角形．②如图，点D就是所求作的点．

(2)△A′B′C′的面积＝3×5－×1×5－×2×4－×1×3＝7.

22．(1)解：∵BA＝BC，∴∠C＝∠BAC，

∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，

∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝180°，

∴∠B＋2∠B＋2∠B＝180°，

∴∠B＝36°，∴∠C＝2∠B＝72°.

(2)证明：由(1)可知∠BAD＝∠B，∠DAC＝∠B，

∴∠BAD＝∠CAD，∴AH平分∠NAE，

又∵MH⊥AD，∴△ANE是等腰三角形．

23．解：(1)3　点拨：∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，

∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，

又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，

∴△BPQ是等边三角形，

∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9－t，

∴9－t＝6，解得t＝3，

∴当t的值为3时，PQ∥AC.

(2)①当点Q在边BC上时，如图①.

此时△APQ不可能为等边三角形．

②当点Q在边AC上时，如图②.

若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC＋CQ＝2t，

∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝9＋9－2t＝18－2t，

∴18－2t＝t，解得t＝6，

∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．

24．(1)解：①AD　点拨：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，

∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，

∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.

②∠AOB＝2α.　点拨：∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠CAD＝α＋∠BAO，

∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，

∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，

∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，∴∠BOA＝2α.

(2)证明：如图，作BP⊥MN交MN的延长线于点P，作DQ⊥MN于点Q，

∵∠BCA＝180°－2α＝90°，CM⊥AE，

∴∠AMC＝90°＝∠BCA，

又∵∠BCP＋∠BCA＝∠CAM＋∠AMC，

∴∠BCP＝∠CAM.

在△CBP与△ACM中，

∴△CBP≌△ACM(AAS)，

∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP，

在△BPN与△DQN中，

∴△BPN≌△DQN(AAS)，

∴BN＝ND，

∴N是BD的中点．