第十三章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共36分)

1．下列定理中，没有逆定理的是(　　)

A.内错角相等，两直线平行

B.直角三角形的两锐角互余

C.互为相反数的两个数的绝对值相等

D.两直线平行，同旁内角互补

2．[2024·邯郸永年区期中]下列各组中的两个图形属于全等图形的是(　　)

A B C D

3．[2024·石家庄长安区期中]如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，BC＝1.8，CD＝3.2，则AE＝(　　)

(第3题)

A.3.2 B.1.8 C.1.6 D.1.4

4．对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A'B'C'的一组是(　　)

A.∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AB＝A'B'

B.∠A＝∠A'，AB＝A'B'，AC＝A'C'

C.∠A＝∠A'，AB＝A'B'，BC＝B'C'

D. AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C'

5．如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是(　　)

(第5题)

A. EC＝BD B. EF∥AB C. DF＝BD D. AC∥FD

6．[母题·教材P40习题A组T1 如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是(　　)

(第6题)

A.∠ABC＝∠DCB B. AB＝DC

C. AC＝DB D.∠A＝∠D

7．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝90°，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝70°，则∠BCD的度数为(　　)

(第7题)

A.145° B.130° C.110° D.70°

8．如图是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　)

(第8题)

A.585° B.540° C.270° D.315°

9．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O，∠1＝∠2，则图中的全等三角形有(　　)

(第9题)

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

10．根据下列条件，利用尺规作△ABC，作出的△ABC不唯一的是(　　)

A. AB＝7，AC＝5，∠A＝60°

B. AC＝5，∠A＝60°，∠C＝80°

C. AB＝7，AC＝5，∠B＝40°

D. AB＝7，BC＝6，AC＝5

11．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△AED的有(　　)

(第11题)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

12．如图，已知线段AB＝18米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿射线BD运动，每秒走2米，点P，Q同时从点B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为(　　)

(第12题)

A.4 B.6 C.4或9 D.6或9

二、填空题(每题3分，共12分)

13．[2024·保定安新期末]如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，则∠2＝　　　　.

(第13题)

14． [母题·教材P44习题B组T2] 如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝100m，则A，B两点间的距离为　　　　.

(第14题)

15．[2024·张家口宣化期中]已知△ABC和△A₁C₁B₁，∠B＝∠B₁＝30°，AB＝A₁B₁＝5，AC＝A₁C₁＝3，已知∠C＝n°，则∠C₁＝　　　　.

16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的任意一点，且∠EAF＝70°，下列说法：①DF＝BE；②△ADF≌△ABE；③FA平分∠DFE；④AE平分∠FAB；⑤BE＋DF＝EF；⑥CF＋CE＞FD＋EB.其中正确的是　　　　.(填写正确的序号)

(第16题)

三、解答题(第17，18题每题6分，第19～21题每题8分，第22～

24题每题12分，共72分)

17．[母题·教材P54复习题A组T2] 如图，已知直角α，线段m，利用尺规作直角三角形ABC，使∠C＝90°，AC＝m，BC＝2m.不写作法，但要保留作图痕迹.

18．[2024·邯郸第二十三中学月考]如图，E，F是线段AB上两点，且AE＝BF，AD＝BC，∠A＝∠B，求证：∠D＝∠C.

19．如图，点A在射线OX上，OA＝a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0＜n≤360)到OA'，那么点A'的位置可以用(a，n°)表示.

(1)按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A'的位置可以表示

为　　　　；

(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3，74°)表示，连接A'A，

A'B.求证：A'A＝A'B.

20．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)若∠1＝30°，∠2＝40°，求∠3的度数.

21．[2024·唐山丰润区期中]课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块(砖块与地面垂直)之间，如图所示.

(1)求证：△ADC≌△CEB；

(2)若砖块的厚度为6cm(每块砖的厚度相同)，请你帮小明求出DE

的长度.

22．如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°.求证：BE＋DF＝EF.

23．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.

(1)若BF⊥CE于点F，交CD于点G(如图①).求证：AE＝CG.

(2)若AM⊥CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M(如

图②)，找出图中与BE相等的线段，并证明.

24．[2024·沧州泊头期中]如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6.

(1)求BO的长；

(2)F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段

OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当

△AOP与△FCQ全等时，求t的值.

答案

一、1. C　2. B　3. D　4. C

5. C【点拨】∵△ABC≌△FED，∴CB＝DE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，∴DE－CD＝CB－CD，EF∥AB，AC∥DF，∴EC＝BD.∴选项A，B，D都正确，而DF和BD不能确定是否相等，故选C.

6. B【点拨】选项A，添加∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA）；选项B，添加AB＝DC，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，无法证明△ABC≌△DCB；选项C，添加AC＝DB，在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（SAS）；选项D，添加∠A＝∠D，在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（AAS）；综上，只有选项B符合题意.

7. C【点拨】易得△ACD≌△ACB，∴∠BAC＝∠DAC＝ ∠BAD＝35°，∠BCA＝∠DCA，∴∠BCA＝∠DCA＝180°－∠BAC－∠B＝55°，则∠BCD＝∠BCA＋∠DCA＝55°＋55°＝110°.

8. A【点拨】由题图易知，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠6＝180°，∠3＋∠5＝180°，∠4＝45°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝585°.

9. D【点拨】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠BDO＝∠AEO＝∠CEO＝90°.∵在△ADO和△AEO中，∠ADO＝∠AEO＝90°，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO，∴DO＝EO.∵在△BOD和△COE中，∠BDO＝∠CEO＝90°，DO＝EO，∠DOB＝∠EOC，∴△BOD≌△COE，∴∠B＝∠C.∵在△ABO和△ACO中，∠B＝∠C，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO，∴AB＝AC.∵在△ABE和△ACD中，∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ABE≌△ACD.综上可知，共有4对三角形全等.

10. C

11. B【点拨】由∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD.若增加①可由“SAS”判定全等；若增加②不能判定两三角形全等；若增加③可由“ASA”判定全等；若增加④可由“AAS”判定全等，所以选B.

12. B【点拨】当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即18－x＝2x，解得x＝6，此时AC＝BP＝6米，符合题意；当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝ AB＝9米，AC＝BQ，此时所用时间为9秒，则AC＝BQ＝18米，不合题意，舍去；综上，出发6秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等.

二、13.25°【点拨】∵AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，

∴△ABC≌△ADE（SSS），∴∠AED＝∠C.

∵∠1＋∠C＋∠AEC＝180°＝∠2＋∠AEC＋∠AED，

∴∠2＝∠1＝25°.

14.100m　15. n°或180°－n°

16.③⑤⑥【点拨】由E，F分别是CB，CD上的任意一点，可知DF与BE不一定相等，△ADF与△ABE也不一定全等，则①错误，②错误；延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，可先证明△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∠G＝∠AFD，再由∠BAD＝140°，∠EAF＝70°，可以推导出∠EAG＝70°，则∠EAG＝∠EAF，故④错误；接着证明△EAG≌△EAF，可得∠G＝∠AFE.因为∠G＝∠AFD，所以∠AFD＝∠AFE，可判断③正确；因为△EAG≌△EAF，所以EG＝EF，所以BE＋DF＝BE＋BG＝EG＝EF，可判断⑤正确；由CF＋CE＞EF，且EF＝FD＋EB，得CF＋CE＞FD＋EB，可判断⑥正确，于是得到问题的答案.

三、17.【解】作出的直角三角形ABC如图所示.

18.【证明】∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，

即AF＝BE.

在△ADF和△BCE中，

∴△ADF≌△BCE（SAS），∴∠D＝∠C.

19.（1）（3，37°）

（2）【证明】如图，

∵B（3，74°），∴∠AOB＝74°，OB＝3，

∴∠A'OB＝∠AOB－∠AOA'＝74°－37°＝37°＝∠AOA'.

∵OA＝3，∴OA＝OB.

又∵OA'＝OA'，∴△AOA'≌△BOA'（SAS），

∴A'A＝A'B.

20.（1）【证明】∵∠BAC＝∠DAE，

又∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，∠DAE＝∠EAC＋∠CAD，

∴∠BAD＝∠EAC.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

（2）【解】∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠2，∠BAD＝∠1，

又∵∠3＝∠ABD＋∠BAD，

∴∠3＝∠1＋∠2＝30°＋40°＝70°.

21.（1）【证明】∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°，

在Rt△ADC中，∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE.

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS）.

（2）【解】由题意得AD＝4×6＝24（cm），BE＝3×6＝18（cm），

由（1）得△ADC≌△CEB，

∴CE＝AD＝24cm，DC＝BE＝18cm，

∴DE＝DC＋CE＝42cm，

即DE的长度为42cm.

22.【证明】延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG.

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，

∴∠ADG＝90°＝∠B.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

∵∠EAF＝45°，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.

∴∠EAF＝∠GAF.

在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS）.

∴EF＝GF.

∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，

∴BE＋DF＝EF.

23.（1）【证明】∵点D是AB的中点，∴AD＝BD.

又∵AC＝BC，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD（SSS）.

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°.

∴∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG.

∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，

∴∠CBG＋∠BCF＝90°.

又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG.

又∵AC＝BC，∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE＝CG.

（2）【解】BE＝CM.

证明：由（1）知∠ADC＝90°，∴∠BEC＋∠MCH＝90°.

∵CH⊥HM，∴∠CHM＝90°，

∴∠CMA＋∠MCH＝90°.

∴∠CMA＝∠BEC.

由（1）知∠ACM＝∠CBE＝45°.

又∵AC＝BC，∴△CAM≌△BCE（AAS）.

∴BE＝CM.

24.【解】（1）∵∠CAD＋∠ACD＝∠CAD＋∠AOE＝90°，

∴∠ACD＝∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD，

∴∠BOD＝∠ACD.

又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD，

∴△BDO≌△ADC（AAS），

∴BO＝AC＝6.

（2）①当点F在BC延长线上时，如图①.

∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°－∠DCE＝∠FCQ，

∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ.

∵OP＝t，CQ＝6－4t，

∴t＝6－4t，解得t＝1.2.

②当点F在BC之间时，如图②.

∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°－∠DCE＝∠FCQ，

∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ.

∵OP＝t，CQ＝4t－6，

∴t＝4t－6，解得t＝2.

综上，t＝1.2或2.