第4章综合素质评价

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2024·舟山期末]热爱旅游的小李同学想来“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是(　　)

A．位于北纬29°58^'3^″，东经122°21^'6^″

B．距离杭州约242千米

C．在舟山市的东部海域

D．在浙江省

2．在平面直角坐标系中，下列各点关于y轴的对称点在第一象限的是(　　)

A．(2，1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1)

3．如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(5，2)，白棋④的坐标为(6，－2)，那么黑棋①的坐标应该是(　　)

(第3题)

A．(9，3) B．(－1，－1) C．(－1，3) D．(9，－1)

4．[母题教材P133作业题T4]在如图所示的直角坐标系中，△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁(两个三角形的顶点都在格点上)，已知在AC上一点P(2．4，2)平移后的对应点为P₁，则P₁点的坐标为(　　)

(第4题)

A．(－0．4，－1) B．(－1．5，－1)

C．(－2．4，－2) D．(－1．6，－1)

5．在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(－3，3)，点B的坐标为(2，0)，则△ABO的面积是(　　)

A．15 B．7．5 C．6 D．3

6．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)，B(2，－1)，经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为(　　)

A．(0，－1) B．(－1，－2)C．(－2，－1) D．(2，3)

7．[2024·台州月考]点P的坐标为(3a－2，8－2a)，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是(　　)

A． 或4 B．－2或6C．－ 或－4 D．2或－6

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．[新考向·知识情境化2023·山西]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形(各内角为120°，各边相等)．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(－2 ，3)，(0，－3)，则点M的坐标为(　　)

(第9题)

A．(3 ，－2) B．(3 ，2)

C．(2，－3 ) D．(－2，－3 )

10．[新考向·数学文化2023·武汉动态探究题]皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N＋ L－1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A(0，30)，B(20，10)，O(0，0)，则△ABO内部的格点个数是(　　)

A．266 B．270 C．271 D．285

二、填空题(每题4分，共24分)

11．[2024·杭州期中]在平面直角坐标系中，点P(－3，2)在第　　　　象限，点P到x轴的距离是　　　　．

12．[新视角·结论开放题2024·宁波期末]在平面直角坐标系中，点A是x轴上的点，则点A的坐标可以是　　　　．(写出一个即可)

13．[2023·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(5，－1)关于y轴对称的点的坐标为　　　　．

14．[2023·宁波江北区期末]P(2m＋1，2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是　　　　．

15．[新考向·身边的数学2023·枣庄]银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为　　　　．

(第15题)

16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1，0)绕点A(0，1)逆时针旋转90°得到点D₁，再将D₁绕点B逆时针旋转90°得到点D₂，再将D₂绕点C逆时针旋转90°得到点D₃，再将D₃绕点D逆时针旋转90°得到点D₄，再将D₄绕点A逆时针旋转90°得到点D₅…以此类推，则点D₂₀₂₄的坐标是　　　　．

(第16题)

三、解答题(共66分)

17．(6分)[母题教材P116课内练习T1]如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位表示100m．

(1)如果用有序数对(3，2)表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板　　　　，碰碰车　　　　；

(2)秋千的位置是(4，5)，请在图中标出来．

18．(6分)已知点P(2m－6，m＋2)．

(1)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？

(2)已知点Q(4，3)，且PQ∥y轴，求点P的坐标．

19．(6分)[2024·北京西城区期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(3，4)，B(2，1)，C(5，－1)．将△ABC先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得到△DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点．

(1)在图中画出△DEF；

(2)求△ABC的面积．

20．(8分)已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．

(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；

(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)³的值．

21．(8分)[2024·宁波江北区期末]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－4，4－5a)位于第二象限，点B(－4，－a－1)位于第三象限，且a为整数．

(1)求点A和点B的坐标；

(2)若点C(m，0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底边的等腰三角形，求m的值．

22．(10分)如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．

23．(10分) [新视角阅读理解题]阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内两点P₁(X₁，Y₁)，P₂(X₂，Y₂)，其两点间的距离公式为P₁P₂＝ ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为｜X₁－X₂｜或｜Y₁－Y₂｜．

(1)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为－1，试求A，B两点间的距离．

(2)已知一个三角形各顶点坐标分别为C(1，－2)，D(3，2)，E(－1，4)，你能判断△CDE的形状吗？说明理由．

(3)在(2)的条件下，在x轴上找一点P，使PD＋PE最小，求PD＋PE的最小值．

24．(12分)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，－2)，点B的坐标为(3，0)．

(1)如图①，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为(－2，4)，则点D的坐标为　　　　．

(2)平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连结BC，BD，如图②，若△BCD的面积为7，求点C，D的坐标．

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12∶7？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

一、1．A　2．C　3．D　4．D　5．D

6．D　【点拨】如图．

∵直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A(－2，3)，∴设点C(x，3)．

∵当BC⊥直线a时，BC的长度最短，点B(2，－1)，

∴x＝2，∴点C的坐标为(2，3)．

7．D

8．D　【点拨】本题利用分类讨论思想．当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与y轴有两个交点；以A为圆心，AO的长为半径的圆与y轴除点O外还有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．综上，符合条件的点一共有4个．

9．A　【点拨】如图，设中间正六边形的中心为D，连结BD．

由题易知AB＝BC＝2 ，OA＝OB，OQ＝3，CM＝DQ＝BD，

∴OA＝OB＝ ，OC＝3 ，OD＝3－DQ＝3－BD．

在Rt△OBD中，OB²＋OD²＝BD²，

∴3＋(3－BD)²＝BD²，解得BD＝2，

∴CM＝DQ＝BD＝2，∴M(3 ，－2)．

10．C　【点拨】∵A(0，30)，B(20，10)，O(0，0)，

∴△AOB的面积为 ×30×20＝300，OA上有31个格点；OB上的格点有(不包括O点)(2，1)，(4，2)，(6，3)，(8，4)，(10，5)，(12，6)，(14，7)，(16，8)，(18，9)，(20，10)，共10个；AB上的格点有(不包括A，B点)(1，29)，(2，28)，(3，27)，(4，26)，(5，25)，(6，24)，(7，23)，(8，22)，(9，21)，(10，20)，(11，19)，(12，18)，(13，17)，(14，16)，(15，15)，(16，14)，(17，13)，(18，12)，(19，11)，共19个，

∴△ABO边界上的格点个数L＝31＋10＋19＝60．

∵S＝N＋ L－1，

∴300＝N＋ ×60－1，解得N＝271．

∴△ABO内部的格点个数是271．

二、11．二；2　12．(3，0)(答案不唯一)

13．(－5，－1)　14．－ ＜m＜－

15．(－3，1)　16．(2025，－2024)

三、17．【解】(1)(2，4)；(5，1)

(2)如图所示．

18．【解】(1)由题意可得m＋2－(2m－6)＝6，

解得m＝2，则2m－6＝－2，m＋2＝4，

∴P(－2，4)，∴点P在第二象限．

(2)∵PQ∥y轴，

∴P与Q的横坐标相等，即2m－6＝4，

解得m＝5，则m＋2＝7，∴点P的坐标为(4，7)．

19．【解】(1)如图所示，△DEF即为所求．

(2)S_△ABC＝5×3－ ×1×3－ ×2×5－ ×2×3＝ ．

20．【解】(1)∵点A，B关于x轴对称，

∴ 解得

(2)∵点A，B关于y轴对称，

∴ 解得

∴(4a＋b)³＝[4×(－1)＋3]³＝－1．

21．【解】(1)∵点A(－4，4－5a)位于第二象限，点B(－4，－a－1)位于第三象限，

∴ ∴－1＜a＜ ．

∵a为整数，∴a＝0，∴A(－4，4)，B(－4，－1)．

(2)∵A(－4，4)，B(－4，－1)，∴AB＝5．

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，

∴AC＝AB＝5．

∵A(－4，4)，C(m，0)，∴AC＝ ，

∴(m＋4)²＋16＝25，解得m＝－1或－7．

∴m的值为－1或－7．

22．【解】由折叠可知AE＝AO＝10，DE＝OD．

∵AB＝OC＝8，∠B＝90°，

∴BE＝ ＝ ＝6，

∵BC＝OA＝10，∴CE＝4，∴E(4，8)．

∵∠OCB＝90°，

∴在Rt△DCE中，DC²＋CE²＝DE²，

又∵DE＝OD，∴(8－OD)²＋4²＝OD²，

∴OD＝5，∴D(0，5)．

23．【解】(1)作直线AB，∵AB∥y轴，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为－1，

∴AB＝｜4－(－1)｜＝5．

(2)根据公式可得CD＝ ，DE＝ ，CE＝ ，∴CD＝DE，CE²＝CD²＋DE²，

∴△CDE是等腰直角三角形．

(3)作点D(3，2)关于x轴的对称点D₁(3，－2)，连结D₁E．

当D₁，P，E三点共线时，PD＋PE最小，此时D₁E与x轴的交点即为点P，PD＋PE的最小值为 ．

24．【解】(1)(－4，2)

(2)∵点C在y轴上，B(3，0)，

∴点B向左平移3个单位，

∴点A也向左平移3个单位，即点D的横坐标为1－3＝－2，

∵点D在第二象限，

∴设点A向上平移了(2＋y)个单位，

则线段AB向左平移3个单位，再向上平移(2＋y)个单位得到线段CD，

∴C(0，2＋y)，D(－2，y)，易知OB＝3，OC＝2＋y，

连结OD，∵S_△BCD＝S_△BOC＋S_△COD－S_△BOD＝7，

∴ OB×OC＋ OC×2－ OB×y＝7，

即 ×3×(2＋y)＋ ×2×(2＋y)－ ×3y＝7，

∴y＝2，∴C(0，4)，D(－2，2)．

(3)由(2)得D(－2，2)，

∵S_△BCD＝7， ＝ ，∴S_△PBD＝12，

如图①，当P在x轴上方时，连接OD．

则 ×OP×2＋ ×3×OP－ ×3×2＝12，解得OP＝6，∴P(0，6)；

如图②，当P在x轴下方时，连接OD，

则 ×OP×2＋ ×3×OP＋ ×3×2＝12，解得OP＝ ，∴P ，

∴存在点P，其坐标为(0，6)或 ．