第2章综合素质评价

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[新考向传统文化]“二十四节气”是根据太阳相对于黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是春秋战国时期形成的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是(　　)

A B C D

2．[母题教材P55作业题T1]已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为(　　)

A．12 B．12或15 C．15 D．15或18

3．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，以下给出的条件合适的是(　　)

(第3题)

A．AC＝AD B．BC＝AD

C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD

4．把一个边长为1的正方形放在如图所示的数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是(　　)

(第4题)

A．1 B． C． D．2

5．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE的长为(　　)

(第5题)

A．7 B．8 C．9 D．10

6．[2024·金华月考]如图，已知锐角∠AOB＝30°，按下列步骤作图：①在OA边上取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C，连结CD；②以D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点E，连结DE．则∠CDE的度数为(　　)

(第6题)

A．25° B．35° C．45° D．55°

7．如图，在△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连结AE，AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为(　　)

(第7题)

A．120° B．118° C．116° D．114°

8．如图，在△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE＝3，AE＝5，则CE的长为(　　)

(第8题)

A．3 B．4 C． D．

9．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为(　　)

(第9题)

A． B． C．1 D．

10．[2023·杭州外国语学校期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH，与BE相交于点G．下列结论正确的有(　　)

(第10题)

①BF＝AC；②CE＝ BF；③△DGF是等腰三角形；④BD＋DF＝BC；⑤ ＝ ．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题(每题4分，共24分)

11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是　　　　，这个逆命题是　　　　命题．(填“真”或“假”)

12．[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为　　　　．

(第12题)

13．如图，已知直线l₁∥l₂，将等边三角形ABC按如图所示放置，若∠α＝38°，则∠β＝　　　　．

(第13题)

14．[2024·宁波鄞州区联考]如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC(AB＝AC)中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　　　　°．

(第14题)

15．[新考法·对称法2024·绍兴期中]如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是　　　　．

(第15题)

16．如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AB＝AE，∠1＝∠2，线段BC的延长线交DE于点F，连结AF．若S_△ABF＝14，AD＝4，CF＝ ，则线段EF的长度为　　　　．

三、解答题(共66分)

17．(6分)如图，AB＝CD，AC＝BD，求证：△BOC是等腰三角形．

18．(6分)[母题教材P78作业题T4]如图，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．

19．(6分)[2024·绍兴期末]如图，∠ABD＝∠ACD＝90°，连结BC交AD于点E，∠1＝∠2．

(1)求证：△ABD≌△ACD；

(2)求证：AD⊥BC．

20．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，直线MN与AC，BC分别交于点D，E，连结AE．

(1)求∠ADE的度数(直接写出结果)；

(2)当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．

21．(8分)如图，已知△ABC，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到的△DEF为等边三角形．求证：

(1)△AEF≌△CDE；

(2)△ABC为等边三角形．

22．(10分)如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H．

(1)求证：∠C－∠B＝2∠DEH；

(2)若AB＝m，AC＝n，∠ACB－∠DEH＝60°，求EH的长(用含m，n的代数式表示)．

23．(10分)[新视角过程探究题](1)【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ， ，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需要求△ABC的高，只需借用网格就能计算出它的面积，请你将△ABC的面积直接填写在横线上：　　　　．

(2)【思维拓展】我们把上述求三角形面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为 a， a， a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的格点三角形，并求出它的面积．

(3)【探索创新】若△ABC三边的长分别为 ， ，2 (m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出相应的△ABC的示意图，并求出这个三角形的面积．

24．(12分)[2024·宁波期末]【证明体验】

(1)如图①，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点，且CE＝CA．求证：DE＝AD；

【思考探究】

(2)如图②，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长；

【拓展延伸】

(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝3，求AD的长．

答案

一、1．D　2．C　3．A　4．B　5．C

6．C　【点拨】由作法得OC＝OD，DO＝DE，

∴∠OCD＝∠ODC＝ (180°－∠AOB)＝ ×(180°－30°)＝75°，∠DEO＝∠DOE＝30°．

∵∠OCD＝∠CDE＋∠DEC，

∴∠CDE＝∠OCD－∠DEC＝75°－30°＝45°．

7．D　8． C

9．D　【点拨】∵四边形EFGH是正方形，

∴HG＝EF，AH∥GF．

∵AH＝GH，∴AH＝EF．

由题意得Rt△ABE≌Rt△DAH≌Rt△CDG，

∴BE＝AH，∠BAE＝∠DCG．∴BE＝EF．

又∵AE⊥BF，∴AB＝AF，

∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE．

∵AH∥GF，∴∠FAE＝∠GFA．∴∠GFA＝∠DCG．

∵∠GFA＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC．

设CM＝x，在Rt△AMD中，由勾股定理得5²＋(5－x)²＝(5＋x)²，解得x＝ ，∴CM＝ ．

10．A　【点拨】易证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．易证△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝ AC＝ BF，故②正确．由角的数量关系可得∠DGF＝∠DFG＝67．5°，则DG＝DF，即△DGF是等腰三角形，故③正确．由△BDF≌△CDA可得DF＝DA，则得BC＝AB＝BD＋DF，故④正确．由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可得 ＝ ，故⑤正确．

二、11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真

12．4　13．22°　

14．67．5　【点拨】设∠ECF＝x．

∵EC＝EF＝FG，∴∠EGF＝∠GEF＝2x，

∵FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD＝3x，

∵DG＝DA，∴∠A＝∠AGD＝4x，

∴∠BDC＝5x．

∵BC＝BD，∴∠BCD＝5x，∴∠B＝180°－10x．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，

即180°－10x＝5x＋x，解得x＝11．25°，

∴∠B＝67．5°．

15． 　【点拨】如图，过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到点C'，使得OC'＝OC，连结DC'，交AB于点E'，连结CE'，BC'，

则点C与点C'关于直线AB对称，∴CE'＝E'C'．

∴DE'＋CE'＝DE'＋E'C'＝DC'，易知DC'的长即为EC＋ED的最小值．

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝ ×(180°－∠ACB)＝45°，

易知∠ABC'＝∠ABC＝45°，BC'＝BC＝2，

∴∠CBC'＝∠ABC＋∠ABC'＝90°．

∵D是BC的中点，∴BD＝ BC＝1，

∴在Rt△DBC'中，根据勾股定理可得DC'＝ ＝ ＝ ，

∴EC＋ED的最小值是 ．

16． 　【点拨】∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∠1＝∠2，AB＝AE，

∴△ACB≌△ADE(AAS)，∴AC＝AD，BC＝DE．

∵AD＝4，∴AC＝4，

又∵S_△ABF＝14，∴ BF·AC＝14，∴BF＝7．

∵CF＝ ，∴BC＝7－ ＝ ，∴DE＝ ．

在Rt△ACF和Rt△ADF中，∵

∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，∴DF＝CF＝ ，

∴EF＝DE－DF＝ － ＝ ．

三、17．【证明】在△ABC和△DCB中，

∵ ∴△ABC≌△DCB(SSS)，

∴∠ACB＝∠DBC，∴BO＝OC．

∴△BOC是等腰三角形．

18．【解】连结BD．∵∠A为直角，

∴BD²＝AD²＋AB²．

∵AD＝12，AB＝16，∴BD＝20．

∵BD²＋CD²＝20²＋15²＝25²＝BC²，

∴∠CDB为直角，

∴△BDC的面积为 ×20×15＝150．

∵△ABD的面积为 ×16×12＝96，

∴四边形ABCD的面积为96＋150＝246．

19．【证明】(1)∵∠1＝∠2，∴BD＝CD．

在Rt△ABD和RtACD中，∵

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．

(2)∵△ABD≌△ACD，∴∠BDE＝∠CDE．

∴DE为∠BDC的平分线．

∵BD＝CD，∴DE⊥BC，即AD⊥BC．

20．【解】(1)∠ADE＝90°．

(2)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，

∴BC＝ ＝4．

易知直线MN是线段AC的垂直平分线，

∴AE＝CE，

∴△ABE的周长＝AB＋(AE＋BE)＝AB＋BC＝3＋4＝7．

21．【证明】(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．

∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE．

又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE(SSS)．

(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC．

∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，

∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°．

由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC．

∵∠DEC＋∠FEC＝60°，∴∠EFA＋∠FEC＝60°．

∴∠BAC＝∠EFA＋∠FEC＝60°，

∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠BCA＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

22．(1)【证明】延长EH，交AC的延长线于点G，延长HE，交AB于点F．

∵AH⊥FG，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，

∵AH平分∠FAG，∴∠FAH＝∠GAH，

又∵AH＝AH，

∴△AFH≌△AGH(ASA)，∴∠AFH＝∠AGH．

∵∠ACB＝∠AGH＋∠DEH，∠AFH＝∠B＋∠FEB＝∠B＋∠DEH，

∴∠ACB＝(∠B＋∠DEH)＋∠DEH，

∴∠ACB－∠B＝2∠DEH．

(2)【解】过点C作CQ∥AB交FG于点Q．

∵∠ACB－∠DEH＝60°，∠ACB－∠B＝2∠DEH，

∴∠B＋∠DEH＝60°，∴∠B＋∠FEB＝60°，

∴∠AFG＝60°．

∵△AFH≌△AGH，∴AF＝AG，

∴△AFG为等边三角形，∴∠G＝60°．

∵CQ∥AB，∴∠B＝∠ECQ，∠CQG＝∠AFG＝∠G＝60°，

∴△CQG为等边三角形．∴CQ＝CG．

∵∠B＝∠ECQ，BE＝CE，∠FEB＝∠QEC，

∴△BFE≌△CQE，

∴BF＝CQ＝CG，FE＝EQ＝ FQ．

易知FQ＝AC＝n，∴EF＝ ．

∵AF＋AG＝AB－BF＋AC＋CG＝AB＋AC＝m＋n，

∴AF＝AG＝FG＝ ．

易知FH＝HG＝ FG＝ ，

∴EH＝FH－FE＝ － ＝ ．

23．【解】(1)3．5

(2)所画△ABC如图①所示(画法不唯一)．

△ABC的面积＝2a·4a－ a·2a－ ×2a·2a－ a·4a＝3a²．

(3)构造网格图，所画△ABC如图②所示(画法不唯一)．

△ABC的面积＝3m·4n－ m·4n－ ×3m·2n－ ×2m·2n＝5mn．

24．(1)【证明】∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE．

在△ACD与△ECD中，∵

∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴DE＝AD．

(2)【解】在BC边上取点E，使EC＝AC＝2，连结DE．

同(1)得△ACD≌△ECD，

∴AD＝DE＝1，∠A＝∠DEC．

∵∠A＝2∠B，∠DEC＝∠B＋∠EDB，

∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED＝1，

∴BC＝BE＋CE＝1＋2＝3．

(3)【解】如图，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1＝∠2＝40°，∴∠BDC＝60°．

在BA边上取点E，使BE＝BC＝3，连结DE，在DA边上取点F，使DF＝DB，连结FE．

在△DEB和△DCB中，∵

∴△DEB≌△DCB，∴∠4＝∠BDC＝60°，

∴∠3＝60°．

易得△BDE≌△FDE，

∴∠5＝∠1＝40°，EF＝BE＝3．

∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，即∠6＝∠A，

∴AF＝EF＝3．

∵BD＝DF＝4，∴AD＝AF＋DF＝7．