【323399】2023八年级数学上册 专题突破 第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究（含解析）（新版

第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究

类型一 倍长中线——构全等

【知识点睛】

• 倍长中线辅助线方法规律总结

基本图形	辅助线	条件与结论	应用环境
	延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE	条件：△ABC，AD=BD 结论： △ABD≌△CED(SAS)	①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题

• 倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：

基本图形	辅助线	条件与结论	应用环境
	延长AD交直线l2于点E，	条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS)	与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定

【类题训练】

1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 　　．

【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．

【 解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，

在△ACD与△EBD中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC，

∵AB＝6，AC＝4，

∴2＜AE＜10，

∴1＜AD＜5．

故答案为：1＜AD＜5．

2．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．

【解答】解：∵FC∥AB，

∴∠DAE＝∠FCE，

在△DAE与△FCE中，

，

∴△DAE≌△FCE（AAS），

∴AD＝CF，

∵CF＝3，

∴AD＝CF＝3，

又∵AB＝5，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，

故选：B．

3．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S_△BAF＝S_△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠BAD＝∠D，

在△BAF和△EDF中，

，

∴△BAF≌△EDF（AAS），

∴S_△BAF＝S_△EDF，

∴图中阴影部分面积＝S_{四边形ACEF}+S_△BAF＝S_△ACD＝ •AC•AD＝ ×6×10＝30．

故答案为：30．

4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；

（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；

（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．

【解答】解：（1）1＜AD＜5．

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝4，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴6﹣4＜AE＜6+4，

∴2＜AE＜10，

∴1＜AD＜5．

证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．

同 （1）得：△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM＝CF，

∵DE⊥DF，DM＝DF，

∴EM＝EF，

在△BME中，由三角形的三边关系得：

BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF．

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，

∵ AB∥CD，

∴∠BAG＝∠G，

在△ABE和△GCE中，

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，

∴△ABE≌△GEC（AAS），

∴CG＝AB，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG＝∠GAF，

∴∠FAG＝∠G，

∴AF＝GF，

∵FG+CF＝CG，

∴AF+CF＝AB．

5．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值范围是　　．

A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；

（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；

（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．

【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选C．

（3）证明：

延 长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF．

6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；

②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　　；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；

（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，∠BAM＝∠AEF，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△MDB和△ADC中，

，

∴△MDB≌△ADC（SAS），

∴BM＝AC＝6，

在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，

∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，

∴1＜AD＜7，

故答案为：1＜AD＜7；

（2）AC∥BM，且AC＝BM，

理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，

∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，

∴AC∥BM；

（3）EF＝2AD，

理 由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），

∴BM＝AC，

∵AC＝AF，

∴BM＝AF，

由（2）知：AC∥BM，

∴∠BAC+∠ABM＝180°，

∵∠BAE＝∠FAC＝90°，

∴∠BAC+∠EAF＝180°，

∴∠ABM＝∠EAF，

在△ABM和△EAF中，

，

∴△ABM≌△EAF（SAS），

∴AM＝EF，

∵AD＝DM，

∴AM＝2AD，

∵AM＝EF，

∴EF＝2AD，

即：EF＝2AD．

类型二 截长补短——造全等

【知识点睛】

• 截长补短辅助线方法规律总结

基本图形	辅助线	条件与结论	应用环境
	在AC上截取AE=AD，连接PE	条件： AP平分∠BAC， 结论： △APD≌△APE(SAS)	①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察 ②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段

总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF

【类题训练】

7．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣AC　　PB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【 分析】在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．

【解答】解：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△AEP和△ACP中，

，

∴△AEP≌△ACP（SAS），

∴PE＝PC，

在△PBE中，BE＞PB﹣PE，

即AB﹣AC＞PB﹣PC，

故答案为：＞．

8．问题背景：

如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法．

延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而可得结论．

（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由．

解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：

理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．（以下过程请同学们完整解答）

（2）拓展延伸：

如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝ ∠BAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为成立的结论．

【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；

（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．

【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案为 EF＝BE+DF．

（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．

（1）求∠APC的度数；

（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

【分析】（1）先由∠ABC＝60°，得到∠BAC+∠BCA＝120°，然后由AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，进而得到∠APC的度数；

（2）在AC上截取AF＝AE，连接PF，然后证明△AEP≌△AFP，从而得到∠APE＝∠APF，然后由∠APC＝120°得到∠DPC＝60°，从而得到∠APE＝∠APF＝60°，进而得到∠FPC＝∠DPC＝60°，再结合CE平分∠ACB、CP＝CP得到△PCF≌△PCD，即可得到CD＝CF，最后得到AC＝AE+CD．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，

∴∠BAC+∠BCA＝120°，

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

∴∠PAC+∠PCA＝ （∠BAC+∠BCA）＝60°，

∴∠APC＝120°．

（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

在 △APE和△APF中，

，

∴△APE≌△APF（SAS），

∴∠APE＝∠APF，

∵∠APC＝120°，

∴∠APE＝60°，

∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACP＝∠BCP，

在△CPF和△CPD中，

，

∴△CPF≌△CPD（ASA），

∴CF＝CD，

∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．

10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．

（1）求证：∠BAD＝∠EDC：

（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，证得△CEF为等边三角形，得出∠F＝∠CEF＝60°，证明△ADB≌△DEF（AAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠EDF；

（2）全等三角形的性质得出由AB＝DF，BD＝EF，则可得出结论．

【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴ AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，

∴∠ECF＝∠ACB＝60°，

∵CF＝CE，

∴△CEF为等边三角形，

∴∠F＝∠CEF＝60°，

∵DA＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，

∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，

∴∠ADB＝∠DEF，

在△ADB和△DEF中，

，

∴△ADB≌△DEF（AAS），

∴∠BAD＝∠EDF，

即∠BAD＝∠EDC．

（2）解：AB＝CD+CE．

证明：∵△ADB≌△DEF，

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵DF＝DC+CF＝CD+CE，

∴AB＝CD+CE．

11．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：CD＝2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；

（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．

【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，

∴∠BAC＝∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，

∴∠E＝45°，

由（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA＝∠E＝45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA＝90°，

∴∠CAF＝45°，

∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；

（3）延长BF到G，使得FG＝FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG＝∠AFB＝90°，

在 △AFB和△AFG中，

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，

∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，

∴∠G＝∠CDA，

∵∠GCA＝∠DCA＝45°，

在△CGA和△CDA中，

，

∴△CGA≌△CDA（AAS），

∴CG＝CD，

∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，

∴CD＝2BF+DE．

类型三 整体旋转—共线—再全等

【知识点睛】

• 整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结

基本图形	辅助线	条件与结论	特别提醒
	将△ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，点E的对应点记为点G	条件：正方形ABCD，∠EAF=45° 结论： ①△AEF≌△AGF(SAS)②EF=BE＋DF	此种类型的辅助线其实是在证明“正方形的半角模型”；但是这种辅助线也可以应用在等边三角形的问题中，此时旋转角度为60°或者120°

【类题训练】

9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 　　．

【分析】根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′，易求四边形ABCD的面积．

【解答】解：把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图：

∵旋转不改变图形的形状和大小，

∴A与C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．

∵在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠A+∠DCB＝180°，

∴∠DCE′+∠DCB＝180°，

即点B、C、E′在同一直线上，

∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，

∴四边形DEBE′是矩形，

∴S_{矩形DEBE′}＝DE×BE＝5×5＝25，

∵S_{矩形DEBE′}＝S_{四边形DEBC}+S_△DCE，

∵S_{四边形ABCD}＝S_{四边形DEBC}+S_△ADE＝S_{四边形DEBC}+S_△DCE，

∴S_{四边形ABCD}＝S_矩形DEBE＝25．

故四边形ABCD的面积为25．

故答案为：25．

10．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．

（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：　　；

（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；

【分析】（1）延长CD到E，使DE＝BM，利用SAS证明△ABM≌△ADE，得∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，再证明△AMN≌△AEN（SAS），得MN＝NE＝ND+BM；

（2）由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，得∠AMB＝∠AMN，再利用角平分线的性质可证明结论；

（3）将图③放到图②中，利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AHM，得BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，设BC＝AB＝x，则CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，利用勾股定理列方程，从而解决问题．

【解答】（1）解：延长CD到E，使DE＝BM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABM＝∠ADE＝90°，

∵BM＝DE，

∴△ABM≌△ADE（SAS），

∴∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，

∵∠MAN＝45°，

∴∠BAM+∠DAN＝∠NAE＝45°，

∵AN＝AN，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN＝NE＝ND+BM，

∴MN＝BM+DN，

故答案为：MN＝BM+DN；

（2）证明：由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，

∴∠AMB＝∠AMN，

∵AB⊥BC，AH⊥MN，

∴AB＝AH；

11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【分析】（1）在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，根据正方形性质得出AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，证△ABE≌△ADN推出AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME＝MN即可；

（2）在DN上截取DE＝MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，求出∠EAN＝∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN＝EN即可．

【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：

如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，

∵在△ABE和△ADN中

，

∴△ABE≌△ADN（SAS）．

∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，

∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠DAN+∠BAM＝45°，

∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，

∵在△AEM和△ANM中

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME＝MN，

∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，

即DN+BM＝MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．

证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，

∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，

∴△ABM≌△ADE（SAS）．

∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，

∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN＝45°，

∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，

∵在△AMN和△AEN中

，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN＝EN，

∵DN﹣DE＝EN，

∴DN﹣BM＝MN．

12．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．

（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时，

①直接写出∠P'BP的度数为 　　；

②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；

（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；

②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM．

【解答】解：（1）BP'＝CP，

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠2+∠3＝60°

∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，

∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，

∴∠1+∠2＝60°，

∴∠1＝∠3，

∴△ABP'≌△ACP（SAS），

∴BP'＝CP；

（2）①当∠BPC＝120°时，

则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，

∵△ABP'≌△ACP，

∴∠4＝∠5，

∴∠P'BP＝∠4+∠7

＝∠5+60°﹣∠8

＝60°﹣∠6+60°﹣∠8

＝120°﹣（∠6+∠8）

＝120°﹣60°

＝60°，

故答案为：60°；

②AP＝2PM，理由如下：

延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM，

∴四边形PBNC为平行四边形，

∴BN∥CP且BN＝CP，

∴BN＝BP'，∠9＝∠6，

又∵∠8+∠6＝60°，

∴∠8+∠9＝60°，

∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，

又∵BP＝BP，P'B＝BN，

∴△P'BP≌△NBP（SAS），

∴PP'＝PN＝2PM，

又∵△APP'为正三角形，

∴PP'＝AP，

∴AP＝2PM．

类型四 连接线段——得全等

【知识点睛】

• 连接线段得△全等辅助线方法规律总结

基本图形	辅助线	条件与结论	结论应用
	连接AD	条件：AB=AC，BD=CD 结论： △ABD≌△ACD(SSS)	此种类型的辅助线虽然最简单，但是也最常见，常用来证明角相等

【 类题训练】

13．如图，已知： ， ， ， ，则 （   ）

A． B． C． 或 D．

【分析】

连接 ，可证 ≌ ，根据全等三角形对应角相等可以得到 ， ，代入角度即可求出 和 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．

【详解】

连接 ，如图，

在 与 中

，

≌ ，

， ，

，

，

，

，

，

．

故选：B．

14．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

【 答案】解： ．

连结 ，

四边形 ， 都是正方形．

AG=AB，∠G=∠B=90°．

∵旋转

∴∠DAG=∠BAE

∴△AGH≌△ABH（ASA）

∴GH=BH

【课后综合练习】

1．[方法呈现]

（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是　　．

[探究应用]

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，据此可得答案；

（2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．

【解答】解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，

∴1＜AD＜4，

故答案为：1＜AD＜4；

（2）如图②，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，

∴∠BAF＝∠F，

在△ABE和△FCE中

CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，

∴△ABE≌△FEC（AAS），

∴CF＝AB，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF＝∠FAD，

∴∠FAD＝∠F，

∴AD＝DF，

∵DC+CF＝DF，

∴DC+AB＝AD．

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，

同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，

∴AB＝CG，

∴AF+CF＝AB．

2．阅读理解

1. 如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S_△ABD与S_△ADC相等吗？　

　（S表示面积）；

应用拓展

（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S_△DEC＝S_△ADE+S_△EBC；

解决问题

（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

【分析】（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S_△ABD与S_△ADC相等；

（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE＝FE，S_△DAE＝S_△FBE，又由（1）的结论可得S_△DEC＝S_△FEC，代入即可说明S_△DEC＝S_△ADE+S_△EBC；

（ 3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S_梯形ABCD＝S_△CDF，再取CF的中点G，作直线DG，则S_△CDG＝S_△FDG＝S_梯形ADGB＝ S_梯形ABCD，故直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．

【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．

∵D是BC中点，

∴BD＝CD，

又∵S_△ABD＝ •BD•AE，S_△ADC＝ •CD•AE，

∴S_△ABD＝S_△ADC．

故答案为相等；

（ 2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．

∵E是AB的中点，∴AE＝BE．

∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．

在△DAE与△FBE中，

，

∴△DAE≌△FBE（AAS），

∴DE＝FE，S_△DAE＝S_△FBE，

∴E是DF中点，

∴S_△DEC＝S_△FEC＝S_△BFE+S_△EBC＝S_△ADE+S_△EBC，

∴ S_△DEC＝S_△ADE+S_△EBC；

（3）如图所示：

取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，

则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．

3．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．

【分析】（1）在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等的线段，两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，即△COB≌△AOB；

（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CG＝CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF＝GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF＝FG，故得出EF＝FD；

（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AG＝AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE＝FG；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得DF＝FG，故得出EF＝FD．

【解答】解：（1）如图①所示，△COB≌△AOB，点C即为所求．

（2）如图②，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．

∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA＝ （∠BAC+∠ACB）＝ （180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）DF＝EF 仍然成立．

证明：如图③，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE＝FG，∠EFA＝∠GFA．

又由题可知，∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA＝ （∠BAC+∠ACB）＝ （180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD＝FG，

∴FE＝FD．

4．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

【分析】

（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．

（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．

(1)

①CF⊥BD，CF＝BD

∵∠FAD＝∠BAC＝90°

∴∠BAD＝∠CAF

在△BAD与△CAF中，

∵

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，

∵

∴∠BCF＝90°

∴CF⊥BD ；

故答案为：垂直，相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD＝∠BAC＝90°

∴∠BAD＝∠CAF

在△BAD与△CAF中，

∵ ，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝90°，

∴CF⊥BD；

(2)

当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：

过 点A作AC的垂线与CB所在直线交于G

∵∠ACB＝45°

∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°

∵AG＝AC，AD＝AF，

∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∴∠GAD＝∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°，

∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，

∴CF⊥BC．

5．如图，已知在四边形ABCD中，BD是 的平分线， ．2 求证： ．

【分析】

方法一，在BC上截取BE，使 ，连接DE，由角平分线的定义可得 ，根据全等三角形的判定可证 和 全等，再根据全等三角形的性质可得 ， ，由AD=CD等量代换可得 ，继而可得 ，由于 ，可证 ；

方法2，延长BA到点E，使 ，由角平分线的定义可得 ，根据全等三角形的判定可证 和 全等，继而可得 ， ．由 ，可得 ，继而求得 ，由 ，继而可得 ；

方法3， 作 于点E， 交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由 ， ，可得 ，根据全等三角形的判定可证 和 全等，继而可得 ，再根据HL定理可得可证 ．

【详解】

解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使 ，

连 接DE，

因为BD是 的平分线，

所以 ．

在 和 中，

因为

所以 ，

所以 ， ．

因为 ，

所以 ，

所以 ．

因 为 ，

所以 ．

方法2   补短

如图，延长BA到点E，使 ．

因为BD是 的平分线，

所以

在 和 中，

因为 ，

所以 ，

所以 ， ．

因为 ，

所以 ，

所以 ．

因为 ，

所以 ．

方 法3   构造直角三角形全等

作 于点E． 交BA的延长线于点F

因为BD是 的平分线，

所以 ．

因为 ， ，

所以 ，

在 和 中，

因为 ，

所以 ，

所以 ．

在 和 中，

因为 ，

所以 ，

所以 ．

因为 ，

所以 ．

6．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

【分析】延长CE与BA的延长线相交于点F，利用ASA证明△ABD和△ACF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【解答】证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，

∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，

∴∠EBF＝∠ACF，

在 △ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD＝CF，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠EBC＝∠EBF．

在△BCE和△BFE中，

，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE＝EF，

∴CF＝2CE，

∴BD＝CF＝2CE．