第4讲
全等三角形常见辅助线专题探究
类型一 倍长中线——构全等
【知识点睛】
倍长中线辅助线方法规律总结
基本图形 |
辅助线 |
条件与结论 |
应用环境 |
|
延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE |
条件：△ABC，AD=BD
结论： △ABD≌△CED(SAS) |
①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题 |
倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形 |
辅助线 |
条件与结论 |
应用环境 |
|
延长AD交直线l2于点E，
|
条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS) |
与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定 |
【类题训练】
1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．
【
解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
3．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝
•AC•AD＝
×6×10＝30．
故答案为：30．
4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同
（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵
AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
5．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSSB．SASC．AASD．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延
长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，∠BAM＝∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理
由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
类型二 截长补短——造全等
【知识点睛】
截长补短辅助线方法规律总结
基本图形 |
辅助线 |
条件与结论 |
应用环境 |
|
在AC上截取AE=AD，连接PE |
条件： AP平分∠BAC， 结论： △APD≌△APE(SAS) |
①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察 ②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段 |
总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
【类题训练】
7．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣AC PB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【
分析】在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△AEP和△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，BE＞PB﹣PE，
即AB﹣AC＞PB﹣PC，
故答案为：＞．
8．问题背景：
如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法．
延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而可得结论．
（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由．
解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：
理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．（以下过程请同学们完整解答）
（2）拓展延伸：
如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝
∠BAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为成立的结论．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝
∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝
∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
【分析】（1）先由∠ABC＝60°，得到∠BAC+∠BCA＝120°，然后由AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，进而得到∠APC的度数；
（2）在AC上截取AF＝AE，连接PF，然后证明△AEP≌△AFP，从而得到∠APE＝∠APF，然后由∠APC＝120°得到∠DPC＝60°，从而得到∠APE＝∠APF＝60°，进而得到∠FPC＝∠DPC＝60°，再结合CE平分∠ACB、CP＝CP得到△PCF≌△PCD，即可得到CD＝CF，最后得到AC＝AE+CD．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠PAC+∠PCA＝
（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在
△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，证得△CEF为等边三角形，得出∠F＝∠CEF＝60°，证明△ADB≌△DEF（AAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠EDF；
（2）全等三角形的性质得出由AB＝DF，BD＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴
AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）解：AB＝CD+CE．
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴AB＝CD+CE．
11．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在
△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
类型三 整体旋转—共线—再全等
【知识点睛】
整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结
基本图形 |
辅助线 |
条件与结论 |
特别提醒 |
|
将△ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，点E的对应点记为点G |
条件：正方形ABCD，∠EAF=45° 结论： ①△AEF≌△AGF(SAS)②EF=BE＋DF |
此种类型的辅助线其实是在证明“正方形的半角模型”；但是这种辅助线也可以应用在等边三角形的问题中，此时旋转角度为60°或者120° |
9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 ．
【分析】根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′，易求四边形ABCD的面积．
【解答】解：把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图：
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴A与C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．
∵在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∴∠DCE′+∠DCB＝180°，
即点B、C、E′在同一直线上，
∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，
∴四边形DEBE′是矩形，
∴S矩形DEBE′＝DE×BE＝5×5＝25，
∵S矩形DEBE′＝S四边形DEBC+S△DCE，
∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE＝S四边形DEBC+S△DCE，
∴S四边形ABCD＝S矩形DEBE＝25．
故四边形ABCD的面积为25．
故答案为：25．
10．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．
（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系： ；
（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；
【分析】（1）延长CD到E，使DE＝BM，利用SAS证明△ABM≌△ADE，得∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，再证明△AMN≌△AEN（SAS），得MN＝NE＝ND+BM；
（2）由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，得∠AMB＝∠AMN，再利用角平分线的性质可证明结论；
（3）将图③放到图②中，利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AHM，得BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，设BC＝AB＝x，则CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，利用勾股定理列方程，从而解决问题．
【解答】（1）解：延长CD到E，使DE＝BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABM＝∠ADE＝90°，
∵BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝∠NAE＝45°，
∵AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝NE＝ND+BM，
∴MN＝BM+DN，
故答案为：MN＝BM+DN；
（2）证明：由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，
∴∠AMB＝∠AMN，
∵AB⊥BC，AH⊥MN，
∴AB＝AH；
11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
【分析】（1）在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，根据正方形性质得出AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，证△ABE≌△ADN推出AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME＝MN即可；
（2）在DN上截取DE＝MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，求出∠EAN＝∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN＝EN即可．
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
12．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；
②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM．
【解答】解：（1）BP'＝CP，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②AP＝2PM，理由如下：
延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PM，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PM．
类型四 连接线段——得全等
【知识点睛】
连接线段得△全等辅助线方法规律总结
基本图形 |
辅助线 |
条件与结论 |
结论应用 |
|
连接AD |
条件：AB=AC，BD=CD 结论： △ABD≌△ACD(SSS) |
此种类型的辅助线虽然最简单，但是也最常见，常用来证明角相等 |
【
类题训练】
13．如图，已知：
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【分析】
连接
，可证
≌
，根据全等三角形对应角相等可以得到
，
，代入角度即可求出
和
的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
连接
，如图，
在
与
中
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
14．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
【
答案】解：
．
连结
，
四边形
，
都是正方形．
AG=AB，∠G=∠B=90°．
∵旋转
∴∠DAG=∠BAE
∴△AGH≌△ABH（ASA）
∴GH=BH
【课后综合练习】
1．[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是 ．
[探究应用]
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【解答】解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，
∴AB＝CG，
∴AF+CF＝AB．
2．阅读理解
如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？
（S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．
【分析】（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S△ABD与S△ADC相等；
（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，又由（1）的结论可得S△DEC＝S△FEC，代入即可说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
（
3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCD＝S△CDF，再取CF的中点G，作直线DG，则S△CDG＝S△FDG＝S梯形ADGB＝
S梯形ABCD，故直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
又∵S△ABD＝
•BD•AE，S△ADC＝
•CD•AE，
∴S△ABD＝S△ADC．
故答案为相等；
（
2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．
∵E是AB的中点，∴AE＝BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．
在△DAE与△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，
∴E是DF中点，
∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，
∴
S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
（3）如图所示：
取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，
则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
3．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．
【分析】（1）在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等的线段，两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，即△COB≌△AOB；
（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CG＝CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF＝GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF＝FG，故得出EF＝FD；
（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AG＝AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE＝FG；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得DF＝FG，故得出EF＝FD．
【解答】解：（1）如图①所示，△COB≌△AOB，点C即为所求．
（2）如图②，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．
∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝
∠BAC，∠FCA＝
∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA＝
（∠BAC+∠ACB）＝
（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠CFD＝60°＝∠CFG，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）DF＝EF 仍然成立．
证明：如图③，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE＝FG，∠EFA＝∠GFA．
又由题可知，∠FAC＝
∠BAC，∠FCA＝
∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA＝
（∠BAC+∠ACB）＝
（180°﹣∠B）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD＝FG，
∴FE＝FD．
4．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【分析】
（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
(1)
①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD ；
故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
(2)
当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过
点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC．
5．如图，已知在四边形ABCD中，BD是
的平分线，
．2
求证：
．
【分析】
方法一，在BC上截取BE，使
，连接DE，由角平分线的定义可得
，根据全等三角形的判定可证
和
全等，再根据全等三角形的性质可得
，
，由AD=CD等量代换可得
，继而可得
，由于
，可证
；
方法2，延长BA到点E，使
，由角平分线的定义可得
，根据全等三角形的判定可证
和
全等，继而可得
，
．由
，可得
，继而求得
，由
，继而可得
；
方法3，
作
于点E，
交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由
，
，可得
，根据全等三角形的判定可证
和
全等，继而可得
，再根据HL定理可得可证
．
【详解】
解：方法1
截长如图，在BC上截取BE，使
，
连
接DE，
因为BD是
的平分线，
所以
．
在
和
中，
因为
所以
，
所以
，
．
因为
，
所以
，
所以
．
因
为
，
所以
．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使
．
因为BD是
的平分线，
所以
在
和
中，
因为
，
所以
，
所以
，
．
因为
，
所以
，
所以
．
因为
，
所以
．
方
法3 构造直角三角形全等
作
于点E．
交BA的延长线于点F
因为BD是
的平分线，
所以
．
因为
，
，
所以
，
在
和
中，
因为
，
所以
，
所以
．
在
和
中，
因为
，
所以
，
所以
．
因为
，
所以
．
6．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．
【分析】延长CE与BA的延长线相交于点F，利用ASA证明△ABD和△ACF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，
∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在
△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠EBF．
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∴BD＝CF＝2CE．