第6讲 等腰三角形专题复习

考点一 等腰三角形的边与角

【知识点睛】

• 定义：有两条边长相等的三角形是等腰三角形

等腰三角形的定义方面，常和△的三边关系、△的周长、边的奇偶性等考点一起出题，做题时注意考虑全面

• 边与角：等边对等角

等腰三角形的两底角相等，常和△内角和、△外角定理、平行线等考点一起出题，做题时谨遵一条——题目中出现什么概念，就立刻想其对应的性质。

• 知二得一模型

①角平分线、②平行线、③等腰三角形

以上三个条件，已知任意两个，就可以推出剩余一个。

• 等边三角形

等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°

【类题训练】

1．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）

A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，

当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．

则三角形的周长为11cm或13cm．

故选：D．

2．等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（　　）

A．2 B．6 C．2或8 D．2或6

【分析】分为两种情况：2是等腰三角形的腰或2是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．

【解答】解：若2为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2＝6，2+2＜6，故不符合三角形的三边关系；

若2为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2＝4，此时三角形的三边长分别为4，4，2，符合三角形的三边关系；

∴等腰三角形的底边长为2，

故选：A．

3．已知实数x，y满足 +（y﹣8）²＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16 B．20

C．16 D．以上答案均不对

【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．

【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，

解得x＝4，y＝8，

①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，

∵4+4＝8，

∴不能组成三角形；

②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，

能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．

所以，三角形的周长为20．

故选：B．

4．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 　9cm或 cm　．

【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．

【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，

∵点D为AC的中点，

∴AD＝CD＝ ，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，

当△ABD的周长大于△BCD的周长时，

AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+ ﹣（35﹣2x）﹣ ＝4，解得x＝13，

底边长为35﹣13×2＝9（cm）；

当△BCD的周长大于△ABD的周长时，

则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+ ﹣（x+ ）＝4，解得x＝ ，

底边长为35﹣ ×2＝ （cm）．

综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或 cm．

故答案为：9cm或 cm．

5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　6　．

【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．

【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，

∴AB＝2BC或BC＝2AB，

若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，

∴腰AB的长为6；

若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，

∵1.5+1.5＝3，

∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰AB的长是6，

故答案为：6．

6．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．

【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，

根据题意得：x+x+2x+20＝180，

解得：x＝40，

故选：B．

7．如图，AB∥CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（　　）

A．64° B．32° C．62° D．96°

【分析】由平行线的性质可得∠EGF＝∠GFD＝32°，再由等腰三角形的性质可得到∠EFG＝∠EGF，即得解．

【解答】解：∵AB∥CD，∠GFD＝32°，

∴∠EGF＝∠GFD＝32°，

∵EG＝EF，

∴∠EFG＝∠EGF＝32°．

故选：B．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

【分析】根据平行线的性质可得∠BCG的度数，再根据∠ACG＝10°，可得∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝35°，进一步即可求出∠ABE的度数．

【解答】解：∵DE∥FG，

∴∠BCG＝∠DBC＝45°，

∵∠ACG＝10°，

∴∠ACB＝45°﹣10°＝35°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝35°，

又∵∠EBC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠ABE＝135°﹣35°＝100°，

故选：A．

9．如图，BE∥AD，AC＝BC，若∠CBE＝108°，则∠A的大小是（　　）

A．36° B．38° C．46° D．72°

【分析】根据平行线的性质可得∠BCD的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠A的度数．

【解答】解：∵BE∥AD，

∴∠CBE+∠BCD＝180°，

∵∠CBE＝108°，

∴∠BCD＝180°﹣108°＝72°，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠CBA＝72°÷2＝36°，

故选：A．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（　　）

A．30° B．40° C．70° D．75°

【分析】首先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质求出∠DBC的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠BDC的度数．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝70°，

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBC＝35°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，

故选：D．

11．如图，∠CAD＝20°，AD＝BD＝AC，则∠B的度数为 　40　°．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．

【解答】解：∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠C，

∵∠DAC＝20°，

∴∠ADC＝∠C＝ （180°﹣20°）＝80°，

∵AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，

∴ 80°＝40°，

故答案为：40．

12．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 　40°或100°　．

【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．

【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；

当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；

综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．

故答案为：40°或100°．

13．在等腰三角形中，已知顶角与底角的度数比为1：2，则顶角的度数是 　36°　．

【分析】设等腰三角形的各角为x，2x，2x，根据三角形的内角和公式列方程，从而可求得顶角的度数．

【解答】解：设等腰三角形的各角为x，2x，2x，则

∵x+2x+2x＝180°，

∴x＝36°，

故顶角的度数是36°．

故答案为：36°．

14．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为　55°，55°或70°，40°　．

【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．

【解答】解：分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；

（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．

故答案为：55°，55°或70°，40°．

15．如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；

（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．

【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，

∴∠DBE＝∠EBC，

∵DB＝DE，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴∠DEB＝∠EBC，

∴DE∥BC；

（2）解：∵DE∥BC，

∴∠C＝∠AED＝50°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，

∵BE是△ABC的角平分线，

∴∠DBE＝∠EBC＝ ∠ABC＝35°．

16．已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．

（1）写出y与x的关系式为 　y＝﹣2x+11　；

（2）若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．

【分析】（1）根据三角形的周长可得2x+y＝11，变形即可求出y与x关系式；

（2）根据y≤3可得﹣2x+11≤3，再根据y＞0，可得﹣2x+11＞0，分别解不等式求出x取值范围，进一步取整即可．

【解答】解：（1）根据题意，得2x+y＝11，

∴y＝﹣2x+11，

故答案为：y＝﹣2x+11；

（2）当y≤3时，﹣2x+11≤3，

解得x≥4，

∵﹣2x+11＞0，

∴x＜5.5，

∴x的取值范围是：4≤x＜5.5，

∴x取整数4或5．

17．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

【分析】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，而没有说明哪部分是15，哪部分是6；所以应该分两种情况进行讨论：第一种AB+AD＝15，第二种AB+AD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．

【解答】解：如图，

解：设AD＝x，

∵BD是△ABC的中线，

∴CD＝AD＝ AC＝x，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝2x，

又∵中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，

①当AD+AB＝15时，有2x+x＝15，得x＝5，即AB＝10，

∴BC+CD＝6，即5+BC＝6，得BC＝1，

∴等腰△ABC的腰为10，底边为1；

②当AD+AB＝6时，有2x+x＝6，得x＝2，即AB＝4，

∴BC+CD＝15，即BC+2＝15，得BC＝13，

又∵4+4＜13，

∴此种情况不能构成三角形．

∴综上所述：等腰△ABC的腰为10，底边为1．

考点二 等腰三角形的“三线合一”

【知识点睛】

• 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，简称等腰“三线合一”

三线合一相关结论：

①等腰三角形的轴对称性：对称轴为底边上的中线（顶角平分线、底边上的高线）所在的直线；

②等腰三角形的三线合一在用于求角度时，多注意角平分线与垂直所得90°的关系，同步应用三角形内角和与外角定理

• 特别注意：

①等边三角形三边均存在“三线合一”，对称轴有3条，分别是“三线”所在的直线

②等腰三角形的对称轴有1条或3条

【类题训练】

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝　3　．

【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．

【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴CD＝BD，

∵BC＝6，

∴CD＝3，

故答案为：3．

2．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【分析】先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC＝∠ACD，∠ABE＝∠ACE．可求出∠ABE的值．

【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴AD是BC的线段垂直平分线，

∵E是AD上一点，

∴EB＝EC，

∴∠EBD＝∠ECD，

∵∠CED＝50°，

∴∠ECD＝40°，

又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，

∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，

故选：C．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　20　度．

【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠B，同理求出∠BDE，求出∠ADB，再求出答案即可．

【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝40°，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED＝ （180°﹣∠B）＝70°，

∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，

故答案为：20．

4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C

【分析】由AB＝AC，AD⊥BC可得AD平分∠BAC，判断出∠1＝∠2，再根据AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可知∠ADC＝∠BEC＝90°，可判断出B与D正确．

【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

故A正确，不符合题意；

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，

∴∠ADC＝∠BEC，

∵∠C＝∠C，

∴∠EBC＝∠2，

故B正确，不符合题意；

∵∠AFE是△ABF的外角，

∴∠AFE＝∠1+∠ABF，

无法得到∠ABF＝∠2，

无法得到∠BAC＝∠AFE，

故C错误，符合题意；

在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠2，

在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，

∴∠AFE＝∠C，

故D正确，不符合题意；

故选：C．

5．如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．

（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；

（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解；

（2）根据三角形面积公式，以及中点的性质即可求解．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，D为BC边的中点

∴AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD＝90°

∵DE⊥AB

∴∠B+∠EDB＝90°

∴

即∠BAC＝2∠EDB

（2）∵AB＝AC＝6，DE＝2

∴

∵D为BC边的中点

∴S_△ADC＝S_△ADB＝6

∴S_△ABC＝12

6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°

【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠BAC＝40°，

∴∠ACB＝ ×（180°﹣40°）＝70°，

∵AD是△ABC的中线，

∴AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝ ∠BAC＝20°，

∵CE是△ABC的角平分线，

∴∠ACE＝ ∠ACB＝35°，

∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．

故选：D．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，点E为中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，则AD的长度为　 　．

【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD是底边上的高，然后求得三角形的面积，从而根据底边的长求得底边上的高．

【解答】解：∵AB＝AC，点E为中线AD上一点，

∴AD⊥BC，

∵△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，

∴S_△ABC＝ BC•AD＝2（S_△ABE+S_△CDE）＝2（1.5+2）＝7，

∵BC＝3，

∴AD＝ ，

故答案为： ．

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝16，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝6．

（1）求∠CAD度数；

（2）求△BMN的周长．

【分析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；

（2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM＝NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形，

又∵∠ABC＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，

又∵D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC＝ 40°＝20°，

故∠CAD度数为20°；

（2）∵NM∥AC，

∴∠ANM＝∠CAD，

又∵∠CAD＝∠BAD，

∴∠ANM＝∠BAD，

∴AM＝NM，

∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN，

∵AB＝16，BN＝6，

∴△BMN的周长＝16+6＝22．

故△BMN的周长为22．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　15°　；

（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　20°　；

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示；

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形内角和定理计算，得到答案；

（2）仿照（1）的作法解答；

（3）根据（1）（2）的结论总结规律，得到答案；

（4）根据等腰三角形的性质得到∠ADE＝∠AED，根据三角形的外角性质计算即可．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝30°，

∴∠CAD＝∠BAD＝30°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠EDC＝15°，

故答案为：15°；

（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝40°，

∴∠CAD＝∠BAD＝40°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝70°，

∴∠EDC＝20°，

故答案为：20°；

（3）∠BAD＝2∠EDC；

（4）仍有上述关系，

理由如下，∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C，

∴∠BAD+∠B＝∠EDC+∠C+∠EDC＝2∠EDC+∠C

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠BAD＝2∠EDC．

考点三 等腰三角形的判定

【知识点睛】

• 等腰三角形的判定

1. 定义法：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形

2. 等角对等边

• 等边三角形的判定：

1. 三条边（或三个角）都相等的三角形是等边三角形

2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

3. 有两个角是60°的三角形是等边三角形

【类题训练】

1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．

【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，

故选：C．

2．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③

【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA＝CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答．

【解答】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，

∵∠BAC＝90°，AB≠AC，

∴∠B≠∠C≠45°，

∴∠C≠∠CAD，

∴△ACD不是等腰三角形，

故①错误；

图②：由题意得：

CA＝CD，

∴△ACD是等腰三角形，

故②正确；

图③：由题意得：

点D在AC的垂直平分线上，

∴DA＝DC，

∴△ACD是等腰三角形，

故③正确，

所以，上列作法中，正确的有：②③，

故选：A．

3．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝　40°、70°或100°　时，△ABC是等腰三角形．

【分析】分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠C＝40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝40°；（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．

【解答】解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝40°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；

②AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝40°；

（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝70°．

故答案为：40°或70°或100°．

4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．

以下是排乱的证明过程：

①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（　　）

1. ③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤

C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤

【分析】先由平行线的性质得∠1＝∠B，∠2＝∠C，等量代换得到∠B＝∠C，然后由等角对等边即可得出结论．

【解答】解：∵③AD∥BC，

∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∵①∠1＝∠2，

∴②∠B＝∠C，

∴⑤AB＝AC，

故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，

故选：B．

5．用一根长18cm的细绳围成一个其中一边长为4cm的等腰三角形，则腰长是 　7　cm．

【分析】分两种情况：4cm为腰长和底边长计算可求解．

【解答】解：当4cm为腰长时，腰长为4cm，

∵18﹣4﹣4＝10，4+4＜10，

∴三角形不存在；

当4cm为底边长时，腰长为 ＝7cm，

∵4+7＞7，

∴三角形存在．

∴等腰三角形的腰长为7cm，

故答案为：7．

6．如图，下列3个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　②　（填序号）．

【分析】顶角为：36°，90°的3种等腰三角形都可以用一条直线把这3个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．

【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，

①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；

②不能；

③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；

故答案为：②．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有 　3　个．

【分析】由AB＝AC可判定△ABC是等腰三角形，有∠B＝∠C＝36°，再由中垂线得AD＝CD，则△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，从而可求得∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，则可判定△BAD是等腰三角形．

【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，

∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，

∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，

∴AD＝CD，

∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴△BAD是等腰三角形．

故图中等腰三角形有3个．

故答案为：3．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 　小　（填“大”或“小”）；

（2）在点D的运动过程中，当∠BDA的度数是 　110°或80°　时，△ADE是等腰三角形．

【分析】（1）结合图形分析即可解答；

（2）分三种情况，当AD＝AE时，当DA＝DE时，当EA＝ED时，然后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．

【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小，

故答案为：小；

（2）分三种情况：

当AD＝AE时，

∴∠ADE＝∠AED＝40°，

∵∠AED是△DEC的外角，

∴∠AED＞∠C，

此种情况不存在，

当DA＝DE时，

∵∠ADE＝40°，

∴∠DAE＝∠DEA＝70°，

∵∠C＝40°，

∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°，

当EA＝ED时，

∴∠EAD＝∠ADE＝40°，

∵∠C＝40°，

∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°，

综上所述：∠BDA的度数是110°或80°，

故答案为：110°或80°．

9．如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t＝　4或16　s时，△AMN为等腰三角形．

【分析】分两种情况求解：如图1，由可得AN＝AM，可列方程求解；如图2，首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．

【解答】解：如图1，设点M、N运动x秒后，AN＝AM，

由运动知，AN＝12﹣2x，AM＝x，

∴12﹣2x＝x，

解得：x＝4，

∴点M、N运动4秒后，△AMN是等腰三角形；

如图，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN＝AM，

∴∠AMN＝∠ANM，

∴∠AMC＝∠ANB，

∵△ACB是等边三角形，

∴∠C＝∠B，

在△ACM和△ABN中，

∠C＝∠B，∠AMC＝∠ANB，AC＝AB，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM＝BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，

∵CM＝NB，

∴y﹣12＝36﹣2y，

解得：y＝16．故假设成立．

∴点M、N运动时间为4秒或16秒时，△AMN为等腰三角形．

故答案为：4或16．

10．如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P₁，P₃，P₅…，在边OM 上顺次取点P₂，P₄，P₆…，使得OP₁＝P₁P₂＝P₂P₃＝P₃P₄＝P₄P₅…，得到等腰△OP₁P₂，△P₁P₂P₃，△P₂P₃P₄，△P₃P₄P₅…

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　△P₁P₂P₃　；

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P₃P₄P₅，则∠MON 的度数α 的取值范围是　18°≤α＜22.5°　．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP₂P₃即可判断．

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P₃P₄P₅，需要满足：∠P₄P₃P₅＝4α＜90°且∠MP₄P₅＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．

【解答】解：（1）∵OP₁＝P₁P₂＝P₂P₃，

∴∠OP₂P₁＝∠O＝30°，

∠P₂P₁P₃＝∠P₂P₃P₁＝60°，

∴∠OP₂P₃＝90°，

∴△P₂P₃P₄不存在，

∴得到的最后一个等腰三角形是△P₁P₂P₃．

故答案为△P₁P₂P₃．

（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P₃P₄P₅，

需要满足：∠P₄P₃P₅＝4α＜90°且∠MP₄P₅＝5α≥90°，

∴18°≤α＜22.5°，

故答案为18°≤α＜22.5°．

11．在△ABC中，∠A＝ ∠C＝ ∠ABC，BD是角平分线，求：

（1）∠A的度数？

（2）求证：△DBC是等腰三角形．

【分析】（1）由三角形内角和定理可求解；

（2）由角平分线的性质可求∠BDC＝∠C＝72°，可证BD＝BC，可得结论．

【解答】（1）解：∵∠A＝ ∠C＝ ∠ABC，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°；

（2）证明：∵BD是角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°，

∴∠BDC＝72°，

∴∠BDC＝∠C＝72°，

∴BD＝BC，

∴△BDC是等腰三角形．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．

（1）求证：△AMN是等腰三角形；

（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，求证：△BPM是等腰三角形．

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，再根据平行线的性质得到∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠C，则∠AMN＝∠ANM，然后可判断△AMN是等腰三角形；

（2）先根据BP平分∠ABC得到∠MBP＝∠CBP，再根据平行线的性质得到∠MPB＝∠CBP，于是得到∠MBP＝∠MPB，然后可判断△BPM是等腰三角形．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵MN∥BC，

∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠C，

∴∠AMN＝∠ANM，

∴AM＝AN，

∴△AMN是等腰三角形；

（2）∵BP平分∠ABC，

∴∠MBP＝∠CBP，

∵MN∥BC，

∴∠MPB＝∠CBP，

∴∠MBP＝∠MPB，

∴MB＝MP，

∴△BPM是等腰三角形．

13．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF⊥AD，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．

【分析】利用角平分线的定义及三角形外角性质得到AE＝DE，根据等腰三角形的性质分析得出答案．

【解答】解：∠AEF＝∠DEF，理由如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠EAC＝∠B，且∠ADE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，

∴∠ADE＝∠DAE，

∴AE＝DE，

又∵EF⊥AD，

∴EF平分∠AED，

∴∠AEF＝∠DEF．

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？

（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？

【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；

（2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，

∵AB＝16，

∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，

当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，

即16﹣t＝2t，解得t＝ ，

∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形；

（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10（cm），

∴BC+CQ＝22（cm），

∴t＝22÷2＝11（秒）．

②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，

则BC+CQ＝24（cm），

∴t＝24÷2＝12（秒）．

综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．

考点四 等腰三角形中的分类讨论

【知识点睛】

• 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；

• 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论

当等腰三角形的顶角为α时，，所以，；当等腰三角形中给出一个角度为锐角时，该角可以是顶角，也可以是底角；

设等腰三角形中有一个角为α时	对应结论
当α为顶角时	底角=
当α为直角或钝角时	不需要分类讨论，该角必为顶角
当α为锐角时	α可以为顶角；也可以为底角
当等腰三角形的一个外角为α时	对应结论
若α为锐角、直角	α必为顶角的外角
若α为钝角	α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角

【类题训练】