《第7章 平行线的证明》
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是（ ）
A．直线AB和CD垂直吗
B．过线段AB的中点C画AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行
D．连接A，B两点
2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC
5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（ ）
A．50° B．60° C．65° D．90°
6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（ ）
A．84° B．106° C．96° D．104°
8．适合条件∠A=
∠B=
∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）
A．150° B．210° C．105° D．75°
10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
二、填空题
11．命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 ．
12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= ．
13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是 ．
14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= ，∠CED= ．
15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= ．
16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为 度．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为 °．
18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度．
三、解答题（共66分）
19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．
21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．
23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．
24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．
【探究】
（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；
（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
《第7章 平行线的证明》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是（ ）
A．直线AB和CD垂直吗
B．过线段AB的中点C画AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行
D．连接A，B两点
【考点】命题与定理．
【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断．
【解答】解：A、是问句，不是命题；
B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；
C、对一件事情做出了判断，是命题；
D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题．
故选C．
【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题．
2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小．
【解答】解：∵CB⊥DB，
∴∠CBD=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠D=65°，
∴∠C=25°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠C=25°．
故选A．
【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，
∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，
∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．
4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，
∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB＞∠DEC，
∵∠ADB＞∠ACB，
∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；
∠DCE与∠ADB的大小无法比较．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．
5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（ ）
A．50° B．60° C．65° D．90°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠1=180°，
∵∠1=50°，
∴∠BEF=130°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=
∠BEF=65°，
∴∠2=∠BEG=65°．
故选C．
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．
6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，
∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，
∴∠ABD=30°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．
故选C．
【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．
7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（ ）
A．84° B．106° C．96° D．104°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABC=∠1=46°，
∵∠A=38°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
8．适合条件∠A=
∠B=
∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A=
∠B=
∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）
A．150° B．210° C．105° D．75°
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．
故选A．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°﹣55°=35°，
∴∠2=35°．
故选B．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
二、填空题
11．命题“对顶角相等”的条件是 两个角是对顶角 ，结论是 这两个角相等 ．
【考点】命题与定理．
【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．
【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度．
12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= 64° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
即70°+x=134°，
解得x=64°．
故答案为：64°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是 50° ．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE度数，再根据平行线的性质，求得∠B的度数．
【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°，
∴∠DFE=50°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠DFE=50°．
故答案为：50°
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= 70° ，∠CED= 110° ．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=∠F=40°，
∴DF∥AC，
∵∠D=70°，
∴∠D=∠ABD=70°，
∵DF∥AC，
∴∠CED+∠C=180°，
∵∠C=70°，
∴∠CED=110°，
故答案为：70°，110°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= 120° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．
【解答】解：
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，
∵∠3+∠4+∠DAC=180°，
∴4∠2+100°=180°，
∴∠2=20°，
∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．
16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为 22 度．
【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角．
【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案．
【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，
故∠WMS=∠OWM=22°；
故答案为：22．
【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为 50或130 °．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时可画图为，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；
故填50°或130°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 10 度．
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则180°﹣5x=130°，即可求解．
【解答】解：设∠A=x．
∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，
则180°﹣5x=130°，
解，得x=10°．
则∠A=10°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC的外角是正确解答本题的关键．
三、解答题（共66分）
19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
又已知∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．
【解答】解：小刚的答案为50°．
理由如下：如图，
设∠1的邻补角为∠4，
∵∠1=130°，
∴∠4=180°﹣130°=50°，
∵∠3是人字架三角形的外角，
∴∠3=∠2+∠4，
∴∠4=∠3﹣∠2=50°，
∴∠3比∠2大50°．
【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
【解答】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．
【考点】等腰直角三角形．
【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和180°，从而求得∠3的度数．
【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=45°，
∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2，
∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1，
∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°，
∴2（45°+∠1）+∠1=180°
∴∠1=30°，
∴∠3=
=75°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=110°，
∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，
∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，
∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°，
∴∠EDB+∠FDC=140°，
即∠EDF=180°﹣140°=40°
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
【考点】平行线的性质．
【专题】探究型．
【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．
25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= 130° ；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+
n° ．
【探究】
（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+
n° ；
（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；
探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；
（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．
【解答】【问题】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=
∠ABC，∠ECB=
∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=
（∠ABC+∠ACB）=
×100°=50°，
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°；
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=
∠ABC，∠ECB=
∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=
（∠ABC+∠ACB）=
×（180°﹣n°）=90°﹣
n°，
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣
n°）=90°+
n°；
探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC=
∠ABC，∠ECB=
∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=
（∠ABC+∠ACB）=
×（180°﹣n°）=120°﹣
n°，
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣
n°）=60°+
n°；
（2）∠BOC=
∠A．
理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠OCD=∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），
∴∠A=2∠BOC，
∴∠BOC=
∠A；
（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=
（180°﹣∠ABC）=90°﹣
∠ABC，∠OCB=
（180°﹣∠ACB）=90°﹣
∠ACB，
在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣
∠ABC）﹣（90°﹣
∠ACB）=
（∠ABC+∠ACB），
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=
（180°﹣∠A）=90°﹣
∠A．
故答案为：130°，90°+
n°；（1）60°+
n°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．