《7.1 为什么要证明》

　

一、选择题

1．如图，利用所学的知识进行逻辑推理，工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是（　　）

A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性

C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性

2．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是（　　）

A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行

B．相信自己，两个影子就是平行的

C．构造几何模型，用已学过的知识证明

D．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行

3．下列说法中，①锐角都相等；②大于90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为0；④若l₁⊥l₂，l₁⊥l₃，则l₂⊥l₃．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

4．若P（P≥5）是一个质数而且P²﹣1除以24没有余数，则这种情况（　　）

A．绝不可能 B．只是有时可能

C．总是可能 D．只有当P=5时可能

5．下列结论，你能肯定的是（　　）

A．今天天晴，明天必然还是晴天

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖

D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的

6．下列说法正确的是（　　）

A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否

B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系

C．对于自然数n，n²+n+37一定是质数

D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个

7．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（　　）

A．小华用的多 B．小明用的多

C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多

　

二、非选择题

8．如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．

9．先观察再验证：（如图）

（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？

（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？

（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？

10．如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8吗？为什么？

11．已知n为正整数，你能肯定2ⁿ⁺⁴﹣2ⁿ一定是30的倍数吗？

12．当n为整数时，（n+1）²﹣（n﹣1）²的值一定是4的倍数吗？

13．观察下列等式：

12×231=132×21；

13×341=143×31，23×352=253×32；

34×473=374×43，62×286=682×26；

…

根据上述等式填空：

①52×　　=　　×25；

②　　×396=693×　　．

14．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：

（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？

（2）第几个图形有2 016颗黑色棋子？请说明理由．

15．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．

A说：“我在B的旁边．”

B说：“我的左边不是C就是D．”

C说：“我在D的旁边．”

D说：“不，C在B的右边是错的．”

只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”

你能确定他们的位置吗？

16．王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活，至少需要　　分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计）

家务项目	擦窗	洗菜	洗饭煲、洗米	炒菜（用煤气炉）	煲饭（用电饭煲）
完成各项家务所需时间	5分钟	4分钟	3分钟	20分钟	30分钟

　

《7.1 为什么要证明》

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．如图，利用所学的知识进行逻辑推理，工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是（　　）

A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性

C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性

【考点】三角形的稳定性．

【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．

【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，

故选：D．

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．

　

2．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是（　　）

A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行

B．相信自己，两个影子就是平行的

C．构造几何模型，用已学过的知识证明

D．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行

【考点】平行线的判定．

【专题】应用题．

【分析】根据平行线的判定方法，结合各选项进行判定即可．

【解答】解：A、平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项错误；

B、没有理论依据，故本选项错误；

C、没有具体的操作方法，故本选项错误；

D、根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了平行线的判定．判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

　

3．下列说法中，①锐角都相等；②大于90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为0；④若l₁⊥l₂，l₁⊥l₃，则l₂⊥l₃．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【考点】命题与定理．

【分析】利用锐角的定义、钝角的定义、相反数的性质及垂线的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：①锐角都相等，错误；

②大于90°且小于平角的角是钝角，正确；

③互为相反数的两数和为0，正确；

④若l₁⊥l₂，l₁⊥l₃，则l₂⊥l₃，错误，

故选B．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解锐角的定义、钝角的定义、相反数的性质及垂线的性质，难度不大．

　

4．若P（P≥5）是一个质数而且P²﹣1除以24没有余数，则这种情况（　　）

A．绝不可能 B．只是有时可能

C．总是可能 D．只有当P=5时可能

【考点】命题与定理．

【分析】通过证明P²﹣1为24的倍数进行判断．

【解答】解：因为P（P≥5）是一个质数，则P是奇数，

设P=2a+1（a=1，2，3）

∴p²﹣1=（2a+1）²﹣1=4a²+4a=4a（a+1），

因为a，a+1一定有一个可以被2整除，

所以p²﹣1是8的倍数，

∵P（P≥5）是一个质数，

∴P不是3的倍数，

P=3b+1或3b+2（b=1，2，3…），

∴p²﹣1=（p+1）（p﹣1），

当p=3b+1时，p﹣1是3的倍数，

同样p=3b+2时，p+1是3的倍数．

∴p²﹣1也是3的倍数，

∴p²﹣1是24的倍数，

∴P²﹣1除以24没有余数．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

　

5．下列结论，你能肯定的是（　　）

A．今天天晴，明天必然还是晴天

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖

D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的

【考点】命题与定理．

【分析】判断命题的真假即可．

【解答】解：今天天晴，明天不一定是晴天，A错；因为6=2×3，三个连续的整数中，至少有一个是偶数，能被2整除，而三个连续的整数中一定有一个3的倍数的数，也能被3整除，所以三个连续整数的积一定能被6整除，B正确．

故选B．

【点评】本题考查命题的真假，注意进行合理分析．

　

6．下列说法正确的是（　　）

A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否

B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系

C．对于自然数n，n²+n+37一定是质数

D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个

【考点】命题与定理．

【分析】根据推理、证明的作用即可作出判断．

【解答】解：A，错误，不能完全这样判断，还要有严格的逻辑证明；

B，错误，生活中也有推理的存在；

C，错误，当n=37时，结果就不是质数；

D，正确．

故选D．

【点评】本题考查了质数的概念，我们生活中处处要用到数学中的知识．

　

7．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（　　）

A．小华用的多 B．小明用的多

C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多

【考点】生活中的平移现象．

【分析】经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形．

【解答】解：因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是平移的性质、熟练掌握平移的性质是解题的关键．

　

二、非选择题

8．如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰直角三角形．

【专题】网格型．

【分析】利用勾股定理计算出AC²，BC²，AB²，进而可根据勾股定理逆定理可得△ACB是直角三角形．

【解答】解：AC²=3²+1²=10，BC=3²+1²=10，AB²=2²+4²=20，

∵10+10=20，

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形．

【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．

　

9．先观察再验证：（如图）

（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？

（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？

（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？

【考点】平行线的判定；比较线段的长短．

【分析】（1）在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可；

（2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可；

（3）测量∠CAB、∠ACD的度数，若∠CAB+∠ACD=180°，则AB∥CD．

【解答】解：观察可能得出的结论是：

（1）中的实线是弯曲的；

（2）a更长一些；

（3）AB与CD不平行．

用科学的方法验证可发现：

（1）中的实线是直的；

（2）a与b一样长；

（3）AB与CD平行．

【点评】本题考查了平行线的判定、线段长短的比较，注意掌握平行线的判定定理、刻度尺的使用．

　

10．如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8吗？为什么？

【考点】有理数的加法；绝对值．

【专题】计算题．

【分析】不一定|a+b|=8，举一个反例即可．

【解答】解：如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8不一定成立，

例如|﹣3|=3，|5|=5，但是|﹣3+5|=2．

【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

11．已知n为正整数，你能肯定2ⁿ⁺⁴﹣2ⁿ一定是30的倍数吗？

【考点】因式分解的应用．

【专题】应用题．

【分析】原式提取公因式变形，即可做出判断．

【解答】解：2ⁿ⁺⁴﹣2ⁿ=2ⁿ（2⁴﹣1）=15×2ⁿ，

由n为正整数，得到2ⁿ为2的倍数，

则15×2ⁿ为30的倍数，即2ⁿ⁺⁴﹣2ⁿ一定是30的倍数．

【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

　

12．当n为整数时，（n+1）²﹣（n﹣1）²的值一定是4的倍数吗？

【考点】因式分解的应用．

【专题】计算题．

【分析】原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可做出判断．

【解答】解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）]

=4n，

则结果一定为4的倍数．

【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

　

13．观察下列等式：

12×231=132×21；

13×341=143×31，23×352=253×32；

34×473=374×43，62×286=682×26；

…

根据上述等式填空：

①52×　275　=　572　×25；

②　63　×396=693×　36　．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位上；右边三位数字与左边的三位数字百位数字与个位数字变换，两位数与左边两位数的十位数字与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空即可．

【解答】解：①∵5+2=7，

∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，

∴52×275=572×25，

故答案为：275，572；

②∵右边的三位数是369，

∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，

63×396=693×36，

故答案为：63，36．

【点评】本题主要考查了数字的变化规律，理清利用左边的两位数的数字变化得到其它三位数是解答此题的关键．

　

14．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：

（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？

（2）第几个图形有2 016颗黑色棋子？请说明理由．

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求解（1）与（2）．

【解答】解：第1个图形有棋子6颗，第2个图形有棋子9颗，第3个图形有棋子12颗，第4个图形有棋子15颗，第5个图形有棋子18颗，…，第n个图形有棋子3（n+1）颗．

（1）第5个图形有18颗黑色棋子；

（2）第n个图形有棋子3（n+1）颗．

设第n个图形有2 016颗黑色棋子，

得3（n+1）=2016，

解得n=671．

所以第671个图形有2016颗黑色棋子．

【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．

　

15．如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．

A说：“我在B的旁边．”

B说：“我的左边不是C就是D．”

C说：“我在D的旁边．”

D说：“不，C在B的右边是错的．”

只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”

你能确定他们的位置吗？

【考点】推理与论证．

【分析】首先根据A的说法是错误的，则B的位置可能有两个．再根据B的说法正确和D的说法是错误的，说明C在B的右边，D在B的左边．剩下的位置即为E．

【解答】解：如图，有两种可能．

【点评】此题要用逐步推理的方法，找到它们各自正确的位置．

　

16．王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活，至少需要　33　分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计）

家务项目	擦窗	洗菜	洗饭煲、洗米	炒菜（用煤气炉）	煲饭（用电饭煲）
完成各项家务所需时间	5分钟	4分钟	3分钟	20分钟	30分钟

【考点】推理与论证．

【分析】此题是统筹安排的问题，比如用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，按此思路进行解答．

【解答】解：因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，

所以王慧同学完成以上五项家务活，至少需要3+30=33（分钟）．

故答案为：33．

【点评】此题主要考查了推理与论证，统筹安排的思想在生活中应用较广，灵活掌握有利提高工作效率．