1

.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于( )

A.2 B.2

C. D.

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C

详细解答：作BC边上的高AD,

• ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°

在 Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=

在Rt△ACD中，∠C=45°，AD= ,所以CD=AD= ，

利用勾股定理可得AC= 。

1 ．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD= ，线段AB长为（ ）。

A.2 B.3

C.4 D.3

答案：C

分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由 ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。

详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD= ,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD= ,所以BC=2 ，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，

小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC²-BD²=AC²-AD²，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a²c²－b²c²=a⁴－b⁴，则它的形状为

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状

知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。

答案：D

详细解答：∵ a²c²－b²c²=a⁴－b⁴，∴左右两边因式分解得

∴ ∴ 或 ，

即 或 ，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)²+︱a²-b²-c²︱=0，则△ABC是（ ）

（A）等腰三角形 （B）直角三角形

（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形

答案：C

详细解答：∵(c-b)²+︱a²-b²-c²︱=0，∴c-b =0且a²-b²-c²=0 即 且 ，

所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a² +b²=c²的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。

答案：C

详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。

3．在下列说法中是错误的（ ）

A．在△ABC中， （ 为正整数，且 ），则△ABC为直角三角形.

B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形.

C．在△ABC中，若 ，则△ABC为直角三角形.

D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形.

答案：B

详细解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝

不是直角三角形。

△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a²＋b²＝25k²＋144k²＝169k²，c²＝(13k)²＝169k²，所以，a²＋b²＝c²，△ABC是直角三角形．

4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C.对顶角相等 D.如果a²=b²,那么a=b

知识点：互逆命题

知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。

答案：C

详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。

4．下列命题的逆命题成立的是（ ）

（A）若a=b，则 （B）全等三角形的周长相等

（C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，则ab=0

答案：C

详细解答：（A）的逆命题是：若 ，则a=b。不一定成立，也可能a=-b

（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。

（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。

5 ．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，

离开港口2小时后，两船相距（　　）

A.25海里 B.30海里

C.35海里 D.40海里

知识点：勾股定理的实际应用题

知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。

答 案：D

详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，

AC=32海里，AB=24海里，

根据勾股定理得BC²=AC²+AB²=32²+24²=1600，

所以BC=40（海里）

5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）

A． B． C． D．

答 案：C

详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm

在Rt△ACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB²=AC²+CB²=41,

在Rt△ADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD²=AB²+BD²

=41+9=50,所以AD=

6 ．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

知识点：网格问题，勾股定理和逆定理

知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

答案：A

详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。

在 Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB²=CD²+BD²=65，

在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC²=AE²+CE²=13，

在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB²=AF²+BF²=52，

所以，在△ABC中， AC²+AB²=13+52=65，

又CB²=65，所以，AC²+AB²= CB²，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形

6 ．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( )

A.25 B.12.5

C. 9 D.8.5

答 案：B

详细解答：S_{四边形EFGH} =S_ABCD -S_△DEF -S_△CFG -S_△BGH -S_△AEH

=5×5- ×1×2- ×3×3- ×2×3- ×2×4=12.5

7 .如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（ ）

A. 36 B. 25

C. 24 D. 30

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.

详 细解答：连接AC，在Rt△ABC中，

AC²=AB²＋BC²=3²＋4²=25， ∴ AC=5.

在△ACD中，∵ AC²＋CD²=25＋12²=169，

又∵ AD²=13²=169，

∴ AC²＋CD²=AD²，∴ ∠ACD=90°．

故S_{四边形ABCD}=S_△ABC＋S_△ACD= AB·BC＋ AC·CD

= ×3×4＋ ×5×12=6＋30=36.

7．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是( )。

A . 10 B.

C. D.

答案：B

详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝

所 以 ＝ ＋ ＝9

所以AC＝3

又因为 ，

所以

所以∠CAD＝90°

所以 ＝ ×2× ＋ ×3×4＝

8.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

那 么四边形ABCD的面积是( )。

A. 24 B. 36

C. 18 D. 20

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：C

详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

所 以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；

在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，

3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；

利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是 （3+6）×4=18

8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得( )。

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

答案：C

详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm

∴ BD＝8cm

∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm

则有：

∴∠ADB＝90°

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm

根据勾股定理得：AC＝ ＝17 （cm）

9 .已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD²=AD·BD，△ABC是( )。

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 不等边三角形 D. 等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

详细解答：∵AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²

∴AC²+BC²=AD²+2CD²+BD²

又∵CD²=AD·BD

∴AC²+BC²=AD²+2AD·BD+BD²

=（AD+BD）²=AB²

所以△ABC是直角三角形。

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（ ）．

A . 115° B. 125°

C. 135° D. 120°

答案：C

详细解答：如答图，

将 △APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,

∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE²=PC²+CE²=8.

又∵PB²=1，BE²=9，

∴PE²+ PB²= BE²,则∠BPE=90°，

∴∠BPC=135°.

1

0．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝ DC，判断△BEF为（ ）。

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 不等边三角形 D. 等边三角形

知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A

详细解答： 设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。

在Rt△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝（4a）²＋(2a)²＝20a²

在Rt△DEF中，EF²＝DE²＋DF²＝（2a）²＋a²＝5a²

在Rt△BCF中，BF²＝BC²＋CF²＝（4a）²＋(3a)²＝25a²

所以BE²＋EF²＝BF²

所以∠BEF＝90°

所以△BEF为直角三角形。

1 0．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝ 。△ABC为（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

答案：A

详细解答：

延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE

∵CD＝ ，DE＝CD

∴CE＝13

∵在△ADE和△BDC中

∴△ADE≌△BDC

∴AE＝BC＝5

在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13

即 ，∴∠EAC＝90°

∵∠EAB＝∠CBA

∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90°

∴∠ACB＝90°

∴△ACB为直角三角形