第11章 平面直角坐标系

11.1 平面上点的坐标

专题一 点的位置与不等式间的关系

1.已知点M（3a－9，1－a）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.0

2.在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，∣n∣)一定在（ ）.

A.第一象限或第二象限 B.第一象限或第三象限

C.第二象限或第四象限 D.第三象限或第四象限

3.若点A（a-1,a）在第二象限，则点B（ ,a-2）在第 象限.

专题二 点的坐标中的开放题

4.若点P（x，y）的坐标满足x＋y＝xy，则称点P为“和谐点”。请写出一个“和谐点”的坐标，答： .

5.已知点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P的坐标可以是 （只要写出一个符合条件的坐标即可）.

专题三 点的坐标中的规律探究题

6 .一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图12-1-10中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）.

A.(4，0) B.(5，0) C.(0，5) D.(5，5)

7.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为( )

    A．64．  B．49．  C．36．　　D．25．

8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为(1，0)和 (2，0) ．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点(45，2)的是点 ．

专题四 点的坐标中的阅读理解题

9.（2011·永州）对点（x，y ）的一次操作变换记为P₁（x，y ），定义其变换法则如下：P₁（x，y ）=（x+y，x-y）；且规定 （ 为大于1的整数）．如P₁（1，2 ）=（3，-1），P₂（1，2 ）= P₁（P₁（1，2 ））= P₁（3，-1）=（2，4），P₃（1，2 ）= P₁（P₂（1，2 ））= P₁（2，4）=（6，-2）．则P₂₀₁₁（1， ）=（ ）

A．（0,2¹⁰⁰⁵ ） B．（0,-2¹⁰⁰⁵ ） C．（0,-2¹⁰⁰⁶） D．（0,2¹⁰⁰⁶）

11.一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：

①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；

②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．

例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：

（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．

请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．

（１）（3,　5）；　（２）（12，60）；　（3）（200，5）；　（4）（200，6）．

【知识要点】

1.对平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标.

2.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限.各象限内点的坐标符号分别为(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).

【温馨提示】

1.点的坐标是用一个序实数对表示的,有顺序要求,即点(a,b)和(b,a)一般不表示同一个点.

2.坐标轴上的点不属于任何一个象限,其纵横坐标的积为0.

3.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，坐标系的确定是关键,有些是自由确定,有些要根据题目所给条件进行确定.

【方法技巧】

1.在根据点的位置确定字母的取值范围时,根据题目条件得到不等式组是关键.

2.在坐标系中,求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.

参考答案

1.B 提示:在第三象限的点的横坐标为负，纵坐标也为负，故 ，解得 ，又a为整数，故a = 2.

2.A 提示:由mn＞0，知m、n同号,当m＞0时,n＞0,|n|＞0,点(m，|n|)在第一象限;当m＜0时,n＜0,|n|＞0,点(m，|n|)在第二象限.

3.三 提示:由点A在第二象限,可得 ,解得0＜a＜1,所以a-1＜0,a-2＜0,从而 ＜0,所以点B在三象限.

4.答案不唯一,如（2，2）或者（0，0） 提示:根据已知数据，适当取定x的值，解方程，求出y即可.如取x＝0，得y＝0；取x＝2，得y＝2.

5.答案不唯一,例如（2，－1）.

6.B 提示:根据题意,对质点的几个特殊位置和对应的时间列表如下:

时间	0	1	2	3	4	6	8	9	12	15
坐标	(0,0)	(0,1)	(1,1)	(1,0)	(2,0)	(2,2)	(0,2)	(0,3)	(3,3)	(3,0)

从表格中可以看出,时间为4n²(n为自然数)时质点的坐标为(2n,0),时间为(4n²-1)秒时质点的坐标为(2n-1,0),则第35妙时,n=3,此时质点的坐标为(5,0),应选B.

7.B 提示:由题意可知，边长为1和2时，只有一个整点，边长为3和4时中间的整点为3×3=9个，边长为5和6时，整点为5×5=25 个，边长为7和8时，整点为7×7=49个．

8.B 提示:因为C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）,所以按题中滚动方法点E经过点（3，0），点F经过点（4，0），点A经过点（5，0），点B经过(6,0).因为六边形的边长为1,所以而该六边形中AD=BE=CF=2,而点（45，0）的横坐标是6的倍数多3,，该六边形滚动6次正好一周,故可知经过（45，0）的点经过（3，0），所以点E经过点（45，0）,因为BE=2,所以点B经过点（45，2）.

9.D 提示:根据定义的变换法则P₁（1， ）=（0，2），P₂（1， ）=（2，—2），P₃（1， ）=（0，4），P₄（1， ）=（4，—4），从而找出其规律：P_2n（1， ）=（ ），P_2n—1（1， ）= ，因此P₂₀₁₁（1， ）=（0,2¹⁰⁰⁶）.

11.（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．

从（1，1）出发到（3，5）的路径为：

（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）

→（3，4）→（3，8）→（3，5）．

从（1，1）出发到（200，6）的路径为：

（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）

→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）

→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．

（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．

理由如下：

∵ a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，

∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．

∵ 如果a＞b，a和b的最大公约数=（a－b）和b的最大公约数，

如果a＜b，a和b的最大公约数=（b－a）和b的最大公约数，

∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．

从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．

∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5.

∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．