第3课时　命题的证明

1．[2012·张家界]如图2－2－6，直线a、b被直线c所截，下列说 法正确的是 (　　)

图2－2－6

A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b

B．当a∥b时， 一定有∠1＝∠2

C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°

D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b

2．用反证法证明命题“三角形 中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 (　　)

A．有一个内角大于 60°

B．有一个内角小于60°

C．每一个内角都大于60°

D．每一个内角都小于60°

3．如图2－2－7，下列推理不正确的是 (　　)

图2－2－7

A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°

B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC

C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4

D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD

4． 用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．

已知：如图2－2－8, l₁∥l_2, l₁、l₂被l₃所截．

求证：∠1＋∠2＝180°.

图2－2－8

证明：假设____________．

因为l₁∥l₂，

所以∠2＝ ∠3(两直线平行，同位角相等)．

所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.

所以____________不成立.

所以____ ________．

5．已知：如图2－2－9所示，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.

求证：AD平分∠BAC.(填写分析和证明中的空白)

图2－2－9

分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明________＝________，而已知∠1＝∠2， 所以应联想这两个角和∠1、∠2的关系．由AD⊥BC于D，EF⊥BC于F可推出________∥______，然后根据平行线得出的同位角相等，内错角相等，即可将所要证明相等的角与∠1，∠2联系起来．

证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，

所以________∥________ (在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，

所以__ ______＝________(两直线平行，内错角相等)，

________＝________(两直线平行，同位角 相等)．

因为________(已知)，

所以________＝________．

即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．

6．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

7．求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．

答案解析

1．D

2． C　【解析】 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.

3．C

4．∠1＋∠2≠180°　∠1＋∠3　∠1＋∠2≠180°　∠1＋∠2＝180°

5．∠BAD　∠CAD　EF　AD　EF　AD　∠1　∠BAD　∠2　∠CAD　∠1＝∠2　∠BAD　∠CAD

6．解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.

求证：∠A<90°，∠B<90°.

证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.

因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，

这与“三角形内角和等于180°”矛盾．

所以假设不成立，原命题成立，

即等腰三角 形的底角是锐角．

7．解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点M，且EF交CD于点N. 求证：EF⊥CD.

证明：因为EF⊥AB，所以∠EMB＝90°.又因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，所以∠END＝90°，所以EF⊥CD.

第7题答图