《第1章 分式》

一、选择题

1．下面各式中， x+ y， ， ，﹣4xy， ，分式的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．已知x≠y，下列各式与 相等的是（　　）

A． B．

C． D．

3．要使分式 有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠

4．下列说法：①若a≠0，m，n是任意整数，则a^m．aⁿ=a^m+n；②若a是有理数，m，n是整数，且mn＞0，则（a^m）ⁿ=a^mn；③若a≠b且ab≠0，则（a+b）⁰=1；④若a是自然数，则a^﹣3．a²=a^﹣1．其中，正确的是（　　）

A．① B．①② C．②③④ D．①②③④

5．若分式 的值为零，则x等于（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．0

6．若把分式 中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　）

A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍

7．如果分式 的值为正整数，则整数x的值的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（　　）

A． B． C． D．

9．若x满足 =1，则x应为（　　）

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数

10．已知 =3，则 的值为（　　）

A． B． C． D．﹣

11．工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程：

① ②72﹣x= ③x+3x=72 ④

上述所列方程，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．如果（ ）²÷（ ）²=3，那么a⁸b⁴等于（　　）

A．6 B．9 C．12 D．81

13．x克盐溶解在a克水中，取这种盐水m克，其中含盐（　　）克．

A． B． C． D．

　

二、填空题：

14．分式 、 、 的最简公分母是　　．

15．已知 ，用x的代数式表示y=　　．

16．若5x﹣3y﹣2=0，则10^5x÷10^3y=　　．

17．若ab=2，a+b=﹣1，则 的值为　　．

18．计算6x^﹣2（2x^﹣2y^﹣1）^﹣3=　　．

19．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第七个数据是　　．

20．使分式方程 产生增根，m的值为　　．

21．已知： = + ，则A=　　，B=　　．

22．当x=　　时，代数式 和 的值相等．

23．用科学记数法表示：0.000000052=　　．

24．计算 =　　．

　

三、解答题

25．计算题

（1） +

（2） ﹣

（3）（﹣1）²+（ ）^﹣4﹣5÷（2005﹣π）⁰

（4）1﹣ ÷

（5） ﹣a﹣b．

26．解分式方程：

（1）

（2） ．

27．有一道题：

“先化简，再求值：（ ）÷ 其中，x=﹣3”．

小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

28．点A、B在数轴上，它们所对应数分别是 ， 且点A、B关于原点对称，求x的值．

29．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

30．若 ， ，求 的值．

　

湘教新版八年级数学上册《第1章 分式》单元测试卷（1）

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．下面各式中， x+ y， ， ，﹣4xy， ，分式的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】分式的定义．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：在 ， 的分母中含有字母，属于分式．

在 x+ y，﹣4xy， 的分母中不含有字母，属于整式．

故选：B．

【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．

　

2．已知x≠y，下列各式与 相等的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的基本性质可以得到答案．

【解答】解：∵x≠y，

∴x﹣y≠0，

∴在分式 中，分子和分母同时乘以x﹣y得到： ，

∴分式 和分式 是相等的，

∴C选项是正确的，

故选：C．

【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，此题基础题，比较简单．

　

3．要使分式 有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠

【考点】分式有意义的条件．

【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x﹣7≠0，解得x．

【解答】解：∵3x﹣7≠0，

∴x≠ ．

故选D．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．

　

4．下列说法：①若a≠0，m，n是任意整数，则a^m．aⁿ=a^m+n；②若a是有理数，m，n是整数，且mn＞0，则（a^m）ⁿ=a^mn；③若a≠b且ab≠0，则（a+b）⁰=1；④若a是自然数，则a^﹣3．a²=a^﹣1．其中，正确的是（　　）

A．① B．①② C．②③④ D．①②③④

【考点】负整数指数幂；零指数幂．

【分析】①、④根据同底数幂作答；②由幂的乘方计算法则解答；③由零指数幂的定义作答．

【解答】解：①a^m．aⁿ=a^m+n，同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；正确；

②若a是有理数，m，n是整数，且mn＞0，则（a^m）ⁿ=a^mn，根据幂的乘方计算法则，正确；

③若a≠b且ab≠0，当a=﹣b即a+b=0时，（a+b）⁰=1不成立，任何非零有理数的零次幂都等于1，错误；

④∵a是自然数，∴当a=0时，a^﹣3．a²=a^﹣1不成立，错误．

故选B．

【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方、零指数幂等知识．

　

5．若分式 的值为零，则x等于（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．0

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．

【解答】解：∵x²﹣4=0，

∴x=±2，

当x=2时，2x﹣4=0，∴x=2不满足条件．

当x=﹣2时，2x﹣4≠0，∴当x=﹣2时分式的值是0．

故选：B．

【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．

　

6．若把分式 中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　）

A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍

【考点】分式的基本性质．

【分析】把原式中的x、y分别换成3x、3y进行计算，再与原分式比较即可．

【解答】解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么

= × ，

故选C．

【点评】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．

　

7．如果分式 的值为正整数，则整数x的值的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】分式的值．

【分析】由于x是整数，所以1+x也是整数，要使 为正整数，那么1+x只能取6的正整数约数1，2，3，6，这样就可以求得相应x的值．

【解答】解：由题意可知1+x为6的正整数约数，

故1+x=1，2，3，6

由1+x=1，得x=0；

由1+x=2，得x=1；

由1+x=3，得x=2；

由1+x=6，得x=5．

∴x为0，1，2，5，共4个，

故选C．

【点评】认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路．如本题“整数x”中的“整数”，“ 的值为正整数”中的“正整数”．

　

8．有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（　　）

A． B． C． D．

【考点】列代数式（分式）．

【分析】房间数=住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m﹣1．

【解答】解：住进房间的人数为：m﹣1，

依题意得，客房的间数为 ，故选A．

【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

　

9．若x满足 =1，则x应为（　　）

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数

【考点】分式的值；绝对值．

【分析】根据 =1可以得到x=|x|，根据绝对值的定义就可以求解．

【解答】解：若x满足 =1，则x=|x|，x＞0，

故选A．

【点评】此题是分式方程，在解答时要注意分母不为0．

　

10．已知 =3，则 的值为（　　）

A． B． C． D．﹣

【考点】分式的基本性质．

【分析】先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把 =3，代入就可以进行计算．

【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，

= = ．

故选B．

【点评】解答本题关键在于利用分式基本性质从所求算式中整理出已知条件的形式，再进行代入计算，此方法中考题中常用，是热点．

　

11．工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程：

① ②72﹣x= ③x+3x=72 ④

上述所列方程，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】关键描述语是：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”．等量关系为：挖土的工作量=运土的工作量，找到一个关系式，看变形有几个即可．

【解答】解：设挖土的人的工作量为1．

∵3人挖出的土1人恰好能全部运走，

∴运土的人工作量为3，

∴可列方程为： ，即 ，72﹣x= ，故①②④正确，故正确的有3个，

故选C．

【点评】解决本题的关键是根据工作量得到相应的等量关系，难点是得到挖土的人的工作量和运土的人的工作量之间的关系．

　

12．如果（ ）²÷（ ）²=3，那么a⁸b⁴等于（　　）

A．6 B．9 C．12 D．81

【考点】分式的混合运算．

【分析】由于（ ）²÷（ ）²=3，首先利用积的乘方运算法则化简，然后结合所求代数式即可求解．

【解答】解：∵（ ）²÷（ ）²=3，

∴ × =3，

∴a⁴b²=3，

∴a⁸b⁴=（a⁴b²）²=9．

故选B．

【点评】此题主要考查了分式的混合运算，解题时首先把等式利用积的乘方法则化简，然后结合所求代数式的形式即可求解．

　

13．x克盐溶解在a克水中，取这种盐水m克，其中含盐（　　）克．

A． B． C． D．

【考点】列代数式（分式）．

【分析】盐=盐水×浓度，而浓度=盐÷（盐+水），根据式子列代数式即可．

【解答】解：该盐水的浓度为 ，

故这种盐水m千克，则其中含盐为m× = 千克．

故选：D．

【点评】本题考查了列代数式，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．本题需注意浓度=溶质÷溶液．

　

二、填空题：

14．分式 、 、 的最简公分母是　6abc　．

【考点】最简公分母．

【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是6，a的最高次幂是1，b的最高次幂是1，c的最高次幂是1，

所以三分式的最简公分母是6abc．

故答案为：6abc．

【点评】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

　

15．已知 ，用x的代数式表示y=　 　．

【考点】等式的性质．

【分析】根据等式的基本性质可知：先在等式两边同乘（y﹣1），整理后再把x的系数化为1，即可得答案．

【解答】解：根据等式性质2，等式两边同乘（y﹣1），得y+1=x（y﹣1）

∴y+1=xy﹣x，

∴y（x﹣1）=1+x

∴y= ．

【点评】本题主要考查了等式的基本性质．

等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；

2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．

　

16．若5x﹣3y﹣2=0，则10^5x÷10^3y=　100　．

【考点】同底数幂的除法．

【分析】根据同底数幂的除法法则，可将所求代数式化为：10^5x﹣3y，而5x﹣3y的值可由已知的方程求出，然后代数求值即可．

【解答】解：∵5x﹣3y﹣2=0，

∴5x﹣3y=2，

∴10^5x÷10^3y=10^5x﹣3y=10²=100．

【点评】本题主要考查同底数幂的除法运算，整体代入求解是运算更加简便．

　

17．若ab=2，a+b=﹣1，则 的值为　 　．

【考点】分式的加减法．

【分析】先将分式通分，再将ab=2，a+b=﹣1代入其中即可得出结论．

【解答】解：原式= = =﹣ ．故答案为﹣ ．

【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，然后整体代值．

　

18．计算6x^﹣2（2x^﹣2y^﹣1）^﹣3=　 x⁴y³　．

【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

【分析】结合单项式乘单项式的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．进行求解即可．

【解答】解：原式=6x^﹣2 x⁶y³

= x⁴y³．

故答案为： x⁴y³．

【点评】本题考查了单项式乘单项式的知识，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算性质．

　

19．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第七个数据是　 　．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】分子的规律依次是，3²，4²，5²，6²，7²，8²，9²…，分母的规律是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七个数据是 ．

【解答】解：由数据 ， ， ， 可得规律：

分子是，3²，4²，5²，6²，7²，8²，9²分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，

∴第七个数据是 ．

故答案为： ．

【点评】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．

　

20．使分式方程 产生增根，m的值为　± 　．

【考点】分式方程的增根．

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得

x﹣2（x﹣3）=m²

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣3=0，即增根是x=3，

把x=3代入整式方程，得m=± ．

故答案为：± ．

【点评】增根问题可按如下步骤进行：

①根据最简公分母确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

　

21．已知： = + ，则A=　1　，B=　2　．

【考点】分式的加减法．

【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．

【解答】解：∵ = = ，

∴A+B=3，﹣2A﹣B=﹣4，

解得：A=1，B=2，

故答案为：1；2

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

22．当x=　9　时，代数式 和 的值相等．

【考点】解分式方程．

【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根据题意得： = ，

去分母得：2x+3=3x﹣6，

解得：x=9，

经检验x=9是分式方程的解，

故答案为：9

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

　

23．用科学记数法表示：0.000000052=　5.2×10^﹣8　．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000000052=5.2×10^﹣8，

故答案为：5.2×10^﹣8．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

　

24．计算 =　﹣ 　．

【考点】分式的乘除法．

【分析】根据分式的乘法法则计算即可．

【解答】解：原式=﹣ ，

故答案为：﹣ ．

【点评】本题考查的是分式的乘法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．

　

三、解答题

25．计算题

（1） +

（2） ﹣

（3）（﹣1）²+（ ）^﹣4﹣5÷（2005﹣π）⁰

（4）1﹣ ÷

（5） ﹣a﹣b．

【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（3）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果；

（4）原式第二项利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（5）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

【解答】解：（1）原式= = =2x+3；

（2）原式= = =﹣ ；

（3）原式=1+16﹣5=12；

（4）原式=1﹣ =1﹣ = =﹣ ；

（5）原式= = ．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

26．解分式方程：

（1）

（2） ．

【考点】解分式方程．

【分析】（1）方程两边同乘以x（x+1）得到方程2（x+1）=3x，解得x=2，然后把x=2代入x（x=1）进行检验即可确定原方程的解；

（2）先去分母，方程两边同乘以（x﹣2）得到方程1﹣2x=2（x﹣2）﹣3，解得x=2，检验，把x=2代入x﹣2得x﹣2=0，则x=2是原方程的增解，于是原方程的无解．

【解答】解：（1）方程两边同乘以x（x+1）得，2（x+1）=3x，

解得x=2，

经检验x=2是原方程的解，

所以原方程的解为x=2；

（2）

方程两边同乘以（x﹣2）得，1﹣2x=2（x﹣2）﹣3

解得x=2，

经检验x=2是原方程的增解，

所以原方程无解．

【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．

　

27．有一道题：

“先化简，再求值：（ ）÷ 其中，x=﹣3”．

小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

【考点】分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，即可做出判断．

【解答】解：原式= （x+2）（x﹣2）

=x²+4，

若小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，得到x²=9不变，故计算结果正确．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

28．点A、B在数轴上，它们所对应数分别是 ， 且点A、B关于原点对称，求x的值．

【考点】解分式方程；数轴．

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根据题意得： = ，

去分母得：2x﹣2=x﹣3，

解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

29．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

【考点】分式方程的应用．

【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量=2000元购买的数量×3．

（2）盈利=总售价﹣总进价．

【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．

则： ×3= ．

解得：x=80．

经检验：x=80是原方程的根．

答：第一批购进书包的单价是80元．

（2） ×（120﹣80）+ ×（120﹣84）=3700（元）．

答：商店共盈利3700元．

【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

　

30．（2011春苏州校级期末）若 ， ，求 的值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】此题可通过 ， 得到a、b与c的关系，然后再代入 进行求值．

【解答】解：∵ ，

∴ = ；

∵ ，

∴ ；

∴ =a+ = + =1．

【点评】本题考查了分式的化简求值，重点是通过等式找出a、b之间的关系再代入分式求值．