第14章学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

题序	1	2	3	4	5	6	7	8
答案

1.四根木棒的长分别是5 , 9 , 12 , 13，从中选择三根木棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　)

A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13

2．我们可以用下面的推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，得a²＋b²＝c²，这与已知条件a²＋b²≠c²矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是(　　)

A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法

3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不能确定

(第3题)　　　 (第5题)

4．若实数m，n满足|m－3|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为(　　)

A．5 B. C．5或 D．以上都不对

5．我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．如图，若b－a＝2，c＝10，则a＋b的值为(　　)

A．12 B．14 C．16 D．18

6．如图，在长方形ABCD中，BC＝5，AB＝3，点E为边CD上一点，将△BCE沿BE翻折后，点C恰好落在边AD上的点F处，则CE＝(　　)

A．2 B. C. D．1

(第6题)　　 (第8题)

7．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km，第二小组向南偏东30°方向前进了3 km，经观察联系，第二小组原地待命，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为(　　)

A．南偏东15°， km B．北偏东15°， km

C．南偏西15°，3 km D．南偏西15°， km

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM＋NM的最小值是(　　)

A．4 B．4.8 C．5 D．6

二、填空题(每题3分，共18分)

9．用反证法证明“若一个三角形没有两个相等的角，则此三角形不是等腰三角形”的第一步是___________________________________________________．

10．如图，直线l经过等腰直角三角形ABC的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是________．

(第10题)　　 (第11题)

11．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，一只蚂蚁从点A爬行到点B，设爬行的最短路线长为a，则a²的值是________．

12．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连结AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是______．

(第12题) (第13题) (第14题)

13．如图，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)，则在图中能够作出________个与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形(不含△ABC)．

14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离PP′＝________，∠APB＝________°.

三、解答题(19～20题每题10分，21题12分，22题14分，其余每题8分，共78分)

15．在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝3∶5，且AB＝20 cm，求边AC的长．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是BC上一点．

求证：AC²－AP²＝BP²＋2PB·PD.

(第16题)

17．如图，某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12 n mile到达B岛，然后沿某方向航行16 n mile到达C岛，最后沿某方向航行20 n mile回到港口A，试说明该船从B到C是沿哪个方向航行的．

(第17题)

18．如图所示，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D为边AC上一点，连结BD，作点A关于直线BD的对称点E，使点E恰好落在BC的延长线上．

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)求△CED的面积．

(第18题)

19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作一个等腰三角形ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，等腰三角形ABC的面积为.

(2)在图②中，等腰三角形ABC的面积为5.

(3)在图③中，△ABC是面积为的等腰钝角三角形．

(第19题)

20．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下测量示意图和测量数据：

测量 示意图
测量数据	①牵线放风筝的手(点B)到风筝(点A)的水平距离(BC)为15米.
	②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米.
	③牵线放风筝的手(点B)到地面的垂直距离为1.7米.

数据处理组得到上面的数据后，认真地进行了分析，他们发现根据这些数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.请完成以下任务．

(1)请根据以上测量数据，求风筝离地面的垂直高度AD；

(2)如果想要风筝沿DA方向再上升12米，BC的长度不变，则应该再放出多长的线(风筝线足够长)?

21．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为A，小王的赛车从点C出发，以4 m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3 m/s的速度由南向北行驶(如图)．已知两赛车之间的距离小于或等于25 m时，遥控信号会相互干扰，AC＝40 m，AB＝30 m.

(1)出发3 s时，遥控信号是否会相互干扰？

(2)当两赛车与点A的距离之和为35 m时，遥控信号是否会相互干扰？

(第21题)

22．如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE.

探究：(1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，连结BD，CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

应用：(2)如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE.

①判断线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；

②若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．

(第22题)

答案

一、1.C　2.B　3.B　4.C　5.B　6.C　7.D

8．B　点拨：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，则此时CM＋NM最小．

∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，

∴CM＋MN＝CM＋ME＝CE.

∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，

∴BC＝＝＝8，

∵CE⊥AB，AC⊥BC，∴S_△ABC＝AB·CE＝AC·BC，

∴10CE＝6×8 ，∴CE＝4.8.即CM＋NM的最小值是4.8.

二、9.假设“这个三角形是等腰三角形”

10.　11.100　12.－1　13.4　14.6；150

三、15.解：设BC＝3x cm，则AB＝5x cm.

∵AB＝20 cm，∴5x＝20，解得x＝4，∴BC＝12 cm，

在△ABC中，∵∠C＝90°，

∴AC＝＝＝16(cm).

16．证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB²＝AD²＋BD²，在Rt△APD中，根据勾股定理，得AP²＝AD²＋PD²，

∴AB²－AP²＝BD²－PD²＝(BP＋PD)²－PD²＝BP²＋2BP·PD.∵AB＝AC，∴AC²－AP²＝BP²＋2BP·PD.

17．解：由题意得AB＝12 n mile，BC＝16 n mile，

AC＝20 n mile，

∴AB²＋BC²＝12²＋16²＝400＝20²＝AC²，

∴∠ABC＝90°.如图，由题易知∠1＝32°，

∴∠2＝180°－∠ABC－∠1＝58°，

∴该船从B到C是沿南偏西58°方向航行的．

(第17题)

18．解：(1)△ABC为直角三角形．理由如下：

∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，

∴BC²＋AC²＝6²＋8²＝100，AB²＝10²＝100，

∴BC²＋AC²＝AB²，∴△ABC是直角三角形．

(2)由轴对称的性质易得BE＝AB＝10，AD＝ED，

∴EC＝BE－BC＝10－6＝4，

设CD＝x，则ED＝AD＝8－x，由(1)可得∠ACB＝90°，

∴∠ECD＝90°，

∴EC²＋CD²＝ED²，即4²＋x²＝(8－x)²，

解得x＝3，即CD＝3，

∴S_△CED＝×EC×CD＝×4×3＝6.

19．解：(1)(画法不唯一)如图①，△ABC即为所求．

　 　

(第19题)

(2)(画法不唯一)如图②，△ABC即为所求．

(3)如图③，△ABC即为所求．

20．解：由题意得∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，易得CD＝1.7米，由勾股定理，可得AC＝＝＝8(米)，

∴AD＝AC＋CD＝8＋1.7＝9.7(米)．

答：风筝离地面的垂直高度AD为9.7米．

(2)设风筝沿DA方向再上升12米到达点A′，则A′C＝12＋8＝20(米)，在Rt△A′BC中，∠A′CB＝90°，

由勾股定理，可得A′B＝＝＝25(米)，∴A′B－AB＝25－17＝8(米)．

答：他应该再放出8米长的线．

21．解：(1)出发3 s时，设小王的赛车到达点C₁，小林的赛车到达点B₁，连结C₁B₁，则CC₁＝3×4＝12(m)，

BB₁＝3×3＝9(m)．∵AC＝40 m，AB＝30 m，

∴AC₁＝40－12＝28(m)，AB₁＝30－9＝21(m)，

∴B₁C₁＝＝35(m)＞25 m，∴出发3 s时，遥控信号不会相互干扰．

(2)设出发t s时，两赛车与点A的距离之和为35 m，根据题意，得40－4t＋30－3t＝35，解得t＝5，此时小王的赛车到点A的距离为40－4×5＝20(m)，小林的赛车到点A的距离为30－3×5＝15(m)．

∵20²＋15²＝25²，

∴此时小王的赛车与小林的赛车之间的距离为25 m，

∴当两赛车与点A的距离之和为35 m时，遥控信号会相互干扰．

22．解：(1)成立．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，∠DAE ＝∠CAD＋∠CAE,

∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.

(2)①BC＋CD＝CE.理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.又∵BD＝BC＋CD，

∴BC＋CD＝CE.

②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.

∵△ABD≌△ACE，∠ACE＝∠ABD＝45°.

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°，

∴∠ECD＝90°.∵AB＝AC＝，

∴BC＝＝2，∵CD＝1，

∴CE＝BD＝BC＋CD＝3，

在Rt△CDE中，DE＝＝＝.