第十六章 轴对称和中心对称

16.3 角的平分线

1．(2024孝感期末)如果一个角是75°，那么这个角的余角的度数是________．

2．如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的角平分线，且∠BAC＝60°，则∠EAC＝________．

3．如图，分别过点P作∠AOB的两边OA，OB的垂线．

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的________相等．

2．角平分线性质定理的逆定理：到角的两边________相等的点在角平分线上．

3．(2024长春期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线BD平分∠ABC.若AD＝5，BC＝10，则△BCD的面积为(　　)

A．15 B．20 C．25 D．50

4．(2023珠海期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得点P到边AB，BC的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)

知识点1　角平分线的性质定理

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.若AC＝11，DE＝5，则AD的长为________．

变式1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，△ABD的面积为30，AB＝15，则线段CD的长度为________．

知识点2　角平分线性质定理的逆定理

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，CE平分∠DCB交AB于点E，点E是AB的中点．求证：点E在∠ADC的平分线上．

变式2如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG＝MN，S_△PFG＝S_△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？请说明理由．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点3　作角的平分线

电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

变式3(2024黄冈期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为________．

第十六章 轴对称和中心对称

16.3 角的平分线

1．15°　2.45°

3．解：如图所示．

1．距离　2.距离　3.C

4．解：如图所示，点P即为所求．

例16　变式1.4

例2证明：过点E作EF⊥CD于点F，

∵AD∥BC，AB⊥AD，∴AB⊥BC.

∵CE平分∠DCB，AB⊥BC，EF⊥CD，∴EF＝BE.

∵点E是AB的中点，∴EA＝EB，∴EF＝EA.

又∵EA⊥AD，EF⊥CD，∴点E在∠ADC的平分线上．

变式2.解：点P在∠AOB的平分线上．

理由：过点P分别向OA，OB作垂线，垂足为E，H.

∵S_△PFG＝FG·PE，S_△PMN＝MN·PH，FG＝MN，S_△PFG＝S_△PMN，

∴PE＝PH.∴点P在∠AOB的平分线上．

例3解：如图，点P，P′即为所求作．

变式3.2