【325286】河北省2024八年级数学上册 第十六章 轴对称和中心对称 16.3角的平分线预学检验+
第十六章 轴对称和中心对称
16.3 角的平分线
1.(2024孝感期末)如果一个角是75°,那么这个角的余角的度数是________.
2.如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的角平分线,且∠BAC=60°,则∠EAC=________.
3.如图,分别过点P作∠AOB的两边OA,OB的垂线.
1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的________相等.
2.角平分线性质定理的逆定理:到角的两边________相等的点在角平分线上.
3.(2024长春期末)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,对角线BD平分∠ABC.若AD=5,BC=10,则△BCD的面积为( )
A.15 B.20 C.25 D.50
4.(2023珠海期中)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,请用尺规作图法在AC边上作一点P,使得点P到边AB,BC的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
知识点1 角平分线的性质定理
如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E.若AC=11,DE=5,则AD的长为________.
变式1如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC边于点D,△ABD的面积为30,AB=15,则线段CD的长度为________.
知识点2 角平分线性质定理的逆定理
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,CE平分∠DCB交AB于点E,点E是AB的中点.求证:点E在∠ADC的平分线上.
变式2如图,已知F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG=MN,S△PFG=S△PMN,试问:点P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由.
知识点3 作角的平分线
电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求,发射塔P到两城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
变式3(2024黄冈期中)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为________.
第十六章 轴对称和中心对称
16.3 角的平分线
1.15° 2.45°
3.解:如图所示.
1.距离 2.距离 3.C
4.解:如图所示,点P即为所求.
例16 变式1.4
例2证明:过点E作EF⊥CD于点F,
∵AD∥BC,AB⊥AD,∴AB⊥BC.
∵CE平分∠DCB,AB⊥BC,EF⊥CD,∴EF=BE.
∵点E是AB的中点,∴EA=EB,∴EF=EA.
又∵EA⊥AD,EF⊥CD,∴点E在∠ADC的平分线上.
变式2.解:点P在∠AOB的平分线上.
理由:过点P分别向OA,OB作垂线,垂足为E,H.
∵S△PFG=FG·PE,S△PMN=MN·PH,FG=MN,S△PFG=S△PMN,
∴PE=PH.∴点P在∠AOB的平分线上.
例3解:如图,点P,P′即为所求作.
变式3.2
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