第13章　轴对称

13.1 轴对称

13.1.2　线段的垂直平分线的性质

第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定

1．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB＝15，DE＝10，∠D＝70°.求∠B的度数及BC，AD的长度．

1．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段__________的距离相等．

线段的垂直平分线的判定：与线段________距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

2．[2023南宁期中]如图所示，线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D，已知AC＝3，则BC的长为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

(第2题)　　　　　　 (第3题)

3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若BC＝9，AC＝5，则△ACD的周长为________．

4．[2024陕西安康期末]如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，连接DF，求证：DF垂直平分AB.

知识点1　线段的垂直平分线的性质

[2023石家庄新华区期末]如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝12 cm，AB＝16 cm，则△BCD的周长为(　　)

A．28 cm

B．22 cm

C．20 cm

D．18 cm

　　　　　　　　　　　　　　　

变式1[2023唐山路南区期末]如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，若BF＝6，CF＝2，则AC的长度为(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点2　线段的垂直平分线的判定

如图，在△ABE中，AD⊥BC于点D，点C在BE上，BD＝DC，AB＋BD＝DE.求证：点C在AE的垂直平分线上．

　　　　　　　　　　　　　　　

变式2如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，CB＝CD.求证：

(1)△ABC≌△ADC；

(2)AC垂直平分BD.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点3　作直线的垂线

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．

(1)过点A画BC的平行线；

(2)过点C画BC的垂线．

　　　　　　　　　　　　　　　

变式3[2023南昌期末]在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，BE⊥AC，交AC于点E，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)在图①中，过点C作AB的垂线CF；

(2)在图②中，过点E作BC的平行线EG.

第13章　轴对称

13.1 轴对称

13.1.2　线段的垂直平分线的性质

第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定

1．解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，

∴AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D.

又∵AB＝15，DE＝10，∠D＝70°，

∴∠B＝70°，BC＝10，AD＝15.

1．两个端点；两个端点　2.B　3.14

4．证明：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC.

∵点D是BC的中点，∴BD＝DC，∴BD＝AD，

∴点D在AB的垂直平分线上．

∵F是BA的中点，∴F在AB的垂直平分线上，

∴DF垂直平分AB.

例1　A　变式1.C

例2　证明：∵ AD⊥BC，BD＝DC，

∴AD垂直平分BC.∴ AB＝AC.

∵AB＋BD＝DE，CE＋DC＝DE，

∴AB＋BD＝CE＋DC.∴ AB＝CE.∴ AC＝CE.

∴点C在AE的垂直平分线上．

变式2.证明：(1)在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)．

(2)∵AB＝AD，CB＝CD，

∴点A，点C在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD.

例3　解：(1)如图，直线AQ即为所求．

(2)如图，直线CK即为所求．

变式3.解：(1)如图①，直线CF即为所求．

(2)如图②，直线EG即为所求．