【325184】河北省2024八年级数学上册 第13章 轴对称 13.1 轴对称13.1.2 线段的垂
第13章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,已知AB=15,DE=10,∠D=70°.求∠B的度数及BC,AD的长度.
1.线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段__________的距离相等.
线段的垂直平分线的判定:与线段________距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.[2023南宁期中]如图所示,线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D,已知AC=3,则BC的长为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(第2题)
(第3题)
3.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若BC=9,AC=5,则△ACD的周长为________.
4.[2024陕西安康期末]如图,在△ABC中,点D是BC的中点,连接AD,DE垂直平分AC,垂足为E,F是BA的中点,连接DF,求证:DF垂直平分AB.
知识点1 线段的垂直平分线的性质
[2023石家庄新华区期末]如图,直线DE是△ABC边AC的垂直平分线,且与AC相交于点E,与AB相交于点D,连接CD,已知BC=12
cm,AB=16
cm,则△BCD的周长为( )
A.28 cm
B.22 cm
C.20 cm
D.18 cm
变式1[2023唐山路南区期末]如图,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,与AB交于点D,若BF=6,CF=2,则AC的长度为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
知识点2 线段的垂直平分线的判定
如图,在△ABE中,AD⊥BC于点D,点C在BE上,BD=DC,AB+BD=DE.求证:点C在AE的垂直平分线上.
变式2如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=AD,CB=CD.求证:
(1)△ABC≌△ADC;
(2)AC垂直平分BD.
知识点3 作直线的垂线
如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均为格点.
(1)过点A画BC的平行线;
(2)过点C画BC的垂线.
变式3[2023南昌期末]在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,BE⊥AC,交AC于点E,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.
(1)在图①中,过点C作AB的垂线CF;
(2)在图②中,过点E作BC的平行线EG.
第13章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.解:∵△ABC和△ADE关于直线l对称,
∴AB=AD,BC=DE,∠B=∠D.
又∵AB=15,DE=10,∠D=70°,
∴∠B=70°,BC=10,AD=15.
1.两个端点;两个端点 2.B 3.14
4.证明:∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∵点D是BC的中点,∴BD=DC,∴BD=AD,
∴点D在AB的垂直平分线上.
∵F是BA的中点,∴F在AB的垂直平分线上,
∴DF垂直平分AB.
例1 A 变式1.C
例2 证明:∵ AD⊥BC,BD=DC,
∴AD垂直平分BC.∴ AB=AC.
∵AB+BD=DE,CE+DC=DE,
∴AB+BD=CE+DC.∴ AB=CE.∴ AC=CE.
∴点C在AE的垂直平分线上.
变式2.证明:(1)在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
(2)∵AB=AD,CB=CD,
∴点A,点C在BD的垂直平分线上,∴AC垂直平分BD.
例3 解:(1)如图,直线AQ即为所求.
(2)如图,直线CK即为所求.
变式3.解:(1)如图①,直线CF即为所求.
(2)如图②,直线EG即为所求.
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