第十二章 全等三角形

12.3 角的平分线的性质

第2课时　角的平分线的判定

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为(　　)

A．3

B.

C．2

D．6

2．如图，△ABC≌△ADC，E为AC上一点，求证：DE＝BE.

1．角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在____________________．

2．下列图形中，若PE＝PF，能判断点P在∠EOF的平分线上的是(　　)

3．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.求证：OC是∠AOB的平分线．

知识点1　角的平分线的判定

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．

　　　　　　　　　　　　　　　

变式1如图，在△ACE中，B，D分别是AE，CE上一点，∠E＝90°，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF.

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点2　生活中的角的平分线

[2023石家庄期中]如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有(　　)

A．3个 B．4个 C．5个 D．1个

变式2[2023重庆期中]民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过A，B，C三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站P到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有(　　)

A．4处 B．3处 C．2处 D．1处

第十二章 全等三角形

12.3 角的平分线的性质

第2课时　角的平分线的判定

1．A

2．证明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE.

又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴DE＝BE.

1．角的平分线上　2.D

3．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDF＝∠PEG＝90°.

在Rt△PFD和Rt△PGE中，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，∴PD＝PE.

又∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．

例1　证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE和△CDF是直角三角形．

∵D是BC的中点，∴BD＝CD.

又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线．

变式1.(1)证明：∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠E＝90°.

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.

(2)解：AB＋AC＝2AE.

点拨：由(1)可知DE＝DF，∠E＝∠DFA＝90°，

又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE＝AF，

∴AC＝AF＋CF＝AE＋BE＝AE＋AE－AB＝2AE－AB，

即AB＋AC＝2AE.

例2　B　变式2.B