期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023·本溪]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2
3．[2023·北京一六一中学开学测试]下列变形正确的是( )
A．＝ B．＝－
C．＝－ D．＝－1
4．(母题：教材P166总复习T5)不等式－3x＋6≥0的解集在数轴上表示为( )
5．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．如图，在▱ABCD中，已知∠ADB＝90°，AC＝10 cm，AD＝4 cm，则BD的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
7．[2022·南通]如图，可得关于x的不等式kx＞－x＋3的解集是( )
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
8．[2023·长沙二模]2023年3月16日，一批从“泰国3·15开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”入湘，标志着长沙—曼谷定期国际货运航线正式通航，长沙—曼谷的航线距离是3 600 km，往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1 h，设飞机在静风中的速度为x km/h，风速为30 km/h，则可列方程为( )
A．－＝1 B．＝＋1
C．＝ D．＝
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )
A
．7
B．8
C．9
D．10
10．如果关于x的分式方程－3＝的解为负数，且关于x的不等式组 的解集为x＜－2，那么符合条件的所有整数a的和是( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[2023·辽宁]分解因式：2m2－18＝________．
12．在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于原点对称的点C的坐标是__________．
13．(母题：教材P132复习题T5(1))若＝2，则分式的值为________．
14．如图，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A1P1B，连接PP1.若 BP＝2，则线段PP1的长为________．
15．如图，在▱ABCD中，∠A＝130°，在AD上取DE＝DC，则∠ECB的度数是________．
16．[2023·无锡三模]关于x的方程＝＋1有增根，则m的值是________．
17．如图，在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3， OF＝1.4，则四边形BCEF的周长为________．
18．[2023·大庆]如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°<α<180°，0°<β<180°)，得到△AB′C′，使∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．
①△ABC与△AB′C′面积相同；②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC＋∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10.
三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)
19．(1)解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
(2)解分式方程：－＝.
20．[2022·广安]先化简：÷，再从0，1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
21．[2023·宿迁]如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝45°.
(1)求对角线BD的长；
(2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．(不写作法，保留作图痕迹)
22．[2023·吉林]图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
23．2023年5月，江西省突发洪涝灾害，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共捐款100 000元，乙公司共捐款140 000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15 000元，B种防疫物资每箱12 000元，若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？(注：A，B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，DE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，NP.
(1)观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________．
(2)探究证明
把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
答案
一、1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C
7．D 【点拨】写出直线y＝kx在直线y＝－x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
8．A 【点拨】由飞机在静风中的速度及风速，可得出飞机在顺风中的速度为(x＋30)km/h，在逆风中的速度为(x－30)km/h，根据时间＝路程÷速度，结合往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1 h，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
9．B 【点拨】在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE＝BC＝3，EC＝AC＝5.
∴∠EFC＝∠FCM.
∵CF是∠ACM的平分线，∴∠FCE＝∠FCM.
∴∠EFC＝∠ECF.∴EF＝EC＝5.
∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.
10．B 【点拨】分式方程去分母得a－3(x＋1)＝1－x，
∴x＝＜0.∴a＜4.
∵x＋1≠0，∴x≠－1.∴a≠2.∴a＜4且a≠2.
由得
∵不等式组的解集为x＜－2，
∴2a＋4≥－2，解得a≥－3.
∴－3≤a＜4，且a≠2.
∴满足条件的所有整数a的值为－3，－2，－1，0，1，3.
∴它们的和为－2.
二、11．2(m＋3)(m－3) 12．(－2，－2) 13．
14．2
15．65° 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝130°，
∴∠BCD＝∠A＝130°，∠A＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠A＝50°.
∵DE＝DC，∴∠ECD＝×(180°－∠D)＝65°.
∴∠ECB＝∠BCD－∠ECD＝130°－65°＝65°.
16．－7 【点拨】去分母，得2x＋1＝－m＋x－3，
解得x＝－m－4.
由分式方程有增根，得到x－3＝0，解得x＝3，
∴－m－4＝3，解得m＝－7.
17．9.8 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，OB＝OD，AB∥CD.
∴∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED.
在△OBF和△ODE中，
∴△OBF≌△ODE(AAS)．∴OE＝OF＝1.4，BF＝DE.
∴EF＝OE＋OF＝2.8.
∴四边形BCEF的周长为BC＋EF＋CE＋BF＝BC＋EF＋(CE＋DE)＝BC＋ EF＋CD＝3＋2.8＋4＝9.8.
18．①②③ 【点拨】延长B′A，并截取AE＝AB′，连接C′E，如图①所示：
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴
a＋β＝360°－180°＝180°.
∵α＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝β.
∵∠CAC′＝β，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠CAE＋∠EAC′.
∴∠BAC＝∠EAC′.
根据旋转可知AC＝AC′，AB＝AB′.
易得AB＝AE，∴△ABC≌△AEC′.
∴BC＝C′E，S△ABC＝S△AEC′.
∵AE＝AB′，∴S△AB′C′＝S△AEC′.∴S△ABC＝S△AB′C′，
即△ABC与△AB′C′面积相同，故①正确．
∵AD是△AB′C′的中线，∴B′D＝C′D.
又∵AE＝AB′，
∴AD是△B′C′E的中位线．∴AD＝C′E.
∵
BC＝C′E，∴BC＝2AD，故②正确．
如图②所示：
当AB＝AC时，AB＝AB′＝AC′＝AC，
∴∠AB′B＝∠ABB′，∠AB′C′＝∠AC′B′，∠AC′C＝ ∠ACC′，∠ABC＝∠ACB.
∵∠AB′B＋∠ABB′＋∠AB′C′＋∠AC′B′＋∠AC′C＋ ∠ACC′＋∠ABC＋∠ACB＝360°，
∴∠ABB′＋∠ABC＋∠AC′B′＋∠AC′C＝∠AB′B＋∠ACB＋∠AB′C′＋ ∠ACC′＝180°，
即∠B′BC＋∠CC′B′＝180°，故③正确．
∵BC＝6.
∴根据结论②可知AD＝BC＝3.
当AB＝AC时，AB＝AB′＝AC′＝AC＝4，
∵AD为中线，∴AD⊥B′C′.
∴∠ADB′＝90°.
∴由勾股定理得B′D＝＝＝.
∴B′C′＝2B′D＝2，故④错误．
综上分析可知，正确的是①②③.
三、19．【解】(1)
解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞.
所以不等式组的解集为＜x≤2.
将其解集表示在数轴上如图所示．
(2)去分母，得(x－2)2－16＝(x＋2)2.
去括号，得x2－4x＋4－16＝x2＋4x＋4.
移项、合并同类项，得－8x＝16.
系数化为1，得x＝－2.
检验：当x＝－2时，x2－4＝0，
所以x＝－2不是原方程的解．
所以原方程无解．
20．【解】原式＝·＝·＝x.
∵x(x－2)≠0，∴x≠0，x≠2.
当x＝1时，原式＝1；
当x＝3时，原式＝3.(选择一个即可)
21．【解】(1)连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示，则∠DFA＝ ∠BFD＝90°.
∵
∠DFA＝90°，AD＝3，∠A＝45°，
∴易得AF＝DF＝＝3.
∵AB＝5，
∴BF＝AB－AF＝5－3＝2.
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，DF＝3，BF＝2，∴由勾股定理得BD＝＝＝.
(2)如图所示，AG即为所求．
22．【解】如图所示(答案不唯一)．
【点拨】如图①，∵AC＝AB＝＝，∴△ABC是等腰三角形，且△ABC是锐角三角形．
如图②，∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，∴AD2＋AB2＝BD2.∴△ABD是等腰直角三角形．
如图③，∵AE＝AB＝＝，∴△ABE是等腰三角形，且△ABE是钝角三角形．
23．【解】(1)设乙公司有x人，则甲公司有(x－30)人，
由题意得×＝，解得x＝180.
经检验，x＝180是原方程的解．
∴x－30＝150.
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
(2)设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，由题意得15 000m＋ 12 000n＝100 000＋140 000，整理得m＝16－n.
又因为n≥10，且m，n为正整数，
所以或
答：有2种购买方案，购买8箱A种防疫物资、10箱B种防疫物资或购买4箱A种防疫物资、15箱B种防疫物资．
24．【解】(1)PM＝PN；PM⊥PN
(2)△PMN是等腰直角三角形．
理由：由旋转的性质得∠BAD＝∠CAE.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵点P，M分别是DC，DE的中点，
∴PM是△DCE的中位线．
∴PM＝CE，PM∥CE.∴∠MPD＝∠ECD.
同理可证PN＝BD，PN∥BD，
∴PM＝PN，∠PNC＝∠DBC.∴△PMN是等腰三角形．
∵∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，
∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN.
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB.易得∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠MPN＝90°.
∴△PMN为等腰直角三角形．
(3)△PMN面积的最大值为.