综合复习与测试（3）（期末模拟测试卷）
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．将方程
配方成
的形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知反比例函数
，则当
时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在矩形ABCD中，
，
，O，E分别为AC，OD的中点，连接AE，则
的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在菱形
中，
，
，垂足分别为E，F，连接
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．关于x的一元二次方程
有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
且
C．
且
D．
8．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角
9．点
、
、
都在反比例函数
的图象上，则
、
、
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的
几何原本
中，记载了用图解法解方程
的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程
的一个正根
如图，一张边长为
的正方形的纸片
，先折出
，
的中点
，
，再沿过点
的直线折叠使
落在线段
上，点
的对应点为点
，折痕为
，点
在边
上，连接
，
，则长度恰好是方程
的一个正根的线段为（ ）
A．线段
B．线段
C．线段
D．线段
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若x，y满足
，则
＝________．
12．若一个多边形的每个外角均为
，则这个多边形的内角和为_______度．
13．若五个数据2，
，3，x，5的极差为8，则x的值为______．
14．已知
，则代数式
的值为_______．
15．如图，在
中，
，
、
、
分别是
、
、
的中点，若
，则
_________
．
16．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为
平方步，宽比长少
步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为
步，由题意，可列方程为______．
17．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作
（
为1~4的整数），函数
（
）的图象为曲线
．若曲线
使得
，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则
的取值范围是______．
18．如图，在四边形
中，连接
，
与
互余，
、
分别是
、
的中位线，连接
，
，若
，
，则线段
的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算
(1)
； (2)
．
20．（8分）解方程：
(1)
（用公式法解方程） (2)
21．（10分）某校开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育实践活动，进行了“二十大”知识竞赛，从八、九年级各随机抽取了
名学生的测试成绩，整理、分析和描述，成绩
（分），共分成五组：
，
，
，
，
．
（一）收集、整理数据：八年级
名学生的测试成绩分别为：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
九年级学生测试成绩在
组和
组的分别为：
．
（二）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
成绩 |
平均数 |
中位数 |
众数 |
八年级 |
|
|
|
九年级 |
|
|
|
（三）描述数据：请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)
______，
______，
______；
(3)如果该校八、九年级各有学生
名，请估计两个年级本次测试成绩不低于
分的学生总人数．
22．（10分）如图，在四边形
中，
，
，垂足分别为点E，F，连接
．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形
为平行四边形，你添加的条件是；
(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形
为平行四边形．
23．（10分）如图直线
在第一象限经过点
、
，且与
轴交于点
，过点
作
轴的垂线，垂足为点
，反比例函数
恰好过点
并与
交于点
，连接
、
、
且
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出当
时，
的x的取值范围；
(3)当
时，求点C的坐标．
24．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：在正方形纸片
的
边上取一点E，沿
折叠，得到折线
，把纸片展平；
操作二：对折正方形纸片
，使点C和点E重合，得到折线
把纸片展平．
根据以上操作，判断线段
的大小关系是______，位置关系是______．
(2)深入探究
如图2，设
与
交于点I．小华测量发现
，经过思考，他连接
，并作
的高
，尝试证明
，
．请你帮助完成证明过程．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形
的边长为
，当点I是
的三等分点时，请直接写出
的长．
参考答案
1．A
【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
解：A、
是最简二次根式，符合题意；
B、
，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查最简二次根式的概念，属于基础题，注意掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．D
【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值．
解：A、发生变化前的平均数：
，发生变化后的平均数：
，，没有变化，故该选项不符合题意；
B、发生变化前的中位数：
，发生变化后的中位数：
，没有变化，故该选项不符合题意；
C、发生变化前的众数：2，发生变化前的众数：2，没有变化，故该选项不符合题意；
D、发生变化前的方差：
，发生变化后的方差：
，发生变化，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键．
3．A
【分析】先化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两个同时加上一次项系数的一半，即可求解．
解：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4．B
【分析】利用反比例函数的增减性即可求得答案．
解：∵反比例函数
中
，
∴当
时，y随x的增大而减小，
当
时，
，当
时，
，
∴当
时，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在
中，当
时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当
时，y随x的增大而增大．
5．A
【分析】过点E作
交
于点G，过点O作
交
于点H，利用三角形中位线的性质得出
，结合图形即可求解．
解：过点E作
交
于点G，过点O作
交
于点H，
O，E分别为
的中点，
，
分别为
和
的中位线，
，
则
．
故选：A．
【点拨】题目主要考查三角形中位线的性质，作出相应辅助线是解题关键．
6．D
【分析】根据菱形的性质，证明
，即可做出判断．
解：证明：
四边形
是菱形，
在
和
中，
故A、C正确；
故B正确；
无法确定点E、点F分别是
的中点，
无法判断
正确，
故D错误；
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是根据菱形的性质判定两个三角形全等，再结合菱形的性质逐个选项进行判断．
7．C
【分析】根据一元二次方程的定义则
，再根据一元二次方程
有实数根，则
，即可得到
的范围．
解：由题意得：
，
解得：
且
，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况．
8．D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．D
【分析】先根据函数解析式中的比例系数
确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
解：
在反比例函数
，
，
此函数图象在二、四象限，在每个象限内
随
增大而增大，
，
点
，
在第二象限，
．
，
点
在第四象限，
，
．
故选：D．
【点拨】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
10．B
【分析】设
，则
，从而可以用
表示等式．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．根据方程
解出正根为
，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．
解：设
，则
．
由题意可知：
，
是
的中点，
，
．
∴
，
，
，
．
的解为：
，
取正值为
．
这条线段是线段
．
故选：B．
【点拨】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
11．-6
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案．
解：∵
，
都有意义，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件和代数式求值，正确得出x的值是解题关键．
12．
【分析】依据多边形外角和为
求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．
解：因为多边形的每个外角均为
，且外角和为
，
所以这个多边形边数：
，
则这个多边形的内角和为：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了多边形内角和公式、外角和为
；通过外角和求得边数是解题的关键．
13．7或
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解．
解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则
，∴
，
若x是最小值，则
，∴
，
则x的值为7或
，
故答案为：7或
．
【点拨】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．
14．
【分析】把
直接代入求解即可．
解：
，
∴原式=
．
故答案为
．
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
15．3
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质先求解
，再利用三角形的中位线的性质可得答案.
解：∵
，
为
的中点，
∴
,
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
故答案为：3
【点拨】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线的性质，熟记概念并灵活运用是解本题的关键.
16．
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的宽为
步，再利用矩形的面积公式即可得出关于
的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的长为
步，且宽比长少12步，
∴矩形的宽为
步．
依题意，得：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．
【分析】根据每个台阶的高和宽分别是1和2，求得T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），若L过点T1（8，1），T4（2，4），得到 k=8×1=8，若曲线L过点T2（6，2），T3（4，3）时，k=6×2=12，于是得到结论．
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴若L过点T1（8，1），T4（2，4）时，k=8×1=8，
若曲线L过点T2（6，2），T3（4，3）时，k=6×2=12，
∵曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，
∴8＜k＜12，
故答案为：8＜k＜12．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
18．
/
【分析】延长
，
交于点H，连接
，
，判定
，结合
，确定
的最小值即可．
解：如图，延长
，
交于点H，连接
，
，由
与
互余，可得
，
∵
、
分别是
、
的中位线，
∴
，
，
，
∴
，即
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，∴
，
在
中，
，
在
中，
，
由图可得
，
∴
最小值为
，即
最小值为
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握中位线定理，直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．
19．(1)
；(2)
【分析】（1）先用平方差公式，完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可．
（2）先用二次公式的除法，乘法，再合并同类二次根式即可．
解：（1）
；
（2）
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
20．(1)
，
；(2)
【分析】（1）先将方程化为一般式，再求根的判别式，最后根据求根公式
求解即可；
（2）将方程左边提取公因式，再用因式分解法求解即可．
（1）解：整理，得
，
∴
，
∴
，
则
，
即
，
；
（2）解：
，
，
则
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握用因式分解法和公式法求解一元二次方程的方法和步骤．
21．(1)补全频数分布直方图见详解；(2)
；(3)八，九年级各有
名学生成绩不低于
分的学生共有
人
【分析】（1）根频数分布直方图的数据可求出
组的人数，由此即可求解；
（2）根据百分比，众数，中位数的概念和计算方法即可求解；
（3）根据样本百分比估算总体，由此即可求解．
（1）解：八年级随机抽取了
名学生的测试成绩，根据频数分布直方图可知，
组有
人，
组有
，
组有
人，
组有
人，
∴
组有
（人），
∴补全频数分布直方图如下，
（2）解：根据八年级的成绩数据可知个，众数是
，即
，
根据扇形图的数据得，九年级
组的人数为
（人），
组的人数为
（人），九年级学生测试成绩在
组和
组的人数为
人，
∴
组有
（人），则
组的百分比为
，即
，
∴九年级的成绩的中位数落在
组第
的位置上，即
∴
，
故答案为：
．
（3）解：八年级成绩不低于
分的学生有
人，九年级成绩不低于
分的学生占
，即
（人），
∴八年级
名学生，成绩不低于
分的学生有
（人），
九年级
名学生，成绩不低于
分的学生有
（人），
∴八，九年级各有
名学生成绩不低于
分的学生共有
（人）．
【点拨】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握某项的百分比的计算方法，众数，中位数，根据样本百分比估算总量的计算方法是解题的关键．
22．(1)
（答案不唯一）
(2)见分析
【分析】（1）根据已知条件可知
，再添加
即可；
（2）根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可．
（1）解：
；
根据
，
，可得
，
再添加
，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定；
故答案为：
（答案不唯一）．
（2）证明：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
23．(1)反比例函数的解析式为：
；一次函数解析式为
；(2)
；(3)
【分析】（1）根据直线与
轴交于点
，得出
，根据
得出
，进而求得点
的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）根据
点的横坐标，结合函数图象即可求解；
（3）设
，则
，进而表示出
，根据
建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵直线
与
轴交于点
，
当
时，
∴
∵点
、
∴
，
∵
∴
设
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：
；
∵点
在反比例函数
∴
，
解得：
，
∴
，
将点
代入
，
即
，
解得：
，
∴一次函数解析式为
；
（2）∵
，
根据函数图象可得，当
时，
；
（3）设
，
∴
，则
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
解得：
（舍去）或
，
当
时，
，
∴点C的坐标为
．
【点拨】本题考查了反比例函数与结合图形，
的几何意义，反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．(1)
，
；(2)见分析；(3)
或
【分析】（1）作
于点J，折叠的性质知
是线段
的垂直平分线，证明
，推出
即可；
（2）证明
，推出
，证明
，推出
，再证明
，据此即可得到结论；
（3）设
，则
，
，在
中，利用勾股定理列式计算即可求解．
（1）解：
，
，理由如下，
作
于点J，
由折叠的性质知
是线段
的垂直平分线，
∴
，即
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
，
；
（2）解：作
的高
，
由折叠的性质知
是线段
的垂直平分线，且
，
∴
，
∴
，
又
，即
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：设
，则
，
当点I是靠近点A的
的三等分点，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，即
，
解得
，
∴
．
同理当点I是靠近点B的
的三等分点时，
；
综上所述，
的长为
或
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明证明
，
是解题的关键．