期中检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为迎接航天英雄，同学们设计了他们喜欢的航空飞行器的图案．其中，属于中心对称的图案设计是( C )
sup7() sup7() sup7() sup7()
2．已知x＞y，下列不等式一定成立的是( C )
A．ax＞ay B．3x＜3y C．－2x＜－2y D．a2x＞a2y
3．(2022·深圳)一元一次不等式组的解集为( D )
4．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为( B )
A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)
5．(2022·资阳)如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB，AC上分别截取AD，AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于DE的一半)为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N.
下列结论一定成立的是( C )
A．CM＝MN B．AC＝AN
C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
sup7() sup7() sup7()
6．(2022·呼和浩特)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F.若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)( C )
A．90°＋α B．90°－α C．180°－α D．α
7．如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB＝AC，AD＝AE.则下列结论：①△ABE≌△ACD；②AM＝AN；③△ABN≌△ACM；④BO＝EO.其中正确的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( D )
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
sup7() sup7() sup7()
9．如图，已知MN是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点F，∠CAB的平分线AD交BC于点D，且MN与AD交于点O，连接BO并延长交AC于点E，则下列结论中不一定成立的是( B )
A．∠CAD＝∠BAD B．OE＝OF
C．AF＝BF D．OA＝OB
10．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是( B )
A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC
C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(2022·岳阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝__3__．
sup7() sup7() sup7() sup7()
12．(2022·安徽)不等式≥1的解集为__x≥5__．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AD是△ABC的角平分线，若CD＝，则△ABD的面积为____．
14．一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明最多答错__3__道题．
15．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝__135__°.
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，点D在AC上，点E在BC上，且∠DOE＝90°.则下列结论：①CD＝BE；②△ODE是等腰直角三角形；③四边形CDOE的面积等于△ABC的面积的一半；④AD2＋BE2＝2OD2.其中正确的有__①②③④__．(填序号)
三、解答题(共72分)
17．(8分)(1)解不等式：－≥－1，并把解集表示在数轴上；
解：去分母，得9x＋8－2x≥－6，移项，得9x－2x≥－6－8，合并同类项，得7x≥－14，解得x≥－2，解集表示在数轴上如图所示：
(2)(2022·上海)解关于x的不等式组：
解：解不等式①，得x＞－2，解不等式②，得x＜－1，所以不等式组的解集为：－2＜x＜－1
18．(6分)如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：FD＝BE.
解：根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AO－AF＝CO－CE，即OF＝OE.在△ODF和△OBE中，DO＝BO，∠DOF＝∠BOE(对顶角相等)，OF＝OE，∴△ODF≌△OBE(SAS)，∴FD＝BE
19．(6分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED；
(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
解：(1)∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°，又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)
(2)△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1，在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2
20．(7分)如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，我国某岛位于O点，我国渔政船在点B处发现有一艘不明国籍的渔船自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地O点，我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国渔政船行驶的航程BC的长.
解：
(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C.点C即为所求 (2)连接BC，设BC＝x海里，则CA＝x海里，OC＝(45－x)海里，在Rt△OBC中，BO2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25.则我国渔政船行驶的航程BC为25海里
21．(7分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－4，2)，B(0，4)，C(0，2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)图略
(2)图略
(3)(2，－1)
22．(8分)如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
解：(1)答案不唯一，如图所示：
(2)答案不唯一，如图所示：
23．(8分)(贺州中考)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
(1)求A，B两种型号的自行车单价分别是多少元？
(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
解：(1)设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据题意得解得答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆
(2)设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车(130－m)辆，根据题意得260(130－m)＋1500m≤58600，解得m≤20.答：至多能购进B型车20辆
24．(10分)已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC；
(2)在三角板的平移过程中，图②中线段EB＝AH是否始终成立(假定AB，AC与三角板斜边的交点为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC.∵∠F＝30°，∴∠CAF＝60°－30°＝30°，∴∠CAF＝∠F，∴CF＝AC.∴CF＝AC＝BC，∴EF＝2BC
(2)成立．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵∠F＝30°，∴∠CHF＝60°－30°＝30°，∴∠CHF＝∠F，∴CH＝CF.∵EF＝2BC，∴EB＋CF＝BC.又∵AH＋CH＝AC，AC＝BC，∴EB＝AH
25. (12分)如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，点C在DE上，点B在DF上．
(1)求重叠部分△BCD的面积；
(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N.
①求证：DM＝DN；
②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
(3)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0＜α＜90)，DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由)
解：(1)∵AB＝BC，AC＝2，D是AC的中点，∴CD＝BD＝AC＝1，BD⊥AC.∴S△BCD＝CD·BD＝×1×1＝
(2)①连接BD，则BD垂直平分AC，∴BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°.由题意可知∠EDC＝30°，∴∠NDA＝60°，∵BD垂直平分AC，∴∠BDA＝90°，∴∠BDN＝∠BDA－∠NDA＝30°，∴∠CDM＝∠BDN，∴△CDM≌△BDN(ASA).∴DM＝DN
②不变化．理由：由①知△CDM≌△BDN，∴S四边形BNDM＝S△BCD＝，即此条件下重叠部分的面积不变，仍为
(3)DM＝DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会变