期末模拟卷（二）

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（滨江区期末）下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形

【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【答案】解：A．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（泉州期末）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据二次根式的性质以及二次根式的减法、除法运算法则即可求出答案．

【答案】解：A、原式＝2，故A不符合题意．

B、原式＝5，故B不符合题意．

C、 与 不是同类二次根式，故C不符合题意．

D、原式＝ ＝2，故D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

3．（衢州期末）6位参加百米决赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前3位设奖．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否获奖，需知道其他5位同学成绩的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【思路点拨】由按成绩取前3位设奖，共有6名同学参加，故应根据中位数的意义分析．

【答案】解：由于总共有6位同学，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前3名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．

故选：B．

【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

4．（沈北新区期末）点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（　　）

A．（5，﹣3） B．（﹣ ，3） C．（﹣5，﹣3） D．（ ，3）

【思路点拨】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．

【答案】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，

∴k＝﹣3×5＝﹣15，

A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；

B、∵﹣ ×3＝﹣ ≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；

C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；

D、∵ ×3＝ ≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

5．（宣城期末）用配方法解方程3x²﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（　　）

A．（x﹣3）²＝ B．（x﹣1）²＝ C．（3x﹣1）²＝1 D．（x﹣1）²＝

【思路点拨】先化二次项的系数为1，然后把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．

【答案】解：3x²﹣6x﹣1＝0，

x²﹣2x﹣ ＝0，

x²﹣2x＝ ，

x²﹣2x+1＝ +1，

（x﹣1）²＝ ．

故选：D．

【点睛】本题考查的是用配方法解方程，把二次项系数化为1，然后把方程的左边化为完全平方的形式，右边为非负数．

6．（丹棱县期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（　　）成立．

A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠A＞90° D．∠A≥90°

【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，∠B＜90°的反面是∠B≥90°．

【答案】解：已知△ABC中，AB＝AC，

求证：∠B＜90°，

运用反证法证明这个结论，第一步应先假设∠B≥90°，

故选：A．

【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

7．（杭州期末）菱形具有而矩形不一定有的性质是（　　）

A．对角线互相平分 B．四条边都相等

C．对角相等 D．对边平行

【思路点拨】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．

【答案】解：A．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以A选项不符合题意；

B．因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以B选项符合题意；

C．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以C选项不符合题意；

D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．

8．（永嘉县校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（　　）

A． +n B．m+ C． D．

【思路点拨】首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△NAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．

【答案】解：∵N为CD中点，

∴CN＝DN＝ CD＝ AB＝BC＝AD，

∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠C+∠D＝180°，

∴∠C＝2∠DNA，∠D＝2∠CNB，

∴∠DNA+∠CNB＝ （∠C+∠D）＝90°，

∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°

即△NAB为直角三角形，

∵BN＝m，AN＝n，

∴CD＝AB＝ ＝ ．

故选：D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目设计较好，综合性较强．

9．（江都区期中）下列命题中正确的是（　　）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形

【思路点拨】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【答案】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；

D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意．

故选B．

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．

10．（萧山区期中）已知关于x的方程mx²+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（　　）

A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．若x＝ 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1

C．无论m取何值，方程都有一个负数根 D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根

【思路点拨】m＝0方程化为一元一次方程，则可对A选项进行判断；先把x＝ 代入方程mx²+x﹣m+1＝0求出m＝4，此时方程为4x²+x﹣3＝0，则利用根与系数的关系求出方程的另一根为﹣1，则可对B选项进行判断；先利用求根公式解方程得到当m≠0时，x₁＝ ，x₂＝﹣1，加上当m＝0时，x＝﹣1，则可对C选项进行判断；由于Δ≠0，即2m﹣1≠0时，方程有两个不相等的实数根，则可对D选项进行判断．

【答案】解：当m＝0时，方程化为x+1＝0，解得x＝﹣1，所以A选项不符合题意；

把x＝ 代入方程mx²+x﹣m+1＝0得 m+ ﹣m+1＝0，解得m＝4，

此时方程为4x²+x﹣3＝0，

设方程的另一个为t，根据根与系数的关系得 t＝﹣ ，解得t＝1，

所以方程的另一根为﹣1，所以B选项不符合题意；

当m≠0时，因为Δ＝1²﹣4m（﹣m+1）＝（2m﹣1）²≥0，

当m＝0时，x＝﹣1，

当m≠0时，因为x＝ ，所以x₁＝ ，x₂＝﹣1，所以C选项不符合题意；

所以当2m﹣1≠0时，方程有两个不相等的实数根，所以D选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．也考查了根的判别式．

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．（北京期中）计算： ＝　5　， ＝　8　．

【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【答案】解： ＝5， ＝8．

故答案为：5，8．

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．

12．（兰溪市校级月考）有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为　120°　．

【思路点拨】根据一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，可以得到这个多边形的内角和，然后根据内角和公式，可以得到这个多边形的边数，从而可以得到这个正多边形每一个内角的度数．

【答案】解：∵一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，

∴这个多边形的内角和是360°×2＝720°，

设这个正多边形的边数为n，

则（n﹣2）×180°＝720°，

解得n＝6，

故这个正多边形每一个内角的大小为720°÷6＝120°，

故答案为：120°．

【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解答本题的关键是明确题意，求出相应的内角的度数．

13．（牡丹区期末）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是　 　．

【思路点拨】根据数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，可以得到a+b+c的和d+e的和，然后即可计算出数据a，b，c，4，d，e的平均数．

【答案】解：∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，

∴a+b+c＝2×3＝6，d+e＝2×3＝6，

∴a，b，c，4，d，e的平均数是：（a+b+c+d+e+4）÷6＝（6+4+6）÷6＝ ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用算术平均数的计算方法解答．

14．（阳山县期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程　（50﹣x）（300+10x）＝16000　．

【思路点拨】设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，根据总利润＝每盒的利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程即可．

【答案】解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，

依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，

故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．（青神县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将△BDC沿BD对折，C点落在M处，BM交AD于点E，作EF⊥BD于F，则线段EF＝　 　．

【思路点拨】根据矩形性质和翻折性质证明EB＝ED，再根据勾股定理得到DE的长，利用S_△BED＝ DE•CD＝ BD•EF，即可求出结果．

【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，

∴∠ADB＝∠CBD，

根据翻折可知：∠MBD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠MBD，

∴EB＝ED，

∴AE＝AD﹣DE＝8﹣DE＝8﹣BE，

在Rt△AEB中，根据勾股定理，得

AB²+AE²＝BE²，

∴6²+（8﹣BE）²＝BE²，

解得BE＝ ，

∴DE＝ ，

在矩形ABCD中，

∵CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，

∴BD＝ ＝10，

∴S_△BED＝ DE•CD＝ BD•EF，

∴ ×6＝10×EF，

∴EF＝ ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

16．（萧山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝　70°　．

【思路点拨】首先证明△ABE是等边三角形，再证明∠AED≌△DCA，可得∠AED＝∠DCA，求出∠DCA即可．

【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠EAB＝∠EAD，

∴∠EAB＝∠AEB，

∴BA＝BE，

∵AB＝AE，

∴AB＝BE＝AE，

∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，

∴∠EAD＝∠CDA＝60°，

∵EA＝AB，CD＝AB，

∴EA＝CD，

∵AD＝DA，

∴∠AED≌△DCA，

∴∠AED＝∠DCA，

∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝60°+10°＝70°，

∴∠AED＝70°．

故答案为：70°．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

三．解答题（共7小题，共66分）

17．（朝阳区校级期中）计算：

（1） ；

（2） ．

【思路点拨】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．

【答案】解：（1）原式＝2 ﹣3 +2×

＝2 ﹣3 +

＝0；

（2）原式＝4× ×（﹣ ）×

＝3 ×（﹣ ）×

＝3×（﹣ ）×

＝﹣ ×2

＝﹣ ．

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18．（九龙坡区校级期中）解一元二次方程：

（1）x（3x+1）＝2（3x+1）；

（2）3x²﹣4x﹣1＝0．

【思路点拨】（1）先移项得到x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程；

（2）利用公式法解方程．

【答案】解：（1）x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0，

（3x+1）（x﹣2）＝0，

3x+1＝0或x﹣2＝0，

所以x₁＝﹣ ，x₂＝2；

（2）Δ＝（﹣4）²﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，

x＝ ＝ ＝ ，

所以x₁＝ ，x₂＝ ．

【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

19．（拱墅区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．

【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；

（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝ AC＝2，再由勾股定理求出OB＝ ，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵E，F分别是OB，OD的中点，

∴OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∴AC＝ ＝ ＝4，

∴OA＝ AC＝2，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝ ＝ ＝ ，

∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，

∴AE＝ OB＝ ．

【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．

20．（丰宁县期末）“新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，某校利用网络平台进行疫情防控知识测试，测试题共10道题目，每小题10分．小明同学对八年（1）和八年（2）两个班各40名同学的测试成绩进行了整理和分析，数据如图．

③数据分析如下表：

班级	平均数	中位数	众数	方差
八年（1）班	82.5	m	90	158.75
八年（2）班	80.5	75	n	174.75

根据以上信息，解决下列问题：

（1）m＝　80　，n＝　70　；

（2）你认为　八年（1）　班的成绩更加稳定，理由是　八年（1）班成绩的方差更小　；

（3）在本次测试中，八年（1）班甲同学和八年（2）班乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．

【思路点拨】（1）结合频数分布直方图及八（2）班平均成绩的算式，根据中位数和众数的定义求解即可；

（2）根据方差的意义求解即可；

（3）根据中位数的意义判断即可得出答案．

【答案】解：（1）由频数分布直方图知第20、21个数据分别为80、90，

∴八（1）班成绩的中位数m＝ ＝85（分），

由八（2）班平均成绩的算式知70分出现次数最多，有17次，

∴八（2）班成绩的众数n＝70分，

故答案为：85、70；

（2）八年（1）班，

因为八年（1）班成绩的方差小于八年（2）班的，说明波动小，

所以八年（1）班成绩的更稳定．

故答案为：八年（1）班，八年（1）班成绩的方差更小；

（3）乙同学，

因为八年（1）班的中位数为85分，大于80分，说明本班有一半以上的同学比甲成绩好，而八年（2）班的中位数为75分，小于80分，说明乙同学比本班一半以上的同学成绩好，

所以乙同学在班级的排名更前．

【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握中位数、众数的定义和中位数、方差的意义是解题的关键．

21．（梅里斯区期末）如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．

（1）求证：CG＝CE；

（2）若BE＝4 ，DG＝2 ，求BG的长．

【思路点拨】（1）只要证明∠CBG＝∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE即可得到结论．

（2）在Rt△BCG中，求出BC，CG即可．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，

∵BF⊥DE，

∴∠DFG＝∠BCG＝90°，

∵∠BGC＝∠DGF，

∴∠CBG＝∠CDE．

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（ASA），

∴CG＝CE；

（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，

又∵BE＝BC+CE＝4 ，DG＝CD﹣CG＝2 ，

∴BC＝3 ，CG＝ ，

在Rt△BCG中，BG＝ ＝ ＝2 ．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．

22．（重庆期末）如图，一次函数y＝k₁x+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（3，1），B（﹣1，n）两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足k₁x+b≥ 的x的取值范围；

（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积．

【思路点拨】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y＝k₁x+b即可求出函数的解析式；

（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；

（3）过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据S_△ABC＝S_ACD+S_△BCD即可求出答案．

【答案】解：（1）∵把A（3，1）代入y＝ 得：k₂＝3×1＝3，

∴反比例函数的解析式是y＝ ，

∵B（﹣1，n）代入反比例函数y＝ 得：n＝﹣3，

∴B的坐标是（﹣1，﹣3），

把A、B的坐标代入一次函数y＝k₁x+b得： ，

解得：k₁＝1，b＝﹣2，

∴一次函数的解析式是y＝x﹣2；

（2）从图象可知：k₁x+b≥ 的x的取值范围是当﹣1≤x＜0或x≥3．

（3）过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，

∵B（﹣1，﹣3），B、C关于原点对称，

∴C（1，3），

把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，

∴D（1，﹣1），

∴CD＝4，

∴S_△ABC＝S_△ACD+S_△BCD＝ ×4×（3+1）＝8．

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．

23．（三门峡期末）类比探究是数学学习过程中常用的思想方法．小聪同学在一次数学兴趣小组活动中对如下题目进行了探究，请你结合所学知识充分发挥聪明才智，一起参与进来吧！

如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的一个动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．

（1）大胆猜想

如图1，当点P在线段AO上时，线段PE与PD的数量关系是　PD＝PE　，位置关系是　PE⊥PD　；

（2）类比探究

如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论．

（3）拓展延伸

当点P在直线AC上，点E在直线BC上，且∠BPD＝30°，BP＝5时，请直接写出线段BE的长．

【思路点拨】（1）由正方形的对称性，可得PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，又PB＝PE，故PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，即可证∠DPE＝90°，PE⊥PD；

（2）由正方形的对称性，可得PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，又PB＝PE，故PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，即有180°﹣∠PFD﹣∠PDC＝180°﹣∠CFE﹣∠PEB，即∠DPF＝∠ECF，从而∠DPF＝90°，PD⊥PE；

（3）①当P在射线CA上时，由正方形对称性，可得∠BPC＝ ∠BPD＝15°，从而可证△PBE是等边三角形，故BE＝PB＝5；

②当P在射线AC上时，过P作PH⊥BE于H，可证∠PBC＝∠ACB﹣∠BPC＝30°，故Rt△BPH中，PH＝ PB＝ ，根据PB＝PE，即得BE＝5 ．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵PB＝PE，

∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，

∴∠PDC＝∠PEB，

∵∠PEB+∠PEC＝180°，

∴∠PDC+∠PEC＝180°，

∴∠DPE+∠DCE＝180°，

而∠DCE＝90°，

∴∠DPE＝90°，

∴PE⊥PD，

故答案为：PD＝PE，PE⊥PD；

（2）猜想还成立，理由如下：

设PE交CD于F，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵PB＝PE，

∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，

∴∠PDC＝∠PEB，

∵∠PFD＝∠CFE，

∴180°﹣∠PFD﹣∠PDC＝180°﹣∠CFE﹣∠PEB，即∠DPF＝∠ECF，

而四边形ABCD是正方形，

∴∠ECF＝∠BCD＝90°，

∴∠DPF＝90°，

∴PD⊥PE；

（3）①当P在射线CA上时，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，∠ACB＝45°，

∴∠BPC＝∠DPC，

∵∠BPD＝30°，

∴∠BPC＝ ∠BPD＝15°，

∴∠PBE＝∠BPC+∠ACB＝60°，

∵PB＝PE，

∴△PBE是等边三角形，

∴BE＝PB＝5，

②当P在射线AC上时，过P作PH⊥BE于H，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，B与D是一对对应点，∠ACB＝45°，

∴∠BPC＝∠DPC，

∵∠BPD＝30°，

∴∠BPC＝ ∠BPD＝15°，

∴∠PBC＝∠ACB﹣∠BPC＝30°，

Rt△BPH中，PH＝ PB＝ ，

∴BH＝ ＝ ，

∵PB＝PE，

∴EH＝BH＝ ，

∴BE＝BH+EH＝5 ．

综上所述，BE的长为5或5 ．

【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及等腰三角形性质、等边三角形性质与判定、直角三角形等知识，解题的关键是掌握正方形的对称性，得到PD＝PB，∠PBC＝∠PDC．