期末模拟测试卷01
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列运算正确的是（ ）
A．
B．3
3 C．
D．
4
解：
与
不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
3
2
3，故选项B错误；
，故选项C错误；
2≠4，故选项D错误．
答案：C．
2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
答案：B．
3．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，首先应假设（ ）
A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．∠B≥∠C D．∠B≤∠C
解：反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，
首先假设∠B＝∠C，
答案：A．
4．关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，则a值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝a2﹣4×1×1＝0，
∴a＝±2．
答案：B．
5．关于反比例函数y
的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象位于第二、四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象关于原点对称
解：A．当x＝1时，代入反比例函数y
得，y＝﹣2，排除A，
B．k＝﹣2＜0，图象经过二、四象限，排除B，
C．k＝﹣2＜0，在二、四象限内y随x增大而增大，故选C，
D．反比例函数图象关于原点对称，排除D，
答案：C．
6．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为s甲2＝1.2s，乙2＝1.5，s丙2＝1.8，s丁2＝2，则这四个队中，身高最整齐的是（ ）
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
解：∵s甲2＝1.2，s乙2＝1.5，s丙2＝1.8，s丁2＝2，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这四个队中，身高最整齐的是甲队，
答案：A．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
解：方程x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
配方得：x2﹣8x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
答案：D．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形，故A正确，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故B正确，
当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形，故C正确，
当AC垂直平分BD时，它是正方形，故D不正确．
答案：D．
9．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD
∠ABC，∠BAC
∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABD＝40°，∠BAC＝50°．
∴剪口与折痕所成的角的度数应为40°．
答案：C．
10．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（ ）
A．2 B．
C．
D．4
解：∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴EF⊥AE，
当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，
∴点M经过的路径长为GH的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴GH＝2
，
答案：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤1 ．
解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，
可知：﹣x+1≥0，
解得x≤1．
答案：x≤1．
12．已知反比例函数y
（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是 y
（只需写一个）．
解：∵反比例函数y
（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，
∴k＜0，
∴y
，
答案：y
．
13．匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是 18° ．
解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD
72°，
∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，
又∵OA＝OD，
∴∠ADO
18°，
答案：18°．
14．已知一元二次方程x2﹣c＝0有一个根为2，则c的值为 4 ．
解：将x＝2代入x2﹣c＝0，
∴4﹣c＝0，
∴c＝4，
答案：4．
15．在学校的体育训练中，小明投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数是 9.7 ．
解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
答案：9.7．
16．如图，直线
交x轴于A，交y轴于B，交双曲线
于C，A、D关于y轴对称，若S四边形OBCD＝6，则k＝ 2.5 ．
解：过C作CE⊥x轴于E，
∵y
x+2，
∴当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4；
即A的坐标是（﹣4，0），B（0，2），
∵A、D关于y轴对称，
∴D的坐标是（4，0），
即AD＝4﹣（﹣4）＝8，
∵C在直线y
x+2上，
∴设C的坐标是（x，
x+2），
∵S四边形OBCD＝6，
∴
8×（
x+2）
|﹣4|×2＝6，
解得：x＝1，
x+2＝2.5，
即C的坐标是（1，2.5），
代入y
得：k＝2.5，
答案：2.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）2
；
（2）（
）
2
．
解：（1）原式＝6
4
＝3
；
（2）原式＝（2
2
）
2
＝2
2
2
＝﹣2．
18．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
-
小敏：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．
解：小敏：错误；小霞：错误．
正确的解答方法：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
19．如图，在7×7的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，分别按下列要求画格点四边形．（要求图1与图2的两个四边形不全等）
（1）在图1中画一个以AB为边的矩形；
（2）在图2中画一个以AB为边的平行四边形且与（1）中所画的矩形面积相等．
解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．
（2）如图，平行四边形ABCD即为所求．
20．为了增强居民环保意识，哈市某中学组织学生参加了“世界环境日”活动，七年级（1）班所有同学在同一天随机调查了所居住小区的一户居民丢弃塑料袋的情况，并将调查结果绘制成条形统计图．请你根据统计图，回答下列问题：
（1）这次共调查了多少户居民；
（2）居民丢弃塑料袋个数的中位数是 4 ，众数是 4 ；
（3）该校所在的居民区约有5000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数是多少个？
解：（1）5+15+20+10＝50（户），
答：这次共调查了50户居民；
（2）共有50户居民，居民丢弃塑料袋个数从小到大排列第25，26个数都是4，出现最多的数据是4，
∴居民丢弃塑料袋个数的中位数是
4（个），众数是4个，
答案：4，4；
（3）5000
5000×3.7＝18500
（个），
答：估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数是18500个．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y
（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：当kx+b
，x的取值范围为
﹣3≤x≤﹣1 ，（请直接写出答案）．
解：（1）∵点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）在反比例函数图象上，
∴m＝﹣1×3＝﹣3，n＝1，
∵点A，B在一次函数图象上，
∴可得
，解得k＝1，b＝4，
综上，一次函数为y＝x+4，
反比例函数为y
；
（2）设一次函数与y轴交于点D，
∴D点坐标为（0，4），
∴S△AOB＝S△OCD﹣S△AOD﹣S△BCO
；
（3）观察图象可知：当kx+b
，x的取值范围为﹣3≤x≤﹣1．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE
AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠BCD＝60°，则AE＝ 4
．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC
AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE
AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC
AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝8，
∴OD＝OB＝4，
∴OC
4
，
∴AC＝2OC＝8
，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝4，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE
4
，
答案：4
．
23．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，
整理得：y2﹣29y+100＝0，
解得：y1＝4，y2＝25．
又∵要节省投入，
∴y＝4．
答：应该增加4条生产线．
24．如图1，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点G是平面上一点，若在射线BC上存在一点F，使得四边形EDFG为菱形，我们称菱形EDFG是矩形ABCD的“矩菱形”．
（1）命题“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是 真命题 ；（填“真命题”或“假命题”）
（2）如图2，矩形ABCD为正方形，四边形EDFG是其“矩菱形”，EG交BC于点H，若HE
，求CH的长；
（3）假设
k，
①若矩形ABCD始终存在“矩菱形”，求k的取值范围．
②如图3，若AB＝2，点M为菱形EDFG的中心点，连结EM、CM、CG、BG，请用含有k的代数式表示五边形EMCGB的面积S．
解：（1）命题“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是真命题．理由如下：
∵四边形EDFG是正方形ABCD的“矩菱形”，
∴四边形EDFG一定是菱形，
∴DE＝DF，
∵正方形ABCD，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠DCF＝90°＝∠A，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°，
∴菱形EDFG是正方形，即正方形ABCD的“矩菱形”EDFG也是正方形，
即命题“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是真命题．
答案：真命题；
（2）如图2，连接DH，设正方形ABCD的边长为a，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝EB
a，
由（1）知，Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴CF＝AE＝a，
∵四边形EDFG也是正方形，
∴S△DFH
S正方形EDFG
DE2
a2，
∴
FH•CD
a2，
∴FH
a，
∴BH＝BC+CF﹣FH＝a
a
a
a，
在Rt△BEH中，BE2+BH2＝EH2，
∴（
a）2+（
a）2＝（
）2，
解得：a＝4或a＝﹣4（舍去），
∴CH＝BC﹣BH＝a
a
a＝3；
（3）①如图3，设AB＝b，则AD＝kb，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝EB
b，
∵四边形EDFG是其“矩菱形”，
∴DF＝DE，
∴DF2＝DE2＝AD2+AE2＝（kb）2+（
b）2＝（k2
）b2，
∵∠DCF＝180°﹣90°＝90°，
∴CF2＝DF2﹣CD2＝（k2
）b2﹣b2＝（k2
）b2，
∴k2
0，即（k
）（k
）≥0，
∵k＞0，
∴k
0，
∴k
0，
∴k
；
②如图4，连接EF，DG，BM，过点G作GK⊥AB交其延长线于K，
过点M作NL⊥AB于N，交CD于L，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DG，EF交于点M，DM＝GM，EM＝FM，
∵∠ABC＝90°，
∴BM＝EM，
∵MN⊥AB，
∴EN＝BN
，
∵DF∥EG，DF＝EG，
∴∠DFC＝∠EHB，
∵∠ABC＝∠EKG＝90°＝∠DCF，
∴GK∥BC，
∴∠EHB＝∠EGK，
∴∠DFC＝∠EGK，
∴△DCF≌△EKG（AAS），
∴EK＝CD＝AB＝2，
∴BK＝EK﹣BE＝1，
∵
k，
∴AD＝2k，
在Rt△ADE中，DE
，
∴EG＝DF＝DE
，
∴KG＝CF
，
∴MN
，
∴ML＝NL﹣MN＝AD﹣MN＝2k
，
在Rt△BEF中，EF
，
∴EM
EF
，
∴S五边形EMCGB＝S梯形KGMN﹣S△BKG+S△EMN+S△CMG
（
）
1
2
＝2k
；
∴S＝2k
．