期末精选60题
一．选择题（共20小题）
1．（黔江区期末）若二次根式
有意义，且关于x的分式方程
+2＝
有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【分析】根据二次根式
有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程
+2＝
的解为x＝
，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝
，
∵关于x的分式方程
+2＝
有正数解，
∴
＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，
＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵
有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．
2．（鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简
+
的结果为（ ）
A．2a B．2a+
C．
D．﹣
【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴
+
＝
+
＝
+
＝a﹣
﹣（a+
）
＝﹣
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．（嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．3+2
＝5
B．
﹣
＝3 C．（2
）2＝12 D．
＝±3
【分析】根据二次根式的运算法则解决．
【解答】解：A.
≠
，无法进行运算，故A不符合题意．
B.
≠3，故B不符合题意．
C.
，故C符合题意．
D.
，故C不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
4．（仓山区校级期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．16
cm2 B．40
cm2 C．8
cm2 D．（2
+4）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是
+
＝4+2
，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2
）2﹣16﹣24＝16+16
+24﹣16﹣24＝16
（cm2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
5．（上城区期末）下列方程的根是无理数的是（ ）
A．（x+
）（x﹣
）＝﹣4 B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2
C．x2+4x﹣3＝0 D．2x2﹣7x＝0
【分析】先求出选项中每个方程的解，再逐个判断即可．
【解答】解：A．（x+
）（x﹣
）＝﹣4，
x2﹣5＝﹣4，
x2＝1，
x＝±1，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2，
开方得：2x﹣1＝±（3x+1），
解得：x1＝﹣2，x2＝0，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．x2+4x﹣3＝0，
x2+4x＝3，
配方，得x2+4x+4＝3+4，
（x+2）2＝7，
开方，得x+2＝
，
解得：x1＝﹣2+
，x2＝﹣2﹣
，即方程的根是无理数，故本选项符合题意；
D．2x2﹣7x＝0，
x（2x﹣7）＝0，
x＝0或2x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝
，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
6．（拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥
B．k≥
且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
【分析】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥
且k≠1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出不等式是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
7．（永嘉县校级期末）如图，点A，B在反比例函数y＝﹣
（x＜0）的图象上，连接OA，AB，以OA，AB为边作▱OABC，若点C恰好落在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，此时▱OABC的面积是（ ）
A．3 B．
C．2
D．6
【分析】连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，设点A（a，﹣
），点C（m，
）（a＜0，m＞0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[（a+m），（﹣
）]，把点B坐标代入解析式可求a＝﹣2m，由面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，
设点A（a，﹣
），点C（m，
）（a＜0，m＞0）
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AC与BO互相平分
∴点E（
）
∵点O坐标（0，0）
∴点B[（a+m），（﹣
）]
∵点B在反比例函数y＝﹣
（x＜0）的图象上，
∴﹣
+
＝﹣
∴a＝﹣2m，a＝m（不合题意舍去）
∴点A（﹣2m，
）
∴S△AOC＝
（
）（m+2m）﹣
﹣1＝
∴▱OABC的面积＝2×S△AOC＝3
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题时注意：在反比例函数y＝
图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用．
8．（浦江县期末）如图，反比例函数y1＝
的图象和正比例函数y2＝k2x的图象交于点A（﹣1，﹣2），B（1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【分析】利用函数图象的上下关系求出x的范围．
【解答】解：∵y1＞y2，
∴y1图象在y2的上方．
即在交点A的左边和B的左边，y轴右边．
∴x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：C．
【点评】本题考查用函数图象解不等式，将函数值的大小关系转化成图象的上下关系是求解本题的关键．
9．（北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（ ）
A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB
【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝
BC，PE＝
AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，故选项A不合题意；
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；
∵PF＝
BC，PE＝
AD，PE+PF＞EF，
∴
BC+
AD＞EF，
∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；
无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．
10．（嵊州市期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（ ）
A．3 B．
C．
D．
【分析】延长AG交DF于M，过A作AM⊥CF，垂足为N，用三角函数求AN．ND的长，最后用勾股定理求AM．
【解答】解：延长AG交DF于M，过A作AN⊥CF，垂足为N，
在▱ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，AB∥CD，
∠AND＝90°，在Rt△ANM中，AM＝
，
∵∠ADC＝60°，
在Rt△AND中，cos60°＝
＝
，
∴DN＝3，
sin60°＝
，AN＝3
．
∵G为BF的中点，
∴AG＝GM，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠GFM，∠BAG＝∠MGF，
∴△ABG≌△MFG（AAS）．
∴AG＝GM，MF＝AB＝2，DM＝1，MN＝4，
∴AG＝
故选：C．
【点评】考查平行四边形性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判断，解题关键作辅助线构造直角三角形．
11．（下城区期末）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC．设点P是直线MN上的一点，且满足PB＝AC，下列结论：①若点P在射线AM上（不与点A重合），则∠B＜90°；②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），则∠B＜90°；③若点P在射线DN上（不与点D重合），则∠B＞90°．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定判断即可．
【解答】解：①若点P在射线AM上（不与点A重合），如图1，
此时∠ABC＜90°或≥90°，故①错误；
②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），如图2，
则∠ABP＜90°，故②正确；
③若点P在射线DN上（不与点D重合），如图3，
则∠ABC＞90°，故③正确；
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
12．（杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
13．（杭州期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（ ）
A．α＝β B．α+β＝180° C．2α+β＝180° D．α+2β＝180°
【分析】根据矩形的性质可得OA＝OD，根据等腰三角形底角相等和直角三角形两个锐角互余可得
（180°﹣α）＝β，进而可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD＝α，
∴∠OAD＝
（180°﹣α），
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AEO＝β，∠DAE＝90°，
∴∠OAD＝∠AEO，
∴
（180°﹣α）＝β，
∴α+2β＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的对角线相等的性质．
14．（温州期末）在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，将线段EF向右平移m个单位，使得点E落在CD上，F落在BC上，已知AE+EF+CF＝24，CD＝10，则m的值为（ ）
A．6 B．4
﹣2 C．4
D．2
+2
【分析】过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，利用一线三垂直模型证明△AME≌△ENF，列出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，
∵E在正方形的对角线上，
∴EM＝EE'＝m，
∴AM＝10﹣m，EN＝10﹣m，
∵∠FEN+∠AEM＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠AEM＝∠EFN，
在△AME和△ENF中，
，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴FN＝ME＝m，
∴
，
解得m＝
，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质，关键是要作辅助线构造一线三垂直模型，证明全等的三角形，才能列出关于m的方程，从而求出m的值．
15．（丽水期末）如图正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q．当DQ＝2CQ时，BP的长为（ ）
A．
a B．
a C．
a D．
a
【分析】作PE⊥AB于E，交CD于F，根据正方形的性质得∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF，再判断△PCF为等腰直角三角形得到PF＝CF，接着利用等角的余角相等得到∠1＝∠2，于是可证明△BEP≌△PQF，所以PE＝FQ，设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x+
，在△BEP中用勾股定理即可算出BP＝
＝
．
【解答】解：过P作PE⊥AB于E，交CD于F，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF，
∴PF⊥CF，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PF＝CF，
而CF＝BE，
∴PF＝BE，
∵PB⊥PQ，
∴∠1+∠BPE＝90°，
而∠2+∠BPE＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BEP和△PQF中，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴EP＝FQ，
正方形ABCD的边长为a，DQ＝2CQ，
∴CQ＝
，
设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x+
，
∴AB＝x+
+x＝a，
∴x＝
，
∴BP＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作出辅助线构造△BEP≌△PQF是本题的关键．
16．（浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】连接CF，根据题意可得DB∥CF，利用平行线之间的距离处处相等可得：S△BDF＝S△BDC＝8，即可得出边长．
【解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠BDC＝∠GCF，
∴BD∥CF，
∴S△BDF＝S△BCD＝8，
∴S△BDF＝BC×BC÷2＝8．
BC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
17．（南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（ ）
A．a＜0 B．a≠0 C．a≥0 D．a≤0
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”
18．（上城区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a+2b+4c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有实数根；
②若b＝3a+2，c＝2a+2，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at+b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】①正确，利用判别式判断即可．
②错误，a＝﹣2时，方程有相等的实数根．
③错误，c＝0时，结论不成立．
④正确，利用求根公式，判断即可．
【解答】解：①∵a+2b+4c＝0，
∴a＝﹣2b﹣4c，
∴方程为（﹣2b﹣4c）x2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4（﹣2b﹣4c）•c＝b2+8bc+16c2＝（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有实数根，故①正确．
②∵b＝3a+2，c＝2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2＝0，
∴Δ＝（3a+2）2﹣4a（2a+2）＝a2+4a+4＝（a+2）2，
当a＝﹣2时，Δ＝0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c＝0时，c是方程ax2+bx＝0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴t＝
，
∴2at+b＝±
，
∴b2﹣4ac＝（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
19．（永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣
x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y1＝
（k＜0，x＜0），y2＝
（k＜0，x＞0）于点C，D两点，连接OC，OD，过点D作DE⊥x轴于点E，若△ODE的面积与△OCB的面积相等，则k的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣2
D．﹣
【分析】△ODE的面积与△OCB的面积相等，即
（﹣k）＝
×OB×（﹣m），解得：m＝k，将点C的坐标代入一次函数表达式得：
＝﹣
m+1，即可求解．
【解答】解：设点C（m，
），
∵直线y＝﹣
x+1交y轴于点B，则OB＝1，
∵△ODE的面积与△OCB的面积相等，
即
（﹣k）＝
×OB×（﹣m），解得：m＝k，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：
＝﹣
m+1，
解得：m＝﹣2＝k，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当已知两个函数的解析式的时候，联立组成方程组求解，体现了方程思想，综合性较强．
20．（鄞州区期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】延长EP交AD于Q，利用SAS证明△AQP≌△FCE，可得AP＝EF，即可判定①；由AP⊥BD可证得∠EFC＝∠PAQ＝45°，利用平行线的判定可证明②的正确性；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值，进而求得EF的最小值，进而可判定③．
【解答】解：延长EP交AD于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，
∵PF⊥CD，
∴∠DPF＝45°，
∴DF＝PF，
∵PE⊥BC，
∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，
∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，
∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，
∴DF＝QP，
∴CE＝QP，
在△AQP和△FCE中，
，
∴△AQP≌△FCE（SAS），
∴AP＝EF，
若AP＝5，则EF＝5，故①正确；
若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，
∵△AQP≌△FCE，
∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠EFC＝∠BDC，
∴EF∥BD，故②正确；
当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
∵AB＝AD＝4，
∴BD＝
，
∴AP＝
BD＝
，
∵EF＝AP，
∴EF的最小值为
，故③错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用，证明△AQP≌△FCE是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
21．（永嘉县校级期末）已知：
，那么a2+b2的值是 2 ．
【分析】把已知条件两边平方，再解关于（a2+b2）的一元二次方程，然后利用非负数的性质确定a2+b2的值．
【解答】解：∵
，
∴（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，
∴（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣8＝0，
∴（a2+b2+4）（a2+b2﹣2）＝0，
∴a2+b2+4＝0或a2+b2﹣2＝0，
即a2+b2＝﹣4或a2+b2＝2，
而a2+b2≥0，
∴a2+b2的值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
22．（古丈县期末）计算：
的结果为 1 ．
【分析】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3×
×
，
＝
，
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．
23．（永嘉县校级期末）实数
的整数部分a＝ 2 ，小数部分b＝ 
．
【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出
的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【解答】解：
＝
＝
，
∵4＜7＜9，∴2＜
＜3，
∴
＜
＜3，即实数
的整数部分a＝2，
则小数部分为
﹣2＝
．
故答案为：2；
．
【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．
24．（永嘉县校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则
的值为 
．
【分析】根据a+b＝3，ab＝2，可以判断出a＞0，b＞0，将所求数字化简，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝
＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
25．（永嘉县校级期末）解方程：
，得x＝ 
．
【分析】去分母、移项，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：去分母得：3x+
＝4x，
移项得：x＝
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法和二次根式的乘法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
26．（鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+
c＝0，则方程必有一根为 ﹣3 ．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+
c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
27．（上城区校级期末）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，将其代入m2+3m+n＝m2+2m+m+n中即可求出结论．
【解答】解：∵设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2020＝0，即m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，
则m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝2020﹣2
＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2是解题的关键．
28．（嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 8 个班级．
【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：
x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（衢州期末）如图，点A，B在反比例函数y＝
第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为 （3，0） ，△CDE的面积等于 2 ．
【分析】先通过点A求k，再利用AB＝BC＝CD求点C和点D的坐标，然后求得直线BD的解析式，再求得点E的坐标，最后求得△CDE的面积．
【解答】解：将点A（1，2）代入反比例函数，得k＝2，
∵AB＝BC，
∴yB＝1，
∴xB＝2，
∴B（2，1），
∴C（3，0），
∵BC＝BD，
∴D（1，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则
，解得：
，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
由
，解得：
或
，
∴E（﹣1，﹣2），
∴S△CDE＝
＝
＝2．
故答案为：（3，0），2．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、线段的比例关系，待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象和反比例函数图象的交点坐标求解，解题的时候要注意AB＝BC＝BD这一条件的合理运用．
30．（吴兴区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数y＝
（k＜0，x＜0）的图象经过点A，与AF交于点E，且AE＝EF，△ADF的面积为6，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】通过菱形的性质，得BD⊥AC，又因为AF⊥AC，得AF||BD，从而将已知△DAF的面积转化成已知同底等高的△OAF的面积，由此转化成反比例函数的系数的几何意义的问题，再结合三角形中位线的知识，得到OH与其他边的数量关系，从而求出系数k的大小．
【解答】解：
过点E作EG⊥x轴，AH⊥x轴，
∵点E为AF的中点，
∴EG为△FAH的中位线，则EG＝
AH，FG＝HG，
设EG＝a，AH＝2a，FG＝HG＝b，
∵点A、E在反比例函数y＝
（k＜0，x＜0）的图象上，
∴OH•2a＝（OH+b）•a＝|k|，
∴OH＝b，
∴S四边形AEGO﹣S△AHO＝S四边形AEGO﹣S△EGO，即：S梯形EGHA＝S△OAE，
连接OE、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF||BD，
又∵△ADF的面积为6，
∴S△OAF＝S△DAF＝6，
∵AE＝EF，
∴S△OAE＝
S△OAF＝3，
∵S梯形EGHA＝S△OAE，
∴
•（a+2a）•b＝
ab＝3，即ab＝2，
∴|k|＝2ab＝2×2＝4，
∵反比例函数的一支图象在第二象限，所以k＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及的知识点有：反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，及菱形的性质、平行线的判定、三角形的中线的性质等，考查了学生的综合应用能力、推理能力、几何直观、数形结合思想等，本题的关键在于将已知△DAF的面积转化成已知同底等高的△OAF的面积，将看似无关的条件转化成熟悉的旧知的情境中来，体现了数学的化归思想．
31．（朝阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为 35 ．
【分析】证△AEF≌△DCE（AAS）．得AE＝CD，AF＝DE＝2，则AD＝AE+DE＝AE+2，再求出CD＝AE＝5，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵∠DCE+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE＝CD，AF＝DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）＝24，
∴2（2AE+2）＝24，
解得：CD＝AE＝5，
∴AD＝7，
∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35，
故答案为：35．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△AEF≌△DCE是解题的关键．
32．（越城区期末）如表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2﹣y2的值等于 15 ．
-
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
90
100
次数（人）
2
3
5
x
6
y
3
4
【分析】根据全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分和表格中的数据，可以计算出x、y的值，然后即可求得x2﹣y2的值．
【解答】解：∵全班共有38人，
∴2+3+5+x+6+y+3+4＝38，
∴x+y＝15，
∵表格中的众数为50分，中位数为60分，
∴
，
解得6＜x≤8且x＞y，
又∵x、y为整数，x+y＝15，
∴x＝8，y＝7，
∴x2﹣y2＝82﹣72＝64﹣49＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查众数、中位数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是计算出x、y的值．
33．（永嘉县校级期末）甲组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，甲组数据方差为 4 ，乙组数据方差为5.6， 甲组 更稳定．
【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：∵数据6、7、x、9、5的平均数是2x，
∴
（6+7+x+9+5）＝2x，
解得：x＝3，
则甲组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以甲组数据的方差为
×[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]＝4；
由于4＜5.6，
所以甲组更稳定．
故答案是：4；甲组．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
34．（海曙区期末）如图，四边形ABCD的顶点B、D两点在反比例函数y＝
（k1＞0）的图象上，A、C两点在反比例函数y＝
（k2＜0）的图象上，AD∥x轴∥BC，AD＝2BC，S△BCD＝6，则k1﹣k2的值为 8 ．
【分析】过点D作DE⊥BC交BC于点E，设点B的坐标为（a，
），点A的坐标为（b，
）根据AD∥x轴∥BC求出D，C的坐标，表示出DA，BC的长度，根据AD＝2BC求出b与a的关系，进而求出DE的长度，表示出S△BCD，进而求解．
【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于点E，
设点B的坐标为（a，
），点A的坐标为（b，
），
∵AD∥x轴∥BC，
∴点D的坐标为（
，
），点C的坐标为（
，
），
∴DA＝
﹣b，CB＝
﹣a，
∵AD＝2BC，
∴
﹣b＝2（
﹣a），
整理得，b＝﹣
，
DE＝
﹣
＝k2÷（﹣
）﹣
＝﹣
，
∵S△BCD＝
BC•DE＝
（
﹣a）•（﹣
）＝
（k1﹣k2）＝6，
∴k1﹣k2＝8，
故答案为：8
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，进而表示出三角形BCD的面积，进而求解．
35．（西湖区校级期末）如图反比例函数y＝
的图象与直线y＝﹣x+m（m＞0）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为 3
．
【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝﹣x+m，即可求解．
【解答】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，
设点M是AB的中点，
由
整理得：x2﹣mx+6＝0，
由题意可得x2﹣mx+6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，
则x1+x2＝m，
则y1+y2＝﹣x1+m﹣x2+m＝m，
则点M的坐标为（
m，
m），
设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，
对于y＝﹣x+m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），
则点HG中点的坐标为（
m，
m），
即点M也为GH的中点，
故AH＝BG，
∵AR∥x轴，
∴∠HAR＝∠BGF，
∵∠HRA＝∠BFG＝90°，
∴△HRA≌△BFG（AAS），
∴AR＝OC＝FG，
∴S△HRA＝S△BFG，
∵S△AEO+S△OCE+S△OCE+S四边形ECFB＝
|k|+
|k|＝6，
而阴影部分的面积＝S△AEO+S四边形EBFC+S△BFG＝6，
∴S△BFG＝2S△OEC，
即
×CO•EC＝2×BF•FG，
而OC＝FG，
∴EC＝
BF，
即EC是△OBF的中位线，
故设点A的坐标为（t，
），则点B（2t，
），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得
（不合题意的值已舍去），
故答案为：3
．
【点评】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系．
三．解答题（共25小题）
36．（镇海区期末）计算：
（1）
×
；
（2）已知|
﹣a|+
＝0，求a2﹣2
+2+b2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据|
﹣a|+
＝0，可以得到a、b的值，然后将所求式子变形，再将a、b的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1）
×
＝4
÷
﹣
+2
＝4﹣
+2
＝4+
；
（2）∵|
﹣a|+
＝0，
∴
﹣a＝0，b﹣2＝0，
∴a＝
，b＝2，
∴a2﹣2
+2+b2
＝（a﹣
）2+b2
＝（
﹣
）2+22
＝02+4
＝0+4
＝4．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
37．（上城区期末）计算和解方程：
（1）计算：
﹣
+
；
（2）解方程：a（a﹣3）﹣a+3＝0．
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先把方程的左边分解因式，再得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可．
【解答】解：（1）原式＝3
﹣
+3
＝2
+3；
（2）a（a﹣3）﹣a+3＝0，
a（a﹣3）﹣（a﹣3）＝0，
（a﹣3）（a﹣1）＝0，
a﹣3＝0或a﹣1＝0，
解得：a1＝3，a2＝1．
【点评】本题考查了二次根式的加减和解一元二次方程，能正确根据二次根式的加减法则进行计算是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．
38．（江北区期末）按要求解方程：
-
（1）小聪同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
2x（x﹣1）＝3（x﹣1）
解：两边除以（x﹣1），得2x＝3①
系数化为1，得x＝1.5②
最早出现错误的步骤序号： ①
你的解答过程：
2x（x﹣1）＝3（x﹣1）
（2）小明同学解方程的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
（x﹣3）2＝9
解：两边开平方，得x﹣3＝3①
移项，合并同类项，得x＝6②
最早出现错误的步骤序号： ①
你的解答过程：
（x﹣3）2＝9
（3）解方程：
x2﹣4x﹣5＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）最早出现错误的步骤序号：①，
正确过程如下：∵2x（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝1.5；
故答案为：①；
（2）最早出现错误的步骤序号：①，
正确解答过程：
∵（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得x1＝6，x2＝0，
故答案为：①．
（3）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
39．（下城区期末）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【分析】（1）把x＝2代入已知方程，得到22+2a﹣2＝0，易得a的值；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝a2﹣4×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】（1）解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
40．（上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
【分析】（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x的值即可；
（2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝
，x1x2＝﹣
，再利用代数式表示得到原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）方程可化为x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，
两边开方得，x+6＝±3
，
故x1＝﹣6﹣3
，x2＝﹣6+3
；
（2）由题意得：x1+x2＝
，x1x2＝﹣
，
原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（
）2+2×
＝4
．
【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键．同时考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣
，x1•x2＝
．
41．（盐都区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）2，又知五月份的全天包车数为：64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量＝8800列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：25（1+x）2＝64，
解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）根据题意可得：（120﹣a）（64+1.6a）＝8800，
化简得：a2﹣80a+700＝0，
解得：a1＝10，a2＝70．
答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
42．（奉化区校级期末）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．
（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为52m．
①设AB的长为xm，用含x的代数式表示BC的长；
②若建成的饲养室总占地面积为240m2时，求AB的长；
（2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡．
【分析】（1）①根据BC＝建筑材料可建围墙（不包括门）的总长﹣3AB+2m即可求解；
②根据建成的饲养室总占地面积为240m2，列出方程解答即可；
（2）设每天传染中平均一只鸡传染了x只鸡，那么经过第一天传染后有x只鸡被感染，那么经过两天传染后有x（x+1）+x+1只鸡感染，又知经过两天传染共有64只鸡被感染，以经过两轮传染后被传染鸡的只数相等的等量关系，列出方程求解．
【解答】解：（1）①BC＝52﹣3x+2＝54﹣3x；
②依题意有x（54﹣3x）＝240，
解得x1＝10，x2＝8．
故AB的长是10m或8m．
（2）设每天传染中平均一只鸡传染了x只鸡，依题意有
x（x+1）+x+1＝64，
即：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意舍去）．
故每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键．（2）应注意是经过两轮传染后感染的总只数，而不仅仅只是第二轮被传染的只数．
43．（东阳市期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，
探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 8 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 13 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+5的最小值为 4 ，这时相应的x＝ ﹣1 ．
根据上述探究，请解答：
（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．
（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．
【分析】探究一：把x＝1和x＝2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式x2+2x+5配方后得：（x+1）2+4，可得结论；
（1）将代数式﹣x2﹣8x+17配方后可得结论；
（2）存在A＝B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．
【解答】解：探究一：
当x＝1时，x2+2x+5＝12+2+5＝8；
若x＝2，x2+2x+5＝22+2×2+5＝13；
故答案为：8，13；
探究二：
x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4，
∵（x+1）2是非负数，
∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x＝﹣1．
故答案为：4，﹣1；
（1）∵﹣x2﹣8x+17＝﹣（x+4）2+33，
∴当x＝﹣4时，代数式﹣x2﹣8x+17有最大值是33；
（2）∵A＝﹣x2﹣8x+17，B＝9y2+12y+37，
当A＝B时，则B﹣A＝0，
∴（9y2+12y+37）﹣（﹣x2﹣8x+17）＝0，
9y2+12y+4+x2+8x+16＝0，
（3y+2）2+（x+4）2＝0，
∴3y+2＝0，x+4＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣
，
∴x•y＝﹣4×（﹣
）＝
．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
44．（西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中矩形OABC的长和宽分别为4和2，反比例函数y＝
的图象过矩形对角线的交点D．
（1）求k的值；
（2）求△OAD的面积．
【分析】（1）由长和宽分别为4和2求出点D的坐标，得到k的值；
（2）由三角形的面积公式求△OAD的面积．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的长为4，宽为2，
∴D（2，1），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×1＝2，
（2）∵点D（2，1），OA＝2，
∴S△OAD＝
×2×2＝2．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、矩形的对角线互相平分、三角形的面积．突破点是由矩形的长和宽求出点D的坐标．
45．（丽水期末）如图，已知直线OA与反比例函数y＝
（x＞0），y＝
（x＞0）的图象分别交于点A，B，点A的坐标为（1，4），且点B是线段OA的中点．
（1）求k1，k2的值；
（2）已知反比例函数y＝
的图象上C点的横坐标为2，连结OC并延长交反比例函数y＝
的图象于点D，连结AD，BC，试判断AD与BC的数量关系和位置关系，请说明理由．
【分析】（1）先求B的坐标，再求k1，k2的值．
（2）求出C，D的坐标，再判断AD，BC的关系
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝
得：k1＝1×4＝4．
∵B是OA的中点．
∴B（
，2）．
将B（
，2）代入y＝
得：k2＝1．
∴k1＝4，k2＝1．
（2）BC＝
AD，BC∥AD，理由如下：
当x＝2时，y＝
＝
．
∴C（2，
）．
∴直线OC：y＝
x．
由
x＝
得x²＝16．
∴x＝±4．
∵x＞0．
∴x＝4，y＝1．
∴D（4，1）．
∵C（2，
）．
∴C是线段OD的中点．
∵B是OA的中点．
∴BC是△OAD的中位线．
∴BC＝
AD，BC∥AD．
【点评】本题考查反比例函数与直线的交点，中点坐标公式，中位线定理，通过坐标的关系去判断线段的关系是求解本题的关键．
46．（定海区校级模拟）为了节能减排，某公司从2018年开始投入技术改进资金，经技术改进后产品的成本不断降低，具体数据如表：
-
年度
2018
2019
2020
2021
投入技术改进资金x万元
2.5
3
4
4.5
产品成本y万元
14.4
12
9
8
（1）分析表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，求出y与x的函数关系式，并说明理由；
（2）若2022年公司打算投入技术改进资金5万元，预计2022年产品成本比2021年降低多少万元？
（3）若2023年公司打算把投入技术改进资金x和产品成本y之和控制在12万元，请分别求出投入技术改进资金和产品成本．
【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答案；
（2）利用所求函数解析式进而利用x＝6时求出y的值即可得出答案；
（3）结合（1）的关系式列方程组解答即可．
【解答】解：（1）根据已知数据可得：xy＝36，
∴y与x的函数关系式是：y＝
；
（2）当x＝5时，y＝
＝7.2，
则8﹣7.2＝0.8（万元），
答：预计2022年产品成本比2021年降低0.8万元；
（3）由题意，
得
，
解得
，
答：投入技术改进资金为6万元，产品成本为6万元．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
47．（衢州期末）如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y＝
的图象上．
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将▱ABCD向上平移得到▱EFGH，使点F在反比例函数y＝
的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．
【分析】（1）由点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），得AB＝4，DO＝3，CD＝AB＝4，即可求解点C坐标（﹣4，3），得反比例函数的表达式为：y＝﹣
；
（2）▱ABCD向上平移得到▱EFGH，得点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是﹣6，由点F在反比例函数y＝
的图象上，得点F的坐标为（﹣6，2），BF＝2，AE＝2，HD＝2，可得点M的纵坐标HO＝5，即可求解点M的坐标为（﹣
，5）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），
∴AB＝4，DO＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴点C坐标为（﹣4，3），
∵点C在反比例函数y＝
的图象上．
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣
；
（2）∵▱ABCD向上平移得到▱EFGH，
∴点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是﹣6，
∵点F在反比例函数y＝
的图象上，
∴点F的坐标为（﹣6，2），
∴BF＝2，
∴AE＝2，HD＝2，
∴点M的纵坐标HO＝5，
点M的横坐标为﹣
，
∴点M的坐标为（﹣
，5）．
【点评】本题考查了反比例函数关系式求法，图象上点的坐标特征，平行四边形平移特征，解题关键是理解对应点平移的距离相等．
48．（奉化区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒
个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据题意用t表示出CQ，AP，AD的长，再根据勾股定理得出PD的长，由S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD即可得出t的值；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝
t，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．
又∵PD⊥AC，
∴PD＝
＝
t．
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD，
∴24﹣[
×2t×（6﹣t）+
t×
t]＝12，（t﹣9）2＝45，解得t＝9±3
，
t＝9+3
（不合题意，舍去），
∴当t＝9﹣3
时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
（2）存在，t＝2.4．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：
t＝8﹣2t，
解得t＝2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t＝2.4．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对边平行且相等是解答此题的关键．
49．（下城区期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．
50．（拱墅区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝
AC＝2，再由勾股定理求出OB＝
，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝
＝
＝4，
∴OA＝
AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝
＝
＝
，
∵∠BAO＝90°，E是OB的中点，
∴AE＝
OB＝
．
【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
51．（东阳市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BECO是平行四边形．
（2）若OB⊥AC，OF＝4，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形ABCD得OB＝OD，由平行四边形DOEC得EC∥OD，EC＝OD，进而证明OB∥EC，OB＝EC，即可得出结论；
（2）先证明平行四边形ABCD是菱形，再证明平行四边形BECO是矩形，求得BC＝8，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴OD∥EC，OD＝EC，
∴EC∥OB，EC＝OB，
∴四边形BECO为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
由（1）得：四边形BECO为平行四边形，
∴EF＝OF＝4，
∵OB⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO为矩形，
∴BC＝OE＝2OF，
∵OF＝4，
∴BC＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝32．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．
52．（下城区期末）圆圆同学前十次数学测试的成绩（单位：分）分别是90，95，95，100，100，100，105，105，105，105．
（1）圆圆下次测试的成绩需要超过多少分，才能使这十一次测试的平均分超过100分？
（2）点点同学对圆圆说：“不论你下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．”点点的说法正确吗？说明理由．
【分析】（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，根据“这十一次测试的平均分超过100分”列出
×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，解之即可；
（2）分圆圆的分数小于100分或大于100分和圆圆的分数等于100分，根据中位数的概念判断即可．
【解答】解：（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，
根据题意，得：
×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，
解得x＞100，
所以圆圆下次测试的成绩需要超过100分，才能使这十一次测试的平均分超过100分．
（2）点点的说法正确，
若圆圆的分数小于100分或大于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
若圆圆的分数等于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
所以不论圆圆下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的定义，并根据算术平均数列出关于x的不等式．
53．（永嘉县校级期末）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩得分进行评价，结果如演讲答辩得分表，另全班50位同学则参与民主测评进行投票，结果如图．
-
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分．
（1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分；
（2）求甲、乙两位选手各自民主测评的得分；
（3）若演讲答辩得分和民主测评得分按2：3的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？
【分析】（1）演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法计算即可．
（2）根据民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分计算即可．
（3）利用加权平均数公式计算即可判定．
【解答】解：（1）甲选手演讲答辩的得分＝
（90+92+94）＝92（分）
乙选手演讲答辩的得分＝
（89+87+91）＝89（分）．
（2）甲选手民主测评的得分＝40×2+7＝87（分）
乙选手民主测评的得分＝42×2+4＝88（分）．
（3）甲的综合得分＝
＝89
乙的综合得分＝
＝88.4（分），
∵89＞88.4，
∴选甲当班长
【点评】本题考查加权平均数，平均数等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
54．（嘉兴期末）在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分．本次比赛设置两个奖项：A，B等级依次设为金奖、银奖．现将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班竞赛成绩的众数是 90 分，二班竞赛成绩的中位数是 80 分．
（2）求八年级一班的获奖率．
（3）你认为哪个班级的竞赛成绩更好，请说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）用获奖的人数除以被调查的总人数即可；
（3）先计算出八年级一、二班的平均成绩及一班成绩的中位数，再进一步比较即可得出答案（答案不唯一，有合理的数据支撑即可）．
【解答】解：（1）∵一班90出现的次数最多，出现了12次，
∴一班的众数是90分；
根据题意得：一班的总人数是6+12+2+5＝25（人），
则二班的总人数是25人；
∵A、B级人数为25×（44%+4%）＝12人，共有25人，中位数是第13个数，
∴二班的中位数是80分；
故答案为：90、80；
（2）八年级一班的获奖率为
×100%＝72%；
（3）八年级一班成绩的平均数为
＝87.6（分），
八年级二班成绩的平均数为100×44%+90×4%+80×36%+70×16%＝87.6（分），
一班成绩的中位数为90分，二班成绩的中位数为80分，
从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看（1）班比（2）班的成绩好；所以（1）班成绩好．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
55．（上城区校级期末）我市某中学八年级举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的5名选手的比赛成绩如图所示：
（1）根据图，完成表格：
-
中位数（分）
众数（分）
平均数（分）
八年级（1）班
75
75
75
八年级（2）班
70
90
75
（2）请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
（3）如图要在两个队中选择一队参加学校的比赛，你认为选择哪个队较好，为什么？
【分析】（1）根据条形统计图找出给出的数据，把这组数据从小到大排列，找出最中间的一个数（或中间两个数的平均数）就是中位数，再根据众数定义找出众数，根据求平均数公式求出平均数即可；
（2）根据方差公式求出方差，再得出答案即可；
（3）根据方差和平均数比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有5个人，八（1）班的成绩是75，65，70，75，90，
∴把这组数据从小到大排列为65，70，75，75，90，
∴这组数据的中位数是75，平均数是（75+65+70+75+90）÷5＝75，
∵八（2）班的成绩是60，90，90，65，70，
∴把这组数据从小到大排列为60，65，70，90，90，
∴这组数据的众数是90，
故答案为：75，75，90；
（2）八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐，
理由是：
八（1）班的成绩是方差＝
×[（75﹣75）2+（65﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（90﹣75）2]＝70，
八（2）班的成绩是方差＝
×[（60﹣75）2+（90﹣75）2+（90﹣75）2+（65﹣75）2+（70﹣75）2]＝160，
∵两个班的平均数相同，八（1）班的方差小，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐；
（3）选八（1）班，理由是：
八（1）班的方差小，比较整齐．
【点评】本题考查了平均数、中位数、方差、众数等知识点，注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，数据越稳定．
56．（金寨县期末）为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为 60 元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为 50 元．
（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游．
【分析】（1）根据收费标准解答；
（2）设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，利用数量＝总价÷单价结合人数为整数可得出20＜x≤24，由总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）由标准一知，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
由标准二知，60﹣（25﹣20）×2＝50（元）．
故答案是：60；50；
（2）设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，
∵1232÷60＝20
（人），1232÷50＝24
，
∴20＜x≤24．
依题意，得：x[60﹣2（x﹣20）]＝1232，
整理，得：x2﹣50x+616＝0，
解得：x1＝22，x2＝28（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有22名员工去某景点夜游．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
57．（高明区校级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800，
解得：y＝2（舍去）或y＝8，
所以40﹣8＝32（元）．
答：该商品在应定价为32元．
【点评】考查一元二次方程的应用．求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
58．（金东区期末）在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，且A（﹣1，0），B（0，﹣
），C（3，0）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若反比例函数y＝
的图象与线段BC交于点E，F，且BF＝EF．
①求点F的横坐标；
②求k值．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断出∠ABD＝90°，即可得出结论；
（2）①先求出直线BC的解析式为y＝
x﹣
，过点E作EF⊥x轴于N，过F作FM⊥x轴于M进而判断出ON＝2OM，设点F（m，
m﹣
），则E（2m，
m﹣
），将点E，F的坐标代入反比例函数y＝
的图象上，即可求出m，k；
②由①知，k＝﹣
．
【解答】（1）证明：∵A（﹣1，0），B（0，﹣
），C（3，0），
∴OA＝1，OB＝
，OC＝3，
∴AB2＝OA2+OB2＝4，BC2＝OB2+OC2＝12，AC2＝（OA+OC）2＝16，
∴AB2+BC2＝4+12＝16＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）①∵B（0，﹣
），C（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝
x﹣
，
如图，过点E作EF⊥x轴于N，过F作FM⊥x轴于M，
∴NE∥MF∥OB，
∴
，
∵BF＝EF，
∴MN＝OM，
∴ON＝2OM，
∵点E，F在线段BC上，
∴设点F（m，
m﹣
），则E（2m，
m﹣
），
∵点E，F在反比例函数y＝
的图象上，
∴m（
m﹣
）＝2m（
m﹣
）＝k，
∴m＝1，k＝﹣
，
∴点F的横坐标为1；
②由①知，k＝﹣
．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的判定，勾股定理的逆定理，构造出平行线得出ON＝2OM是解本题的关键．
59．（嘉兴期末）如图1，在直角坐标系xOy中，点P（2n，n）（n＞0）在函数y＝
（x＞0）图象上，点B（0，b）在y轴的正半轴上，PA⊥x轴于点A．已知△PAB的面积为4．
（1）求点P的坐标与k的值．
（2）如图2，设点C是线段AB的中点，点D在函数y＝
（x＞0）图象上，当四边形BCPD是平行四边形时，求点D的坐标．
（3）如图3，设点C在直线AB上，点D在函数y＝
（x＞0）图象上，若四边形BCPD是平行四边形，设该四边形BCPD的面积为S1，△APC的面积为S2，求S1与S2的数量关系式．
【分析】（1）根据S△PAB＝
OA•PA，列方程求解即可得出答案；
（2）根据平行四边形性质和平移规律可得出D（2，
+2），由点D在函数y＝
图象上，建立方程求解即可；
（3）连接BP，运用平行四边形性质可得S△BCP＝
S四边形BCPD＝
S1，再利用S△BCP+S△ACP＝S△BAP，利用三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵PA⊥x轴于点A．P（2n，n）（n＞0），
∴PA＝n，OA＝2n，
∴S△PAB＝
OA•PA＝
×2n×n＝n2，
∵△PAB的面积为4，
∴n2＝4，
∵n＞0，
∴n＝2，
∴P（4，2），
∴k＝4×2＝8；
（2）∵A（4，0），B（0，b），点C是线段AB的中点，
∴C（2，
），
∵四边形BCPD是平行四边形，
∴BC∥DP，BC＝DP，
根据平移规律可得：D（2，
+2），
∵点D在函数y＝
图象上，
∴2×（
+2）＝8，
解得：b＝4，
∴D（2，4）；
（3）如图3，当点C在线段AB上时，
∵四边形BCPD是平行四边形，
∴PD∥AB，PD＝BC，BD∥AC，BD＝AC，
连接BP，
∴S△BCP＝
S四边形BCPD＝
S1，
∵S△BCP+S△ACP＝S△BAP＝
AP•OA＝
×2×4＝4，
∴
S1+S2＝4．
如图4，当点C在AB延长线上时，
连接BP，
∵四边形BCPD是平行四边形，
则S△BCP＝
S四边形BCPD＝
S1，
S△ACP﹣S△BCP＝S△BAP＝
AP•OA＝
×2×4＝4，
∴S2﹣
S1＝4．
如图5，当点C在BA延长线上时，
∵四边形BCPD是平行四边形，
∴xC﹣xP＝xB﹣xD，
∴点D在第二象限，不成立；
综上所述，
S1+S2＝4或S2﹣
S1＝4．
【点评】本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图象交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数性质．
60．（永嘉县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝
BG＝2cm．
答：EF的长为2cm，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF＝CF是关键．