【324282】2024八年级数学下册 专题15 矩形的判定与性质（含解析）（新版）浙教版

专题15 矩形的判定和性质

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（抚远期末）如图所示， 是矩形 的对角线 的中点， 为 的中点．若 ， ，则 的周长为（　　）

A．10 B． C． D．14

【答案】C

【规范解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，

∴AB=CD=6，AD=BC=8， ， ，

在Rt△ABE中， ，

在Rt△ABC中， ，

∴ ，

则△BOE的周长为： ，

故答案为：C．

【思路点拨】根据矩形的性质和三角形中位线的性质可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的边长，最后求得△BOE的周长.

2．（2分）（涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【规范解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∵ ，

∴AO=DO=

∵∠AOD=∠BOC=120°

∴∠OAD=30°

∵∠OPA=90°

∴OP=

故答案为：A.

【思路点拨】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO= ，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP= .

3．（2分）（虎林期末）如图，矩形 中 把矩形沿直线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 ．若 ，则 的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【规范解答】解：解： ，

，又 ，

，

，

，

， ，

，

，

故答案为：C．

【思路点拨】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得 ，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.

4．（2分）（元阳期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在AB延长线上，且 ，连接DE，则DE的长为（　　）

A．6 B． C． D．8

【答案】A

【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵ ，

∴∠ACB=30°，

∵

∴

在Rt△ABC中，

∴AD=BC=3，

∵

∴

在Rt△DAE中，DE=

故答案为：A

【思路点拨】先求出AD和AE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可。

5．（2分）（钢城期末）在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点B落在点E处，线段 交 于定O，过O作 于点G， 于点H，则 的值为（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【规范解答】解：∵将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，

∴∠ACB＝∠ACE，∠E＝∠B＝90°，AE＝AB＝4，

∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∴∠ACE＝∠DAC，

∴OA＝OC，

设OA＝OC＝x，则OE＝8−x，

在Rt△AOE中，AE²＋OE²＝OA²，

∴4²＋（8−x）²＝x²，

解得x＝5，

∴OA＝OC＝5，

∵OG⊥AC，

∴AG＝CG＝ AC，

而AC＝ ，

∴AG＝CG＝2 ，

∴OG＝ ，

∵AG＝CG， ，

∴GH∥AB，

∴GH＝ AB＝2，

∴ ，

故答案为：B．

【思路点拨】设OA＝OC＝x，则OE＝8−x，利用勾股定理可得4²＋（8−x）²＝x²，求出x的值，再利用勾股定理求出AC和OG的长，最后利用中位线的性质可得GH＝ AB＝2，从而可得到 。

6．（2分）（环翠期末）如图，在矩形 中，点E是 的中点， 的平分线交 于点F将 沿 折叠，点D恰好落在 上M点处，延长 交于点N，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② 是等边三角形；③ ；④ ．其中，正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

【答案】B

【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BCD＝90°，

由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF＝MF，

∴DF＝CF，

在△DFE与△CFN中，

∴△DFE≌△CFN，

∴EF＝FN，

∴△EBN为等腰三角形，

无法确定△EBN为等边三角形，故②不符合题意；

由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，

∴BF垂直平分EN，故①符合题意；

∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，

∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，

∴∠EFM＝∠EBF，

∵∠DFE＝∠EFM，

∴∠DFE＝∠FBE，

∴ ；故③符合题意；

∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，

∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，

∴BE＝3EM，

∴S_△BEF＝3S_△EMF＝3S_△DEF，故④符合题意．

综上所述：①③④都符合题意，

故答案为：B．

【思路点拨】由折叠的性质得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性质得出BF垂直平分EN，由两组角对应相等的两个三角形相似，可求 ，由AAS证出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，则S_△BEF＝3S_△EMF＝3S_△DEF，即可得出结论。

7．（2分）（内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【规范解答】解：连接CM，如图所示：

∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，

∴∠CPM＝∠CQM＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，

∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，

∴四边形PCQM是矩形，

∴PQ＝CM，

∴当CM最小时，PQ最小，

∵点M在BD上运动，

∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，

由勾股定理得： ，

∵ ，

∴此时 ，

∴PQ的最小值为 ，．

故答案为：A．

【思路点拨】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用 求出CM值即可.

8．（2分）（南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【规范解答】解：连接CM、DM，

∵矩形ABCD

∴ ，

∵ ， M ， N 分别是边AB ， CD的中点，

∴

故①正确；

∵

∴四边形AMCN是平行四边形

∴AN∥CM

∴

∵

∴CM垂直平分PB

∴BC=PC

∴ （SSS）

∴

即

故②正确；

∵ ， ，

∴ （HL）

∴

故③正确；

取CQ中点E，连接EN

∵N是CD中点

∴EN是△CDQ的中位线

∴

∵

∴

∴ ，即

故④正确；

综上所述，正确的是①②③④

故答案为：D．

【思路点拨】连接CM、DM，由矩形的性质可得AB=CD，根据线段的中点及直角三角形斜边中线的性质可得 ，故①正确；可证四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥MC，根据SSS证明 ，可得 ，故②正确；根据HL可证明 ，可得PQ=AQ，故③正确；取CQ中点E，连接EN，可得EN是△CDQ的中位线，可得DQ=2EN，根据大角对大边进行判断即可.

9．（2分）（广安期末）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．当x＝2时，y＝5 B．当y＝5时，x＝2

C．当x＝6时，y＝10 D．矩形MNPQ的周长是18

【答案】B

【规范解答】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长， ， ，

A、 时，△MNR的面积＝ ，正确，不符合题意；

B、 时， 高 ，则高 ，点R在PN或QM上，距离QP有2个单位，对应的x值是2或11，错误，符合题意；

C、 时，点R在QP上，△MNR的面积＝ ，正确，不符合题意；

D、矩形周长为 ，正确，不符合题意.

故答案为：B．

【思路点拨】由图2知 ， ，然后结合图象及三角形的面积公式逐项计算，再判断即可.

10．（2分）（慈溪期末）如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【规范解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，

∴∠BFE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠FBC=∠ABD=45°，

∴BF=EF，

在△BFG和△EFP中，

，

∴△BFG≌△EFP（SAS），

∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，

∵∠ABD=∠FPG=45°，

∴AB∥PG，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，

∴∠APF=∠PEF=∠GBF，

∴AP∥BG，

∴四边形ABGP是平行四边形，

∴AP=BG，

∴AP=PE；

故①正确；

如图2，连接CG，

由①知：PG∥AB，PG=AB，

∵AB=CD，AB∥CD，

∴PG∥CD，PG=CD，

∴四边形DCGP是平行四边形，

∴CG=PD，CG∥PD，

∵PD⊥EF，

∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，

∵∠CEG=45°，

∴CE= CG= PD；

故③正确；

如图3，连接AC交BD于O，

∠CGF=∠GFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，BD=

∴∠COF=90°，

∴四边形OCGF是矩形，

∴OC=FG，BD=2OC=2FG，

△BFG≌△EFP，

，

，

故②正确；

④ ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即 .

故④正确.

故答案为：D.

【思路点拨】在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，根据正方形的性质得∠FBC=∠ABD=45°，则BF=EF，证△BFG≌△EFP，得BG=PE，∠PEF=∠GBF，易得四边形ABGP是平行四边形，则AP=BG，据此判断①；连接CG，易得四边形DCGP是平行四边形，则CG=PD，CG∥PD，根据三角函数的概念得CE= CG，据此判断③；连接AC交BD于O，根据正方形性质得AC⊥BD，BD= AB= PG，则四边形OCGF是矩形，OC=FG，BD=2OC=2FG，根据全等三角形的性质可得PF=FG，据此判断②；根据等腰三角形的性质结合内角和定理可得∠BPE=∠BEP=67.5°，∠FPG=∠FGP=45°，则∠GPE=22.5°，推出PG=GE，则FG= GE，BE=(1+ )FG，DF=( -1)PF，据此判断④.

阅卷人		二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分

11．（2分）（无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作 ，交AD于点E，过点E作 ，垂足为F， ， ， ，则矩形ABCD的面积为　 　．

【答案】

【规范解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴OD=OB=OA=OC= ，

∵ ，

∴ ，

，

∴ ，

∵四边形ABCD为矩形，

∴矩形ABCD的面积= ，

故答案为：

【思路点拨】先利用割补法求出 ，再利用矩形的性质可得矩形ABCD的面积= 。

12．（2分）（环翠期末）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点 恰好落在边OC上，则OE的长为　 　．

【答案】

【规范解答】解：连接A′D，AD，

∵四边形OABC是矩形，

∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，

∵CD=3DB，

∴CD=3，BD=1，

∴CD=AB，

∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，

∴A′D=AD，A′E=AE，

在Rt△A′CD与Rt△DBA中， ，

∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），

∴A′C=BD=1，

∴A′O=2，

∵A′O²+OE²=A′E²，

∴2²+OE²=（4﹣OE）²，

∴OE= ，
故答案为： .

【思路点拨】连接A′D，AD，先利用“HL”证明Rt△A′CD≌Rt△DBA可得A′C=BD=1，求出A′O=2，再利用勾股定理可得2²+OE²=（4﹣OE）²，最后求出OE的长即可。

13．（2分）（钢城期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是不与A，D重合的两点，过点P分别作 和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值是　 　．

【答案】

【规范解答】解：如图所示，连接OP，

∵AB＝2，AD＝4，

由勾股定理可得BD＝ ，S△ABD＝ AB•AD＝ ×2×4＝4，

在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝ BD＝ ，

∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ S△ABD，

∴ OA•PE＋ OD•PF＝ ×4＝2，即 ，

∴PE＋PF＝ ，

故答案为： ．

【思路点拨】连接OP，利用割补法可得S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ S△ABD，再将数据代入可得 OA•PE＋ OD•PF＝ ×4＝2，即 ，求出PE＋PF＝ 即可。

14．（2分）（广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于　 　．

【答案】4.8

【规范解答】解：连接 ，

四边形 是菱形，

四边形 为矩形，

当 时， 有最小值，

此时

的最小值为 ，

故答案为：4.8．

【思路点拨】利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。

15．（2分）（门头沟期末）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，且 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿线段 向点 运动，同时动点 从点 出发，以同样每秒 个单位的速度沿折线 向点 运动，当 ， 有一点到达终点时，点 ， 同时停止运动．设点 ， 运动时间为 秒，在运动过程中，如果 ，那么 　 　秒．

【答案】 或 或6或3

【规范解答】解：当 在 边上，如图，由题意得： ， ， ，

，

，

；

当 在 上时，如图，由题意得： ， ，

，

，

；

当 ， 有一点到达终点时，点 ， 同时停止运动，

，

和 符合题意．

故答案为： 或 ．

【思路点拨】分两种情况：①当 在 边上，②当 在 上时，再分别画出图象并求解即可。

16．（2分）（建昌期末）如图，在矩形 中， 为 中点， 经过点 且 ，交 于点 ，交 于点 ，点 为 的中点， ．则以下结论中：① ；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确结论的序号为　 　．

【答案】①③④

【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ ，

点 是 中点，

，

，

，

，

，

在 中，点G是 中点，且 ，

，

，

，

，

设 ，则 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故①符合题意；

，由题意知，点 与点 不重合，故②不符合题意；

，

，

，

∴△AEF是等边三角形，故③符合题意；

，

，

，

∵ ，

，

，故④符合题意；

故答案为：①③④．

【思路点拨】利用矩形的性质、相似三角形的判定及性质和等边三角形的判定方法逐项判断即可。

17．（2分）（福州期末）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 是边 上的一个动点，连接 ，将四边形 沿 折叠，得到四边形 ，连接 ，则 长度的最小值是　 　．

【答案】

【规范解答】解：如图，连接EO、PO、OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠OAP=90°，

∵点O，P 分别是边AB ，AD 的中点，

∴OB=AO=4，AP=DP=6，

在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，

∴OC= ，

在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，

∴OP= ，

由折叠可得OE=OC= ，

∵PE≥OE-OP，

∴PE最小值=OE-OP= ，

故答案为： ．

【思路点拨】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.

18．（2分）（越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　 　．

【答案】12

【规范解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，

∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y= （k＞0，x＞0）图象上，
∴S_△AOG=S_△FOH= ，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S_△AOE=S_△ABE=18，
∴S_△AOG= S_△AOE=6，
∴ =6，
∴k=12.
故答案为：12.
【思路点拨】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S_△AOG=S_△FOH= ，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S_△AOE=S_△ABE=18，进而可得S_△AOG= S_△AOE=6，则 =6，即可求出k值.

19．（2分）（禹州期末）如图，在正方形ABCD中， ，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作 于点F， 于点G，连接DE，FG，下列结论：① ；② ；③ ；④FG的最小值为2 ，其中正确的结论是　 　.（只填序号）

【答案】①②④

【规范解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形EFBG为矩形，

∴ ， ，

∵四边形ABCD为正方形，

∴ ， ，

在 和 中，

∴ （SAS），

∴ ，

∴ ，

即①正确；

延长DE，交FG于M，交FB于点H，

由（1）得， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴ ，

即②正确；

∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠ABC、∠EFB、∠EGB均为直角，
∴四边形EFBG为长方形，
在△BEF和△FGB中

∴△BEF≌△FGB（SSS）
∴∠BGF=∠FEB
假设∠BGF=∠ADE，则有∠FEB=∠ADE，
又∵EF∥AD，则B、E、D在同一条直线上，
而题干中E是AC上的动点，B、E、D并不一定共线，
故∠BGF不一定等于∠ADE.
故③错误；
∵E为对角线AC上的一个动点，

∴当 时，DE最小，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

由①知， ，

∴FG的最小值为 ，

即④正确，

综上，①②④正确，

故答案为：①②④.

【思路点拨】连接BE，交FG于点，易得四边形EFBG为矩形，得FG=BE， OB=OF=OE=OG，根据正方形的性质，得出 ， ，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得出DE=BE，则可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由(1)得出∠ABE=∠ADE，根据条件和角之间的关系求出DE⊥FG，即可判断②；先通过三角为直角判定四边形EFBG为长方形，再通过SSS判定△BEF≌△FGB，从而可得∠BGF=∠FEB，通过反证法推理即可判断③；根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理求出AC长，从而求出DE长，即可得FG的最小值，即可判断即④.

20．（2分）（长兴期末）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A' B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+ B'G的最小值　 　

【答案】

【规范解答】解：如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，

∵AB=CD=3，
∴BQ=1，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，A'M=2B'M，
∴Q和M关于EF对称，
∴QG=MG，
又∵G为BB'的中点，∠BCB'=90°，
∴GC=B'G，
∴MG+ B'G=QG+GC，
∴当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，
∴MG+ B'G的最小值为CQ的长，
在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，
∴CQ= = = .
故答案为： .
【思路点拨】如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，易得BQ=1，根据折叠的性质得Q和M关于EF对称，则QG=MG，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得GC=B'G，
从而得MG+ B'G=QG+GC，当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，MG+ B'G的最小值为CQ的长，最后在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，由勾股定理求得CQ的长即可求解.

阅卷人		三、解答题(共7题；共60分)
得分

21．（6分）（长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．

【答案】证明： ，AD⊥BC，

， ，

，

，

平分 ，

，

，

又 ，

四边形 是平行四边形，

，

四边形ADBE是矩形．

【思路点拨】先证明四边形 是平行四边形，再结合 ，即可得到四边形ADBE是矩形。

22．（7分）（南康期末）如图，在矩形 中，点E是 的中点， 交 于点F，点M在 上，连接 ，把 延 翻折．当点A的对应点 恰好落在 上时，求 的度数．

【答案】解：如图，连接 ，

∵点E是 的中点， 交 于点F，

∴ 垂直平分 ，

∴ ，

由翻折的性质可知 ，

∴ ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

在矩形 中， ，

∴ .

【思路点拨】连接 ，根据垂直平分线的性质可得 ，再证明 是等边三角形，可得 ，最后利用三角形的内角和求出 即可。

23．（10分）（2019八下·高要期中）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.

（1）（3分）求证：EO=FO；

（2）（3分）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；

（3）（4分）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）解：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．

如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE= ∠ACB，

同理，∠ACF= ∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（3）解：△ABC是直角三角形

∵四边形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．

【思路点拨】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．

24．（8分）（越城期末）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．

（1）（4分）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；

（2）（4分）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．

【答案】（1）解：如图所示，四边形PMQN即为所求.

（2）解：如图所示，线段PH即为边RQ上的高线.

【思路点拨】（1）如图1，将点P向右平移3个单位，得到点N，再把点Q向左平移3个单位，得到点M，再顺次连接P、M、Q、N，即得到平行四边形PMQN，且面积为9；

（2）如图2，连接以PR为边的矩形的对角线，交RQ于点H，由直角三角形性质及角的互余关系，即可得∠PHR=90°，即PH⊥RQ，因此线段PH为边RQ上的高线.

25．（9分）（顺平期末）如图，正方形 的周长是40．点P是正方形 对角线 上一动点，过P点分别作 、 的垂线，垂足分别为E，F．

（1）（2分）求证：四边形 是矩形．

（2）（3分）请你猜想 与 的数量关系，并给出证明．

（3）（4分）在P点运动过程中， 的长也随之变化，求 的最小值．

【答案】（1）证明：∵ ， ∴ 又∵ 是正方形∴ ∴四边形四边形 是矩形

（2）解： ，证明如下：连接 ，

∵四边形 为矩形，∴ ，又∵四边形 是正方形，P为 上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴ ，∴ ；

（3）解：由（2）得 ，则 的最小值，即 的最小值，当 时， 取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°， ，∵ ，∴ ∴ 的最小值是 ．

【思路点拨】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2） ，理由：连接 ， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得 ，则 的最小值，即 的最小值，当 时， 取得最小值，求出此时DP的长即得结论.

26．（10分）（环翠期末）如图，在矩形 中， ， 直角尺的直角顶点P在 上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边 交于点E．

（1）（3分）求证： ∽ ；

（2）（3分）当 时，求 的长；

（3）（4分）是否存在这样的点P，使 的周长等于 周长的2倍？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ，
，
又 ，
，
，
∽ ；

（2）解：在 中， ， ， ， ， ，由 ∽ 知： ，即 ；

（3）解：假设存在满足条件的点P，设 ，则 ， ∽ ，
根据 的周长等于 周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，
，
解得 ，
，故存在满足条件的P点， 的长为8．

【思路点拨】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）先求出AP的长，再利用 ，将数据代入可得 ，最后求出AE的长即可；
（3）设 ，则 ，利用相似三角形的性质可得 ，再求出x的值即可。

27．（10分）（鲅鱼圈期末）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝9，OC＝15．

（1）（3分）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在边AB上的点D处，求直线EC的解析式；

（2）（3分）如图2，在OA，OC边上选取适当的点M，N，将△MON沿MN折叠，使O点落在AB边上的点D'处，过点D'作D'G⊥CO，垂足为G，交MN于点T，连接OT，判断四边形OTD'M的形状，并说明理由；

（3）（4分）在（2）的条件下，若点T的坐标为（6， ），点P在直线MN上，坐标轴上是否存在点Q，使以M，D'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：在矩形ABCO中，有AB=OC，OA=BC，∠B=∠BAO=∠BCO=∠EOC=90°，∵OA=9，OC=15，∴AB=15，BC=9，C点坐标为（15，0），根据折叠的性质得：DC=OC，EO=ED，∴DC=15，∴在Rt△DBC中， ，∴AD=AB-DB=15-12=3，∵OA=9，EO=ED，∴AE=OA-EO=9-ED，∵在Rt△AED中， ，AD=3，∴ ，解得DE=5，∴EO=ED=5，∴E点坐标为（0，5），设EC的解析式为 ，将C点坐标为（15，0），E点坐标为（0，5）代入，得 ，解得 ，则EC的解析式为 ；

（2）解：四边形 是菱形，理由如下：∵ ，矩形ABCO中AO⊥OC，∴ ，即 ，∴ ，根据折叠的性质有 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，∵ ，∴平行四边形 是菱形；

（3）解：存在这样的Q点，∵在矩形ABCO中， ，∴四边形 也是矩形，∴ ， ，∵ ∴ ， ，

∴ ，∴菱形 的边长是 ，即 ，∴M点坐标为： ，

设直线MN的解析式为 ，点T在直线MN上，将 ， 代入，得 ，解得 ，则MN的解析式为 ；

∵P点在直线MN上，Q点在坐标轴上，∴设P点坐标为 ，

当Q点在横坐标轴上时，设Q点坐标为（a，0）即： ， ， ， ，四点可构成平行四边形，第一种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，∴根据平行四边形的对角线相互平分可知PM与 的中点重合，∴根据中点坐标公式有： ，解得 ，

∴此时Q点坐标为 ，第二种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有： ，

解得 ，

∴此时Q点坐标为 ，

第三种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有： ，解得 ，

∴此时Q点坐标为 ，当Q点在纵坐标轴上时，设Q点坐标为（0，a），

即： ， ， ， ，四点可构成平行四边形，第一种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，

∴根据平行四边形的对角线相互平分可知PM与 的中点重合，

∴根据中点坐标公式有： ，解得 ，

∴此时Q点坐标为 ，第二种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有： ，解得 ，∴此时Q点坐标为 ，第三种情况：当 为平行四边形的对角线时，则 为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有： ，解得 ，

∴此时Q点坐标为 ，综上所述：满足条件的Q点坐标为： 、 、 ．

【思路点拨】（1）利用勾股定理求出DB=12，待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（3）先求出 ， 再分类讨论，列方程求解即可。