专题13 中心对称与中心对称图形

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（本溪期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O， ， 过点O，且点E，H在边 上，点G，F在边 上，则阴影区域的面积与 的面积比值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解：∵ 是中心对称图形，

∴S△OEH= S△OFG，

∴S_阴影=S△OCD= ，

故答案为：C．

【思路点拨】 根据中心对称图形的定义可得S_△OEH= S_△OFG，再利用S_阴影=S_△OCD= 可得答案。

2．（2分）（苏州期中）图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（　　）

A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形

B．是中心对称图形但并不是轴对称图形

C．是轴对称图形但并不是中心对称图形

D．既是轴对称图形又是中心对称图形

【答案】B

【规范解答】解：该图案是中心对称图形但并不是轴对称图形.

故答案为：B.

【思路点拨】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

3．（2分）（漳浦期中）下列命题不正确的是 （　　）

A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等

B．两边分别相等的两个直角三角形全等

C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.

D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.

【答案】C

【规范解答】解：A、一个锐角和一条边分别相等再加上两个直角是相等角，用ASA或AAS可证明两三角形全等，故此选项正确，不符合题意；

B、若是一条直角边一条斜边分别相等，则用HL证明全等；若是两条直角边分别相等，则用SAS证明全等，因此两边分别相等的两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意；

C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故此选项错误，符合题意；

D、中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分，是中心对称图形的性质，故此选项正确，不符合题意.

故答案为：C.

【思路点拨】由直角三角形中两直角相等，加上一个锐角和一条边对应相等，符合ASA或AAS判定三角形全等，即可判断A选项；一直角边和一斜边对应相等，符合HL判定定理，两条直角边分别对应相等加直角对应相等，符合SAS判定全等，即可判断B选项；根据旋转前后图形形状和大小不变可知，对应线段相等但不一定平行，可判断C选项；根据中心对称图形的性质，对应点连成的线段都被对称中心平分，即可判断D选项.

4．（2分）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，则图中相等的线段有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

【答案】C

【规范解答】解：∵四边形ABCD为中心对称图形，对称中心为点O，
∴AE=FC，AB=CD，BF=ED，AD=BC，OE=OF.
故答案为：C.

【思路点拨】由条件得出四边形是平行四边形，O为对称中心，依此找出相等的线段即可.

5．（2分）（邛崃期末）下列图标中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【规范解答】解：A、 是中心对称图形，不符合题意；

B、 是中心对称图形，不符合题意；

C、 是中心对称图形，不符合题意；

D、 不是中心对称图形，符合题意.

故答案为：D.

【思路点拨】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

6．（2分）（衡阳期末）如图，点O为矩形 的对称中心，点 从点 出发沿 向点 运动到点 停止，延长 交 于点 ，则四边形 形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形

D．正方形→菱形→平行四边形→矩形

【答案】B

【规范解答】解：解：连接AC，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴AC经过点O，OA＝OC，

∵CD∥AB，

∴∠FCO＝∠EAO，

在△CFO和△AEO中，

，

∴△CFO≌△AEO（ASA），

∴CF＝AE，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.

故答案为：B.

【思路点拨】根据对称中心的定义、矩形的性质，平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定可得四边形AECF形状的变化情况．

7．（2分）（罗庄期末）如图，将长为 ，宽为 的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数 的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则 的值等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【规范解答】解：如图，设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，

可知A（2.5，3），B（1，1.5），

设直线AB的解析式为y=k′x+b，

则 ，解得： ，

∴直线AB的解析式为y=x+0.5，

当x=0，则y=0.5，当x=3，则y=3.5，

∴C（3，3.5），D（0，0.5），

取线段CD的中点E，则E（1.5，2），

∵CF∥OD，

∴∠EDO=∠ECF，

∵∠DEO=∠CEF，CE=DE，

∴△DEO≌△CEF（ASA），

∴S_△DEO=S_△CEF，

∴直线OE等分所组成的图形的面积，

把E（1.5，2）代入y=kx，解得：k= ，

故答案为：D．

【思路点拨】先求出直线AB的解析式为y=x+0.5，再求出△DEO≌△CEF，最后求解即可。

8．（2分）（金水期中）下列命题中，错误的是（　　）

A．三角形两边之和大于第三边

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

【答案】D

【规范解答】A. 三角形两边之和大于第三边，说法正确，故不符合题意；

B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等，说法正确，故不符合题意；

C. 三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分，说法正确，故不符合题意；

D. 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项说法错误，故符合题意；

故答案为：D.

【思路点拨】A、根据三角形三边关系判断即可；
B、根据角平分线的性质判断即可；
C、根据三角形中线的性质以及周长的概念判断即可；
D、根据轴对称图形、中心对称图形以及等边三角形的性质判断即可.

9．（2分）（河西期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点 ， ， ， 是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交

则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，

∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，

∴∠PAF=∠NAE，

∴△PAF≌△NAE，

∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，

而△NAP的面积是正方形的面积的 ，而正方形的面积为4，

∴四边形AENF的面积为1cm²，四块阴影面积的和为4cm²．

故答案为：C．

【思路点拨】利用正方形ABCD的性质，再证明△PAF≌△NAE，可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，所以△NAP的面积是正方形的面积的 ，而正方形的面积为4，再结合四边形AENF的面积为1cm²，可得四块阴影面积的和为4cm²．

10．（2分）（蓝田期中）如图，已知△ABC与△CDA关于点O中心对称，过点O任作直线分别交AD、BC于点M、N，下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤△AOM和△CON成中心对称.其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】D

【规范解答】解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形，

因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：

①点M和点N；B和D是关于中心O的对称点，正确；

②直线BD必经过点O，正确；

③四边形ABCD是中心对称图形，正确；

④四边形DMOC与四边形BNOA的面积必相等，正确；

⑤△AOM与△CON成中心对称，正确；

其中正确的个数为5个，

故答案为：D.

【思路点拨】由于△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，再根据平行四边形的判定得到四边形ABCD是平行四边形，进而得到点O就是▱ABCD的对称中心，根据题意逐一判断即可求解.

阅卷人		二、填空题(共8题；每空2分，共18分)
得分

11．（2分）（拱墅期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ， ，则 的长为　 　.

【答案】12

【规范解答】解： 在 中， ， ，

，

∵B与B'关于A中心对称，

.

故答案为：12.

【思路点拨】在直角三角形ABC中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AB=2AC，然后根据中心对称的性质得BB'=2AB可求解.

12．（2分）如图，已知□ABCD的面积为56，AC与BD相交于O点，则图中阴影部分的面积是　 　。

【答案】28

【规范解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为对称中心，
∴S_△AOM=S_△CON，S_△HOM=S_△FON，S_△BOH=S_△FOD，S_△AOG=S_△EOC，S_△GOD=S_△BOE，
∴S_阴影= S_四边形ABCD=28.
故答案为：28.

【思路点拨】由平行四边形的性质得出O为对称中心，再根据中心对称图形的特点得出有关三角形面积相等，则可解答.

13．（2分）（北仑期末）如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为　 　.

【答案】48

【规范解答】解：连接AC、BD，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝10，OB＝OD＝ BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，

∴OA＝ ，

∴AC＝2OA＝16，

∴菱形ABCD的面积＝ ＝ ×16×12＝96，

∵O是菱形两条对角线的交点，

∴阴影部分的面积＝ ×96＝48；

故答案为：48.

【思路点拨】连接AC、BD，由菱形的性质与勾股定理求出AC，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答.

14．（2分）（舞钢期末）如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是　 　.

【答案】

【规范解答】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，

∴DC=AC=1，DE=AB=2，

∴在Rt△EDA中，AE的长是：

.

故答案为： .

【思路点拨】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.

15．（2分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　 　 ．

【答案】（2，﹣3）

【规范解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．

故答案为：（2，﹣3）．

【思路点拨】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．

16．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M₁N₁P₁的顶点都在格点上，△MNP与△M₁N₁P₁是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为　 　 ．

【答案】（2，1）

【规范解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），

∴由图形可知M（3，0），M₁（1，2），N₁（2，2），P₁（3，1），

∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，

∴对称中心的坐标为（2，1），

故答案为：（2，1）．

【思路点拨】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．

17．（4分）点A（a﹣1，4）关于原点的对称点是点B（3，﹣2b﹣2），则a=　 　 ，b=　 　 ．

【答案】﹣2；1

【规范解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

∴a﹣1+3=0，4﹣2b﹣2=0，

即：a=﹣2且b=1，

故答案为：﹣2，1．

【思路点拨】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则b+3=0，4+a﹣1=0，从而得出a，b，推理得出结论．

18．（2分）如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为　 　 ．

【答案】4

【规范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，

∴AB=2AC=2，

根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4．

故答案为：4．

【思路点拨】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．

阅卷人		三、解答题(共9题；共62分)
得分

19．（6分）（法库期中） 在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（ 1 ）作 关于点O成中心对称的 ；

（ 2 ）将 向右平移 个单位，作出平移后的 ；

（ 3 ）直接写出 各顶点坐标．

【答案】解：⑴如图，△A₁B₁C₁即为所求；

⑵如图，△A₂B₂C₂即为所求；

⑶由图可知， 各顶点坐标分别为 ， ， ．

【思路点拨】（1）先找出点A、B、C关于点O的对应点，再连接即可；
（2）先根据平移的性质找出点A₁、B₁、C₁的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可。

20．（5分）（昌图期末）如图，将 置于平面直角坐标系中， ， ， ．

( 1 )将 向右平移6个单位长度得到 ，请画出 ；

( 2 )以点O为对称中心，画出与 成中心对称的 ；

( 3 )若将 绕某一点旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心的坐标．

【答案】解：⑴如图所示， 即为所求；

⑵如图所示， 即为所求；

⑶（-3，0）

【规范解答】解：连接B ，C ，交于一点即为旋转中心，∴旋转中心为（-3，0）．
【思路点拨】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称的性质找出点A₁、B₁、C₁的对应点，再连接即可；
（3）连接BB₂，CC₂，它们的交点即是旋转点。

21．（5分）（商河期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．

( 1 )将△ABC沿x轴方向向左平移5个单位，画出平移后得到的△A₁B₁C₁；直接写出点B₁的坐标；

( 2 )将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB₂C₂；直接写出点B₂的坐标；

( 3 )作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₃B₃C₃，并直接写出B₃的坐标．

【答案】解：⑴如图，△A₁B₁C₁为所作，点B₁的坐标为（－1，5）；故答案为：（－1，5）；

⑵如图，△AB₂C₂为所作，点B₂的坐标为（4，−2）；故答案为：（4，−2）；

⑶如图，△A₃B₃C₃为所作，点B₃的坐标为（−4，−4）；故答案为：（−4，−4）．

【思路点拨】（1）根据平移的特征找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点B₁的坐标；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点B₂的坐标；
（3）根据中心对称的特征找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点B₃的坐标即可。

22．（5分）（冠县期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为A（1，－4），B（5，－4），C（4，－1）．

( 1 )画出 关于原点O成中心对称的 ；

( 2 )画出 绕点O逆时针旋转90°所得到的 ，并写出 的坐标；

( 3 )将 先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，画出第二次平移后的 ，并写出 的坐标．

【答案】解：⑴如图，△A₁B₁C₁即为所求；

⑵如图，△A₂B₂C₂即为所求，C₂的坐标（﹣1，﹣4）；

⑶如图，△A₃B₃C₃即为所求，C₃的坐标（6，5）．

【思路点拨】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对称点，再连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A₁、B₁、C₁的对应点，再连接并直接写出C₂的坐标即可；
（3）根据平移的特征找出点A₂、B₂、C₂的对应点，再连接并直接写出点C₃的坐标即可。

23．（6分）如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题.

（1）（2分）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）.

（2）（4分）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：

①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；

②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【答案】（1）中心

（2）解： 如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；

图3既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【规范解答】解：（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形，

故答案为：中心；

【思路点拨】（1）把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可判断得出答案；
（2）①②考查的是利用对称变换设计图案，掌握轴对称图形、中心对称图形的概念是关键.

24．（10分）（浙江期末）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任一直线都将其分成全等的两个部分.

（1）（1分）如图1，直线m经过 ABCD对角线的交点O，则 　 　 (填“>”“＜”或“=”)；

（2）（4分）如图⒉，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点О且将整个图形分成面积相等的两部分的直线；

（3）（5分）八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作将整个图形分成面积相等的两部分的直线(用三种方法分割).

【答案】（1）=

（2）解：如图1所示.

（3）解：如图2所示.

【规范解答】解：(1)直线 经过 对角线的交点 ，

则 .
故答案为：=.

【思路点拨】(1)根据知识背景可知分得的两个四边形全等，则由全等的性质可知其面积也相等； (2) 根据(1)的结论，先找到两个矩形的中心，即矩形的对称中心，然后过中心作直线即可； (3) 根据(1)(2)的结论，先将整个图形分成两个矩形，分别找到中心，然后过中心作直线即可.

25．（9分）（金水期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，坐标分别为 ， ， .

（1）（3分）画出 关于x轴对称的 ；

（2）（3分）画出将 绕原点O逆时针旋转90°所得的 ；

（3）（3分） 与 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标.

【答案】（1）解： 的位置如图所示：

（2）解： 的位置如图所示：

（3）解：由图象可知， 与 成中心对称图形，对称中心为

【思路点拨】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A₁、B₁、C₁的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转的性质得到点A₂、B₂、C₂的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据中心对称图形的概念判断，然后由图形可得对称中心的坐标.

26．（6分）（萍乡期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为 ， ， ．

（1）（2分）先将 沿y轴正方向平移3个单位长度，再沿x轴负方向平移1个单位长度得到 ，画出 ，点 坐标是　 　；

（2）（2分）将 ，绕点 逆时针旋转90°，得到 ，画出 ，点 的坐标是　 　．

（3）（2分）我们发现点 ， 关于某点成中心对称，对称中心坐标是　 　．

【答案】（1）解：如图， 即为所求， 故答案为：(-2，1)

（2）解：如图， 即为所求，点 坐标为 故答案为：(-5，0)

（3）(-3，-1)

【规范解答】解：(3)∵ ， ，

∴ ， ，

∴对称中心坐标是 ，

故答案为：(-3，-1)．

【思路点拨】（1）根据平移的性质求点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质求解即可；
（3）先求出 ， ，再求解即可。

27．（10分）（）阅读下列材料，完成相应学习任务

旋转对称

把正n边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正n边形重合.我们说，正n边形关于其中心有 的旋转对称.一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称.图1就是具有旋转对称性质的一些图形.

任务：

（1）（2分）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称；

（2）（2分）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合；

（3）（4分）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形.

【答案】（1）60°；180°

（2）72°

（3）解：如图5所示，是中心对称图形.（答案不唯一）

【规范解答】解：（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；

故答案为：60°；180°；

（2）∵360°÷5＝72°，

∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合；

故答案为：72°；

【思路点拨】（1）利用360°除以6可得第一空的答案；根据中心对称图形的概念可得第二空的答案；
（2）利用360°除以5可得旋转的角度；
（3）将基本图形绕着网格的中心旋转90°、180°、270°即可.