专题6.37 反比例函数（中考真题专练）（培优篇）

一、单选题

1．（四川乐山·中考真题）如图，曲线C₂是双曲线C₁：y= （x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C₂上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　）

A． B．6 C．3 D．12

2．（广西·统考中考真题）如图，点 是直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于点 ．若 ，则 的值为（  ）

A． B． C． D．

3．（江苏常州·中考真题）如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行， ．若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是（）

A． B．4 C． D．6

4．（山东济宁·统考中考真题）如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到 ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

5．（广东深圳·统考中考真题）如图，A、B是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是(    )

① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

6．（江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交y轴于C，D两点，则 的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．（重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（   ）

A．16 B．20 C．32 D．40

8．（重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数 的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若 ，则k的值为（    ）

A． B． C．7 D．

9．（湖北鄂州·中考真题）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，且 ，直线 与双曲线 交于点 ，则 （n为正整数）的坐标是（    ）

A． B． C． D．

10．（重庆·中考真题）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数 的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．

下列结论：

①△OCN≌△OAM；

②ON=MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若∠MON=45⁰，MN=2，则点C的坐标为 ．

其中正确的个数是【   】

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．（江苏南通·统考中考真题）如图，过点C(3,4)的直线 交 轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线 过点B，将点A沿 轴正方向平移 个单位长度恰好落在该曲线上，则 的值为________．

12．（湖北孝感·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，点 在第三象限的双曲线 上，过点 作 轴交双曲线于点 ，连接 ，则 的面积为__________．

13．（四川阿坝·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且 的面积是 的面积的2倍，则点P的横坐标为________．

14．（浙江衢州·统考中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG= ，则k=_____．

15．（广东·统考中考真题）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____．

16．（四川眉山·统考中考真题）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 ，分别交 ， 于点 、 ．若四边形 的面积为12，则 的值为______．

17．（浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴， 轴于点 和点 ，分别交反比例函数 ， 的图象于点 和点 ，过点 作 轴于点 ，连结 . 若 的面积与 的面积相等，则 的值是_____.

18．（山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点 与 （a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C₁，C₂，点P为曲线C₁上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C₂于点A，作x轴的垂线交C₂于点B，则阴影部分的面积S_△AOB＝_______．（结果用a，b表示）

19．（浙江宁波·统考中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”．如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为_________．

三、解答题

20．（湖南株洲·中考真题）如图所示， 的顶点A在反比例函数 的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且 ．

（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；

（2）若 为等腰直角三角形， ，其面积小于3．

①求证： ；

②把 称为 ， 两点间的“ZJ距离”，记为 ，求 的值．

21．（湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像 与函数 的图像（记为 ）交于点A，过点A作 轴于点 ，且 ，点 在线段 上（不含端点），且 ，过点 作直线 轴，交 于点 ，交图像 于点 ．

（1）求 的值，并且用含 的式子表示点 的横坐标；

（2）连接 、 、 ，记 、 的面积分别为 、 ，设 ，求 的最大值．

22．（四川广元·统考中考真题）如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上存在一点C，使 为等腰三角形，求此时点C的坐标；

（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

23．（四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点， 垂直x轴于点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38．

(1)求反比例函数及一次函数的解析式；

(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和 面积的最小值．

24．（江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ．

(1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；

(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．

①求 、 的值；

②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标．

25．（山东济南·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；

(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．

①求△ABC的面积；

②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

参考答案

1．B

【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．

解：如图，将C₂及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C₃，直线l与y轴重合．

双曲线C₃，的解析式为y=- ，

过点P作PB⊥y轴于点B，

∵PA=PO，

∴B为OA中点．

∴S△_PAB=S△_POB，

由反比例函数比例系数k的性质，S△_POB=3，

∴△POA的面积是6.

故选B．

【点拨】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．

2．C

【分析】设点A的坐标为( ， )，则点C的坐标为( ， )，设点B的坐标为( ， )，则点D的坐标为( ， )，根据AC= BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．

解：∵点A、B在直线 上，点C、D在双曲线 上，

∴设点A的坐标为( ， )，则点C的坐标为( ， )，

设点B的坐标为( ， )，则点D的坐标为( ， )，

∴BD= ，AC= ，

∵AC= BD，

∴ ，

两边同时平方，得 ，

整理得： ，

由勾股定理知： ， ，

∴ ，

∴ ．

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用AC= BD得到 的关系是解题的关键．

3．D

【分析】作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F，计算出AE长度，证明 ，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用 ，可计算出 值．

解：作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F

∵

∴

∴ 为等腰直角三角形

∵

∴ ，即

∴DE=AE=

∵BC=AO，且 ，

∴

∴

∴

∴

设点A ，

∴

解得：

∴

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．

4．C

【分析】作 轴于 证明 ≌ ，推出 ， ，求出点 坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．

解：作 轴于 ．

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ．

故选C．

【点拨】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化 旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

5．B

【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），根据S△_BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．

解：①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；

②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，

∵AP//x轴，BP//y轴，

∴四边形OEPF是矩形，S△_EOP=S△_FOP，

∵S△_BOE=S△_AOF= k=6，

∴S△_AOP=S△_BOP，故②正确；

③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，

∵S△_AOP= OA•PN，S△_BOP= BO•PM，S△_AOP=S△_BOP，AO=BO，

∴PM=PN，

∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；

④设P（a，b），则B（a， ），A（ ，b），

∵S△_BOP= BP•EO= =4，

∴ab=4，

∴S△_ABP= AP•BP= =8，

故④错误，

综上，正确的为②③，

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．

6．B

【分析】根据直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得 ， ，再根据 为双曲线 上一点求得 ；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为 ，进而求得 ，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为 ，进而求得 ，最后计算 即可．

解：∵直线 与双曲线 相交于A，B两点，

∴联立可得：

解得： 或

∵点A在第一象限，

∴ ， ．

∵ 为双曲线 上一点，

∴ ．

解得： ．

∴ ．

设直线AM的解析式为 ，

将点 与点 代入解析式可得：

解得：

∴直线AM的解析式为 ．

∵直线AM与y轴交于C点，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

设直线BM的解析式为 ，

将点 与点 代入解析式可得：

解得：

∴直线BM的解析式为 ．

∵直线BM与y轴交于D点，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴

=4．

故选：B．

【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．

7．B

【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（ x，4）.由勾股定理得出AD²+AB²=BD²，列出方程2²+4²+（x-2）²+4²=x²，求出x，得到E点坐标，代入 ，利用待定系数法求出k.

解：∵BD//x轴，D（0，4），

∴B、D两点纵坐标相同，都为4，

∴可设B（x，4）.

∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.

∴E为BD中点，∠DAB=90°.

∴E（ x，4）

∵∠DAB=90°，

∴AD²+AB²=BD²，

∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），

∴2²+4²+（x-2）²+4²=x²，解得x=10，

∴E（5，4）.

又∵反比例函数 （k>0，x>0）的图象经过点E，

∴k=5×4=20；故选B.

【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键.

8．A

【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．

解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H

∵四边形ABCD是菱形

∴CD=AD=AB，CD∥AB

∵AB∥x轴，AE⊥CD

∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜

∵OA⊥AD

∴∠DAE+∠GAO=90゜

∴∠GAO=∠D

∵OA=OD

∴△DEA≌△AGO(AAS)

∴DE=AG，AE=OG

设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a

在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a

∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a

∴A（3a,4a），E(3a,7a)

∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴

∴四边形AGHF是矩形

∴FH=AG=3a，AF=GH

∵E点在双曲线 上

∴

即

∵F点在双曲线 上，且F点的纵坐标为4a

∴

即

∴

∵

∴

解得：

∴

故选：A．

【点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．

9．D

【分析】先求出 的坐标，由题意容易得到 为等腰直角三角形，即可得到 ，然后过 作 交y轴于H， ，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到 ，再同样求出 ，即可发现规律．

解：联立 ，解得 ，

∴ ， ，

由题意可知 ，

∵ ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ，

过 作 交y轴于H，则容易得到 ，

设 ，则 ，

∴ ，

解得 ， （舍），

∴ ， ，

∴ ，

用同样方法可得到 ，

因此可得到 ，即

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出 是解题的关键．

10．C

【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而 可得结论③正确，列式求出C点的坐标为 可知结论④正确．

解：设正方形OABC的边长为a，

则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a， ），N（ ，a）．

∵CN=AM= ，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=90⁰，

∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．

根据勾股定理， ， ，

∴ON和MN不一定相等．结论②错误．

∵ ，

∴ ．结论③正确．

如图，过点O作OH⊥MN于点H，则

∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．

∵∠MON=45⁰，MN=2，

∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.5⁰．

∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．

∴ ．

由 得， ．

解得： （舍去负值）．

∴点C的坐标为 ．结论④正确．

∴结论正确的为①③④3个．

故选C．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．

11．4

【分析】分别过点B、点C作 轴和 轴的平行线，两条平行线相交于点M，与 轴的交点为N．将C(3,4)代入 可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在 上，即可求得a的值.

解：分别过点B、点C作 轴和 轴的平行线，两条平行线相交于点M，与 轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°，

把C(3,4)代入 ，得4=6+b，解得：b=-2，

所以y=2x-2，

令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，

所以A(1，0)，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBM+∠ABN=90°，

∵∠ANB=90°，

∴∠BAN+∠ABN=90°，

∴∠CBM=∠BAN，

又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，

∴△ABN≌△BCM，

∴AN=BM，BN=CM，

∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n，

则有 ，解得 ，

∴ON=3+1=4，BN=1，

∴B(4，1)，

∵曲线 过点B，

∴k=4，

∴ ，

∵将点A沿 轴正方向平移 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)，

∴a=4，

故答案为4.

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.

12．7

解：分析：作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．

详解：如图，过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，

设D（x， ），

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，

易得△AGD≌△DHC≌△CMB，

∴AG=DH=-x-1，

∴DG=BM，

∴1- =-1-x- ，

x=-2，

∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1- =4，

∵AG=DH=-1-x=1，

∴点E的纵坐标为-4，

当y=-4时，x=- ，

∴E（- ，-4），

∴EH=2- = ，

∴CE=CH-HE=4- = ，

∴S△_CEB= CE•BM= × ×4=7.

故答案为7．

点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．

13．2或 ．

【分析】分两种情况讨论，（1）当点P在AB下方时，作 ，使点O到直线AB和到直线 的距离相等；（2）当点P在AB上方时，作 ，使点O到直线AB的距离的2倍，是到点O到直线 的距离，再分别求得直线AB与x轴的交点坐标为 ，从而得到直线 与x轴的交点坐标C，再分别求出直线 的解析式，联立直线 的解析式与反比例函数 ，转化为解二元一次方程组，即可得到交点P的坐标从而解题．

解：分两种情况讨论：

（1）当点P在AB下方时，作 ，使点O到直线AB和到直线 的距离相等，

则 的面积是 的面积的2倍，

对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；

即直线AB与x轴的交点坐标为 ，直线 与x轴的交点坐标为 ，

设直线 的表达式为： ，将点 代入得，

直线 的表达式为：

联立方程组

解得， （舍去）， ，

此时点 ；

（2）当点P在AB上方时，如图，

作 ，使点O到直线AB的距离的2倍，是到点O到直线 的距离，

直线AB与x轴的交点坐标为 ，直线 与x轴的交点坐标为 ，

设直线 的表达式为： ，将点 代入得，

直线 的表达式为：

联立方程组

解得， ， （舍去），

此时点P横坐标为

∴点P的横坐标为：2或 ．

故答案为：2或 ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及解二元一次方程组、分类讨论、数形结合等数学思想，正确作出辅助图形、掌握相关知识是解题的关键．

14．

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．

解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，

在Rt△FMN中，∠MFN=30°，

∴FN= MN=3 ，

∴AN=MB=8 ﹣3 =5 ，

设OA=x，则OB=x+3，

∴F（x，8 ），M（x+3，5 ），

∴8 x=（x+3）×5 ，

解得，x=5，

∴F（5，8 ），

∴k=5×8 =40 ．

故答案为：40 ．

【点拨】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．

15．（2 ，0）．

解：【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B₂、B₃、B₄的坐标，得出规律，进而求出点B₆的坐标．

解：如图，作A₂C⊥x轴于点C，设B₁C=a，则A₂C= a，

OC=OB₁+B₁C=2+a，A₂（2+a， a）．

∵点A₂在双曲线y= （x＞0）上，

∴（2+a）• a= ，

解得a= ﹣1，或a=﹣ ﹣1（舍去），

∴OB₂=OB₁+2B₁C=2+2 ﹣2=2 ，

∴点B₂的坐标为（2 ，0）；

作A₃D⊥x轴于点D，设B₂D=b，则A₃D= b，

OD=OB₂+B₂D=2 +b，A₂（2 +b， b）．

∵点A₃在双曲线y= （x＞0）上，

∴（2 +b）• b= ，

解得b=﹣ + ，或b=﹣ ﹣ （舍去），

∴OB₃=OB₂+2B₂D=2 ﹣2 +2 =2 ，

∴点B₃的坐标为（2 ，0）；

同理可得点B₄的坐标为（2 ，0）即（4，0）；

…，

∴点B_n的坐标为（2 ，0），

∴点B₆的坐标为（2 ，0），

故答案为（2 ，0）．

【点拨】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B₂、B₃、B₄的坐标进而得出点B_n的规律是解题的关键．

16．4

【分析】本题可从反比例函数图象上的点 、 、 入手，分别找出 、 、 的面积与 的关系，列出等式求出 值．

解：∵ 、 、 位于反比例函数图象上，

∴ ， ，

过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，

∴四边形ONMG是矩形，

∴ ，

∵ 为矩形 对角线的交点，

∴ ，

∵函数图象在第一象限，

∴ ，

∴ + +S_四边形ODBE= ，

解得： ．

故答案为4

【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

17．2.

【分析】过点 作 轴于 .根据k的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点D的坐标，代入 即可求得k的值．

解：如图，过点 作 轴于 .

把y=0代入 得：x=2，故OA=2

由反比例函数比例系数的几何意义，

可得 ， .

∵ ，

  ∴ _，

∴ .

易证 ，从而 ，即 的横坐标为 ，而 在直线 上，

∴

∴ .

故答案为2

【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k的方程．

18． a

【分析】设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），阴影部分的面积S_△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．

解：设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），

∵点P为曲线C₁上的任意一点，

∴mn＝a，

∴阴影部分的面积S_△AOB＝mn b b （m ）（n ）

＝mn﹣b （mn﹣b﹣b ）

＝mn﹣b mn+b

a ．

故答案为： a ．

【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．

19． 或

【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出 的面积即可．

解：根据题意，

∵点 称为点 的“倒数点”，

∴ ， ，

∴点B不可能在坐标轴上；

∵点A在函数 的图像上，

设点A为 ，则点B为 ，

∵点C为 ，

∴ ，

①当点B在边DE上时；

点A与点B都在边DE上，

∴点A与点B的纵坐标相同，

即 ，解得： ，

经检验， 是原分式方程的解；

∴点B为 ，

∴ 的面积为： ；

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

∴ ，解得： ，

经检验， 是原分式方程的解；

∴点B为 ，

∴ 的面积为： ；

故答案为： 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．

20．（1） ；（2）①见分析；②8．

【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为 ，进而可知A点坐标为： ，代入解析式即可求出k；

（2）①由 为等腰直角三角形，可得 ，再根据同角的余角相等可证 ，由AAS即可证明 ；

②由“ZJ距离”的定义可知 为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故 ，即只需求出B点坐标即可，设点 ，由 可得 ，进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．

解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5，

∴ ,即：E点坐标为 ，

又∵AE⊥y轴，AE=1，

∴ ，

∴ ．

（2）①在 为等腰直角三角形中， ， ，

∴ ，

又∵BF⊥y轴，

∴ ，

∴

在 和 中

，

∴ ，

②解：设点 坐标为 ，

∵

∴ ， ，

∴ ，

设直线AB解析式为： ，将AB两点代入得：

则 ．

解得 ， ．

当 时， ， ， ，符合；

∴

，

当 时， ， ， ，不符，舍去；

综上所述： ．

【点拨】此题属于代几综合题，涉及的知识有：反比例函数、一次函数的性质及求法、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形性质等，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．

21．（1） ，D点横坐标为 ；（2）

【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；

（2）分别用含t的式子表示出 、 ，得到 关于t的二次函数，求函数的最大值即可．

解：（1）∵ ，

∴A点横坐标为1,

∵A点在一次函数 的图像上，

∴ ，

∴ ,

∵A点也在反比例函数图像上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为： ，

∵ ，直线 轴，

∴D点纵坐标为t，

∵D点在直线l上，

∴D点横坐标为 ，

综上可得： ，D点横坐标为 ．

（2）直线 轴，交 于点 ，交图像 于点 ，

∴E点纵坐标为t，

将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为 ，

∴ ，A点到DE的距离为 ，

∴ ，

∵ 轴于点 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当 时， _最大= ；

∴ 的最大值为 ．

【点拨】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．

22．（1） ， ；（2） ， ， ， ；（3）-12<x<0或x>3

【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；

（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；

（3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x的取值范围即可.

解：（1）把A（3，4）代入 ，

∴m＝12，

∴反比例函数是 ；

把B（n，-1）代入 得n＝−12．

把A（3，4）、B（-12，−1）分别代入y＝kx＋b中：

得 ，

解得 ，

∴一次函数的解析式为 ；

（2）∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA= ，

分三种情况：

①当OA=OC时，OC=5，

此时点C的坐标为 ， ；

②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，

此时点C的坐标为 ；

③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，

过A作AD⊥x轴，垂足为D，

由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，

在△ACD中，

，

解得：x= ，

此时点C的坐标为 ；

综上：点C的坐标为： ， ， ， ；

（3）由图得：

当一次函数图像在反比例函数图像上方时，

-12<x<0或x>3，

即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-12<x<0或x>3.

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想.

23．(1) ， ；(2) ， ．

【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形 的面积为38．求出 ，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）平移一次函数与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短， 的面积最小，设平移后的一次函数解析式为： ，联立 ，解得： ，进一步求出： ，即 ，连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，根据 以及点的坐标即可求出 的面积．

（1）解：∵ 在 上，

∴ ，即反比例函数解析式为： ，

设 ，

∵四边形 的面积为38．

∴ ，整理得： ，

解得： （舍去）， ，

∴ ，

将 和 代入 可得： 解得： ，

∴一次函数解析式为： ．

（2）解：平移一次函数 到第三象限，与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短， 的面积最小，

设平移后的一次函数解析式为： ，联立 可得： ，整理得： ，

∵有唯一交点P，

∴ ，解得： 或 （舍去），

将 代入 得： ，解得：

经检验： 是分式方程 的根，

∴ ，

连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，

则： ，

∵ ， ， ，

∴ ，

，

，

∴ ．

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．

24．(1)点 在这个反比例函数的图像上，理由见分析；(2)① ， ；②点 的坐标为

【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据轴对称的性质得到 ， 平分 ，如图，连接 交 于 ，得到 ，再结合等腰三角形三线合一得到 为 边 上的中线，即 ，求出 ，进而求得 ，于是得到点 在这个反比例函数的图像上；

（2）①根据正方形的性质得到 ， 垂直平分 ，求得 ，设点 的坐标为 ，得到 （负值舍去），求得 ， ，把 ， 代入 得，解方程组即可得到结论；②延长 交 轴于 ，根据已知条件得到点 与点 关于 轴对称，求得 ，则点 即为符合条件的点，求得直线 的解析式为 ，于是得到结论．

（1）解：点 在这个反比例函数的图像上．

理由如下：

一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，

设点 的坐标为 ，

点 关于直线 的对称点为点 ，

， 平分 ，

连接 交 于 ，如图所示：

，

轴于 ，

轴， ，

，

，

，

在Rt 中， ，

，

为 边 上的中线，即 ，

，

，

，

点 在这个反比例函数的图像上；

（2）解：① 四边形 为正方形，

， 垂直平分 ，

，

设点 的坐标为 ，

， ，

，

（负值舍去），

， ，

把 ， 代入 得 ，

；

②延长 交 轴于 ，如图所示：

， ，

点 与点 关于 轴对称，

，则点 即为符合条件的点，

由①知， ， ，

， ，

设直线 的解析式为 ，

，解得 ，

直线 的解析式为 ，

当 时， ，即 ，故当 最大时，点 的坐标为 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．

25．(1) ， ；(2)①8；②符合条件的点 坐标是 和 ．

【分析】（1）将点 代入 ，求出 ，即可得 ，将点 代入 ，即可求出k；

（2）①如图，过A作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，求出 ， ，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设 ， ．分情况讨论：ⅰ、当四边形 为平行四边形时，ⅱ、当四边形 为平行四边形时，计算即可．

（1）解：将点 代入 ，得 ， ，

将点 代入 ，得 ，

反比例函数的解析式为 ．

（2）解：①如图，过A作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，交 于点 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

②分两种情况：设 ， ．

ⅰ、如图，当四边形 为平行四边形时，

∵点 向下平移1个单位、向右平移 个单位得到点 ，

∴点 向下平移1个单位，向右平移 个单位得到点 ，

∴ ， ，

∴ ．

ⅱ、如图，当四边形 为平行四边形时，

∵点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，

∴点 向上平移1个单位，向左平移 个单位得到点 ，

∴ ， ，

∴ ．

综上所述，符合条件的点 坐标是 和 ．

【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．