专题6.35
反比例函数（中考真题专练）（基础篇）
一、单选题
1．（天津·统考中考真题）若点
都在反比例函数
的图像上，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（四川德阳·统考中考真题）一次函数
与反比例函数
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（湖北武汉·统考中考真题）已知点
，
在反比例函数
的图象上，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（江苏无锡·统考中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=
的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-
，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B．
C．
D．
5．（湖南怀化·统考中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝
（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（广西贺州·统考中考真题）已知一次函数
的图象如图所示，则
与
的图象为（ ）
B．
C．
D．
7．（四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数
和
的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
8．（吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数
（
，
）的图象上，其纵坐标为2，过点P作
//
轴，交x轴于点Q，将线段
绕点Q顺时针旋转60°得到线段
．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
9．（山东东营·统考中考真题）如图，一次函数
与反比例函数
的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为
，则不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
10．（贵州贵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中有
，
，
，
四个点，其中恰有三点在反比例函数
的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数
的图象上的点是（ ）
A．点
B．点
C．点
D．点
二、填空题
11．（福建·统考中考真题）已知反比例函数
的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
12．（江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点
向下平移5个单位长度得到点
，若点
恰好在反比例函数
的图像上，则
的值是______．
13．（四川广元·统考中考真题）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数
的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是
_____．
14．（四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象经过点
且与函数
的图象交于点
.若一次函数
随
的增大而增大，则
的取值范围是____．
15．（黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，点A是反比例函数
图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．
16．（辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=
(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
17．（辽宁丹东·统考中考真题）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=
（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=
（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=______．
18．（山东东营·统考中考真题）如图，
是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数
的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
三、解答题
19．（广西玉林·统考中考真题）先化简再求值：
，其中
使反比例函数
的图象分别位于第二、四象限．
20．（吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与
轴相交于点
，与反比例函数
在第一象限内的图象相交于点
，过点
作
轴于点
．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求
的面积．
21．（四川德阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y
（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y
（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
22．（山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线
与双曲线
相交于
两点．
（1）求
对应的函数表达式；
（2）过点
作
轴交
轴于点
，求
的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于
的不等式
的解集．
23．（河南·统考中考真题）如图，反比例函数
的图像经过点
和点
，点
在点
的下方，
平分
，交
轴于点
．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段
的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段
与（2）中所作的垂直平分线相交于点
，连接
．求证：
．
24．（山东德州·中考真题）已知点
为函数
图象上任意一点，连接
并延长至点
，使
，过点
作
轴交函数图象于点
，连接
．
(1)如图1，若点
的坐标为
，求点
的坐标；
(2)如图2，过点
作
，垂足为
，求四边形
的面积．
参考答案
1．B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出
，然后进行比较即可．
解：将三点坐标分别代入函数解析式
，得：
，解得
；
，解得
；
，解得
；
∵-8<2<4，
∴
，
故选： B．
【点拨】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
2．B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
解：一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
3．C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出
、
的大小关系．
解：∵点
，
）是反比例函数
的图象时的两点，
∴
．
∵
，
∴
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
4．D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：∵A（-
，-2m）在反比例函数y=
的图像上，
∴m=(-
)
• ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=
，
∴B（2，1），A（-
，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=
×3×2+
×3×
=
．
故选：D．
．
【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
5．D
【分析】设
，由S△BCD=
即可求解.
解：设
，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD=
=5，
解得：
故选：D．
【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意可得
，从而得到一次函数
的图象经过第一、二、四象限，反比函数
的图象位于第一、三象限内，即可求解．
解：根据题意得：
，
∴
，
∴一次函数
的图象经过第一、二、四象限，反比函数
的图象位于第一、三象限内．
故选：A
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
7．D
【分析】设点P（a，b），Q（a，
），则OM＝a，PM＝b，MQ＝
，则PQ＝PM+MQ＝
，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可．
解：设点P（a，b），Q（a，
），则OM＝a，PM＝b，MQ＝
，
∴PQ＝PM+MQ＝
．
∵点P在反比例函数y＝
的图象上，
∴ab＝8．
∵S△POQ＝15，
∴
PQ•OM＝15，
∴
a（b﹣
）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
8．C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（
，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=
，QN=
，
∴
，
即：
，
解得：k=
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
9．A
【分析】根据不等式
的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可．
解：由题意得不等式
的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式
的解集为
或
，
故选A．
【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10．C
【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内
随
的增大而减小，用平滑的曲线连接发现
点不在函数
的图象上
解：
在第一象限内
随
的增大而减小，用平滑的曲线连接发现
点不在函数
的图象上
故选C
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
11．-5（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．
解：由反比例函数
的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；
故答案为-5（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
12．
【分析】将点
向下平移5个单位长度得到点
，再把点B代入反比例函数
，利用待定系数法进行求解即可．
解：将点
向下平移5个单位长度得到点
，则
，
∵点
恰好在反比例函数
的图像上，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．-4
【分析】过B作
于D，设
，根据三角形的面积公式求得
，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．
解：过B作
于D，如下图．
∵点B在反比例函数
的图象上，
∴设
．
∵
的面积为6，
∴
，
∴
．
∵点C是AB的中点，
∴
．
∵点C在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：-4．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
14．
【分析】分别求出过点P，且平行于x轴和y轴时对应的m值，即可得到m的取值范围．
解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为
，代入
中，可得
；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为
，可得
；
∵一次函数
随
的增大而增大，
∴
的取值范围是
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，找到两个临界是解决本题的关键．
15．
【分析】设点
，利用
即可求出k的值．
解：设点
，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴
，
又∵
，
∴
．
故答案为：
【点拨】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出
．
16．2
【分析】作A过x轴的垂线与x轴交于C，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，
则：AC=b，OC=a，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴
×OC×AC=
ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b)
在y=
上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
17．-4
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=
|k|，S△BOD=
=
，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=
|k|+
，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【点拨】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
|k|是解答此题的关键．
18．
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数
，推出
，由此即可得到答案．
解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴经过点A的反比例函数表达式为
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
19．
【分析】由题意易得
，然后对分式进化简，然后再求解即可．
解：∵
使反比例函数
的图象分别位于第二、四象限，
∴
，
∴
=
=
．
【点拨】本题主要考查反比例函数的图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与性质及分式的运算是解题的关键．
20．（1）
；（2）6
【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于
点，将
代入到一次函数解析式中，可以求得
点坐标，从而求得
，得到反比例函数解析式；
（2）因为
轴，所以
，利用一次函数解析式可以求得它与
轴交点
的坐标
，由
，
，
三点坐标，可以求得
和
的长度，并且
轴，所以
，即可求解．
解：（1）∵
点是直线与反比例函数交点，
∴
点坐标满足一次函数解析式，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
；
（2）∵
轴，
∴
，
轴，
∴
，
令
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的面积为6
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
21．（1）k=12，C（0，9）；（2）4
【分析】（1）由点
求出反比例函数的解析式为
，可得
值，进而求得
，由待定系数法求出直线
的解析式为
，即可求出
点的坐标；
（2）由（1）求出
，根据
可求得结论．
解：（1）把点
代入
，
，
反比例函数的解析式为
，
将点
向右平移2个单位，
，
当
时，
，
，
设直线
的解析式为
，
由题意可得
，
解得
，
，
当
时，
，
；
（2）由（1）知
，
．
【点拨】本题考查了反比例函数系数
的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线
的解析式是解题的关键．
22．（1）
，
；（2）
；（3）
或
【分析】（1）由题意先求出
，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得
以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
解：（1）把点
代入反比例函数解析式得：
，
∴
，
∵点B在反比例函数图象上，
∴
，解得：
，
∴
，
把点A、B作代入直线解析式得：
，解得：
，
∴
；
（2）由（1）可得：
，
，
∵
轴，
∴
，
∴点A到PB的距离为
，
∴
；
（3）由（1）及图象可得：当
时，x的取值范围为
或
．
【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
23．(1)
；(2)图见分析部分；(3)证明见分析
【分析】（1）把点
的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段
的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到
，然后利用平行线的判定即可得证.
（1）解：∵反比例函数
的图像经过点
，
∴当
时，
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为：
；
（2）如图，直线
即为所作；
（3）证明：如图，
∵直线
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识．解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
24．(1)点
的坐标为
；(2)4
【分析】（1）先求出点
的坐标为
，再由
，可得点
的坐标为
，从而得到点
的纵坐标为2，即可求解；
（2）设
，可得点
的坐标为
，从而得到点
的坐标为
，
，
，分别求出△BOC和△ABD的面积，即可求解．
（1）
解：将点
坐标代入到反比例函数
中得，
，
，
点
的坐标为
，
，
，
点
的坐标为
，
轴，
点
的纵坐标为2，
令
，则
，
，
点
的坐标为
；
（2）
设
，
，
点
的坐标为
，
轴，
轴，
又
，
轴，
点
的坐标为
，
轴，且点
在函数图象上，
，
，
，
，
四边形
的面积为：
．
【点拨】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比函数的图象和性质是解题的关键．