专题6.30
反比例函数（动点问题）（巩固篇）
一、单选题
1．如图，点M是反比例函数y＝
（x＜0）图象上一点，MN⊥y轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．无法确定
2．如图，点A是双曲线
在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．下列结论：①连接OC，则
；②点C在函数
上运动．则（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错
3．如图，过双曲线
上的动点
作
轴于点
，
是直线
上的点，且满足
，过点
作
轴的平行线交此双曲线于点
．如果
的面积为8，则
的值为（ ）
A．10 B．8 C．16 D．12
4．如图，矩形
的顶点О与坐标原点重合，边
，
分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为
，点D是边
上一动点，函数
的图像经过点D，且与边
交于点E，连接
、
．若线段
平分
，则点E的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．1 D．
5．如图，A、B是函数y＝
上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴．若S△BOP＝3.6，则S△ABP＝（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为一次函数
图像上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落在反比例函数
的图像上，则
（ ）
A．-9 B．-12 C．-16 D．-25
7．如图，线段AB是直线y=x+1的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线
（
）的一部分，由点C开始不断重复“A−B−C”的过程，形成一组波浪线，点P(2019，m)与Q(2025，n)均在该波浪线上，G为x轴上一动点，则△PQG周长的最小值为（ ）
A．16 B．
C．
D．
8．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝
上（k＞0，x＞0），则k的值为（ ）
A．25
B．18
C．9 D．9
9．如图，已知点A是直线y=x与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的交点，B是y=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
B．
C．
D．
10．如图，反比例函数
和正比例函数
的图象交于点M，N，动点
在x轴上．若
为直角三角形，则m的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
二、填空题
11．如图，点
在反比例函数
的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且
．点
是线段
上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接
、
．当
时，x的取值范围是________．
12．如图，已知点A是反比例函数
(
)的图像上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在反比例图像的函数关系式是____．
13．如图，点A是双曲线
在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．
14．如图，A、B是函数y＝
图象上两点，P为一动点．作PB∥y轴．PA∥x轴，下列说法中：①
；②
；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若
，则
．正确的序号是___．
15．如图，点A为反比例函数
图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为________．
16．如图，点A、B是反比例函数y
图象上的两个动点，过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，分别交反比例函数y
图象于点C、D，得四边形ACBD是平行四边形．当点A、B不断运动时，现有以，结论：①▱ACBD可能是菱形；②▱ACBD不可能是矩形；③▱ACBD可能是正方形；④▱ACBD不可能是正方形．其中正确的是
_____．(写出所有正确结论的序号)
17．如图，函数
与函数
图像的交于点P，点P的纵坐标为4，
轴，垂足为点B，点M是函数
图像上一动点（不与P点重合），过点M作
于点D，若
，点M的坐标是________．
18．如图，点A是反比例函数
的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数
（
，
）的图象交于点B、点C，连接
，
．若四边形
的面积为5，则
________．
三、解答题
19．如图，一次函数
与反比例函数
的图象交于点
和
，与y轴交于点C．
，
；过点A作
轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线
与线段
交于点E，当
时，求点P的坐标．点M是坐标轴上的一个动点，点N是平面内的任意一点，当四边形
是矩形时，求出点M的坐标．
20．如图，反比例函数
的图像与一次函数
的图像相交于
，
两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，且
，直接写出点P的坐标；
(3)设直线AB交y轴于点C，点
是x轴正半轴上的一个动点，过点N作
轴交反比例函数
的图像于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线
与反比例函数图象交于点
，点
为反比例函数
图象上的点，连接OB，AB，且
为3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为y轴上一动点，当
的周长最小时，直接写出点P的坐标．
22．一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围．
(3)若动点E在y轴上，且
，求动点E的坐标．
23．如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于点
，
两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接
并延长交双曲线于点
，点
为
轴上一动点，点
为直线
上一动点，连接
，
，求当
最小时点
的坐标；
24．如图，点A在反比例函数
的图像上，点A的纵坐标为3．过点A作x轴的平行线交反比例函数
的图像于点C．点P为线段AC上一动点，过点P作
的垂线，分别交反比例函数
和
的图像于点B，D．
(1)当
时，
①若点P的横坐标为4（如图1），求直线
的函数表达式；
②若点P是
的中点（如图2），试判断四边形
的形状，并说明理由；
四边形
能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，说明理由．
参考答案
1．A
【分析】根据
求解．
解：设点
坐标为
，
点
在反比例函数图象上，
，
．
故选：
．
【点拨】本题考查反比例函数系数
的几何意义，解题关键是掌握
，掌握坐标系内求图形面积的方法．
2．C
【分析】设点A的坐标为（a，
），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，进而得出结论．
解：如图，
设A（a，
），点C始终在双曲线
上运动，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=
AO，
∵
，
∴
，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，
即
，解得
．
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即
，
将
代入，可得：
，
故
，
则xy=-9，即k=-9，
所以，点C在函数
上运动．
所以，①②都对，
故选：C．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．D
【分析】设AB=a，则PB=3a，从而得到
，
，根据矩形的性质，得到PC=AD=BE=
，利用三角形面积为载体建立等式计算即可．
解：设AB=a，则PB=3a，过点C作CE⊥ x轴，垂足为E，过点A作AD∥x轴，交CE于点D，则四边形APCD是矩形，四边形BPCE是矩形，
∴CE=PB=3a，
∵点A、点C都在函数
的图像上，
∴
，
，
根据矩形的性质，得到PC=AD=BE=
=
，
∵
的面积为8，
∴
，
解得k=12，
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像及其性质，矩形的判定和性质，三角形面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】先根据矩形的性质，角平分线定义得出
，然后根据等腰三角形的判定得出
，在
中根据勾股定理可求出
，从而求出点D的坐标，根据待定系数法求出反比例函数解析式，最后把
代入求解即可．
解：解∶∵
平分
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴点E的纵坐标为
．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法等知识，正确求出点D的坐标是解题的关键．
5．C
【分析】延长BP，交x轴于点C，由题意可设点
，则有
，然后由S△BOP＝3.6可进行求解问题．
解：延长BP，交x轴于点C，如图所示：
∵PB∥y轴，PA∥x轴，
∴
，
轴，
由题意可设点
，则有
，
∵S△BOP＝3.6，
∴
，即
，
解得：
，
∴
；
故选C．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的性质及几何意义是解题的关键．
6．C
【分析】根据垂线段最短可得，当AB垂直直线
时AB最短，此时△AOB是等腰直角三角形，易求OB=
，过点D作DE⊥x轴于点E，知△DEO为等腰直角三角形，求出DE，OE的长即可得到结论．
解：根据垂线段最短可得，当AB垂直直线
时AB最短，
∵∠AOB=45°
∴∠BAO=45°
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（8，0）
∴OA=8
∴
∵四边形OBCD是正方形，
∴
∴
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴
∴△DEO为等腰直角三角形，
∴
∵点D在第二象限，
∴D（-4，4）
又点D在反比例函数
的图像上
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了最短路径问题、待定系数法求函数解析式、正方形的性质等知识，解答此题的关键是正确求出点D的坐标．
7．B
【分析】由点B在直线y=x+1上，点B横坐标为2，可求纵坐标，确定点B的坐标，进而求出反比例函数的关系式，再确定点C的坐标，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，可以推断点P（2019，m）与Q（2025，n）具体所在的位置，再依据对称，求线段的和最小的方法求出答案．
解：当x=2时，y=x+1=2+1=3，
∴B（2，3）
∵B（2，3）在双曲线
上，
∴k=6
把x=6代入
得：y=1，
∴C（6，1）
∵2019÷6=336……3，2025÷6=337……3，
∴点P落在第337个“A-B-C”的P处，
而点Q落在第338个“A-B-C”的Q处，示意如图：
把
代入
P（2019，2），Q（2025，2），
周长的最小，PQ=6定值，
只要GP+GQ最小即可，
过
作
轴，使
关于
轴对称，
连接
交
轴于
由勾股定理得：
∴
周长的最小值为PQ+GP+GQ=
故选B．
【点拨】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，轴对称性质的应用，根据规律推断出点P、Q的位置，找出点G的位置，依据勾股定理求出线段的长，是解决问题的关键．
8．D
【分析】根据等边三角形的性质表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案．
解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30°，∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝
a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝
AC＝2a﹣5，CF＝
AF＝
（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，
a），点C[15﹣2a，
（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝
上（k＞0，x＞0），
∴a•
a＝（15﹣2a）×
（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3
），
∴k＝3×3
＝9
．
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．
9．B
解：设点P的运动速度为v，
①由于点A在直线y=x上，故点P在OA上时，四边形OMPN为正方形，四边形OMPN的面积S=（vt）2，
②点P在反比例函数图象AB时，由反比例函数系数几何意义，四边形OMPN的面积S=k；
③点P在BC段时，设点P到点C的总路程为a，则四边形OMPN的面积=OC•（a﹣vt）=﹣
t+
，
只有B选项图形符合．
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
10．D
【分析】联立方程组
并求解，得到
，由两点间距离公式求出
的长，再分
三种情况依据勾股定理列出方程求解即可
解：联立方程组得
，
解得，
或
，
∵
∴
①若
时，则有
，
，
②若
时，则有
，
，
；
③若
时，则有
，
，
；
综上所述，
的值为
或
．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确进行分类讨论是解题的关键．
11．
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN的解析式，最后联立两个解析式求出B和C两个点的坐标，再根据k的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围．
解：∵点
∴
，
所以反比例函数的解析式为：
，
因为
，
∴
,
设线段MN解析式为：
，
∴
，
∴
，
∴线段MN解析式为：
，
联立以上两个解析式得：
，
解得：
或
，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C，
∴
，
，
∵
，
∴P点应位于B和C两点之间，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
12．
【分析】如图，设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=-m，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得
，根据平角的定义及角的和差关系可得∠OAC=∠BOD，根据旋转的性质可得OB=OA，利用AAS可证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=-m，可得点B坐标，利用待定系数法即可得答案．
解：如图，设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A是反比例函数
(
)的图像上的一个动点，
∴
，AC=n，OC=-m，
∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAC+∠AOC=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=-m，
∴B（n，-m），
设过点B的反比例函数的解析式为
，
∴
，
∴点B所在反比例图像的函数关系式为
，
故答案为：
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．y=-
【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为
，再证明△COD≌△OAE（AAS），表示C点坐标为
，从而可得答案.
解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为
，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线
的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=
，CD=OE=a，
∴C点坐标为
，
∵
，
∴点C在反比例函数
图象上．
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，反比例函数的图象与性质，利用三角形的全等确定
的坐标是解本题的关键.
14．②③##③②
【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出矩形OMPN的面积为4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式解答即可．
解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴
与
不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∵BP∥y轴，
∴B（m，
），A(
，n)
∴AP=|
-m|
∴S△AOP=
·|
-m|n=
|12-mn
|
同理：S△BOP=
·|
-n|m=
|12-mn
|
∴S△AOP＝S△BOP；
故②正确；
如图1，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴
=
OB·PE，
=
OA·PF
∵
，
∴OB·PE= OA·PF
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交轴于M，
∵AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=
上，
∴
，
∵
，
∴
，
∴S矩形OMPN=4，
∴mn=4，
∴m=
∴
，
∴
故④不正确；
故答案为②③．
【点拨】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
15．
【分析】连接OA，可得S△ABO=S△ABC=3，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO=S△ABC=3，即：
|k|=3，
∴k=6或k=-6，
∵在第二象限，
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点拨】考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．
16．①②④
【分析】设A(a,
)，B(b,
)，则C(a，-
)，D(b，-
)，由平行四边形的性质AC=BD列出方程求得a、b的关系，进而得B、C的坐标，根据坐标可以判断BC不与x轴平行，从而判断AC与BD垂直，进而判断③错误；②④正确；根据随着|a|不断变小，AC越来越大，BC越来越小，可以判断AC有可能与BC相等，进而判断①的正误．
解：设A(a,
)，B(b,
)，则C(a，-
)，D(b,-
)，
∵AC=BD，
∴-
=
，
∴a=-b，
∴yC=-
=
≠yB=
，
∴BC不与x轴平行，
∴AC与BC不可能垂直，
∴▱ACBD不可能是矩形，▱ACBD不可能是正方形．
故③错误；②④正确；
∵随着|a|不断变小，AC越来越大，BC越来越小，
∴AC有可能与BC相等，
故①正确；
故答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形、正方形的判定，解题的关键是由平行四边形的对边相等，得出a、b的关系．
17．（12，2）
【分析】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，设D(m，
)，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．
解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示，
∵△PMD是等腰直角三角形，
∴PD=DM，
∵∠PDG+∠MDH＝90°， ∠PDG+∠DPG=90°，
∴∠DPG=∠MDH，
∵∠G=∠H，
∴△PGD≅△DHM(AAS)，
∴PG=DH，DG=MH，
∵点P的纵坐标为4，
∴将y=4代入
，得x=6，
∴P点坐标为（6，4），
将P（6，4），代入
，得：k=24，
∴反比例函数解析式为：
设D(m，
)，
∴DG=m-6，PG=
，
∴MH＝m-6，DH=
，
∴M（
，
），
∵点M在反比例
的图象上，
∴
，
解得
，
，
当m＝6时，M（6，4）(舍去)， 当m=10时，M（12，2），
故答案为：（12，2）．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主 要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键．
18．3
【分析】延长
分别交
轴，
轴于点
，易得四边形
的面积等于
，即可得解．
解：延长
分别交
轴，
轴于点
，
∵
轴，
轴，则：四边形
为矩形，
为直角三角形，
∵点A在反比例函数
的图象上，点B、点C在反比例函数
（
，
）上，
∴
，
，
∴四边形
的面积
，
∴
；
故答案为：3．
【点拨】本题考查一直图形面积求
值．熟练掌握
值的几何意义，是解题的关键．
19．(1)1,12；(2)
；(3)
或
．
【分析】(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出
、
的值；
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出
的值，进而即可得出
的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线
的解析式，再联立直线
与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
(3)
过点B作直线
交x轴于点
交y轴于点
，作出符合题意的图形，利用待定系数法求出直线
的解析式，再求出
、
的坐标即可．
（1）解：将点
代入
，
，
解得：
，
故一次函数的解析式为；
，
将点
代入
，
，解得：
，
故反比例函数的解析式为
；
故答案为：1,12
（2）解：依照题意，画出图形，如图所示．
当
时，
，
∴点A的坐标为
；
当
时，
，
∴点C的坐标为
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即点E的坐标为
，
设直线
的解析式为
，
将点
代入
，得
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立得
，
解得：
，
，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为
；
（3）解：过点B作直线
交x轴于点
交y轴于点
，依照题意画出图形，如图所示．
则
时，四边形
与
是满足题意的矩形，
∵直线
的解析式为
，
∴可设直线
的解析式为
，
把点
代入
得到
，
解得
，
直线
的解析式为
，
当
时，
，
当
时，
，解得
，
∴
，
，
故点M的坐标为
或
．
【点拨】本题考查了待定系数法求出一次函数及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式、矩形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．
20．(1)反比例函数的解析式为
，一次函数解析式为
；(2)点P的坐标为（
，
）；(3)t＞
【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据
，
，求得
进而求得点P的坐标；
（3）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
解：（1）∵反比例函数
的图像与一次函数
的图像相交于
，
两点，
∴
，
∴
，
∴点
，
∴反比例函数的解析式为
，
由题意可得：
，
解得：
，
∴一次函数解析式为
；
（2）连接OA，OB，OP，
令
代入
，
解得
，
∴一次函数与
轴的交点C坐标为
，
∴
，
∵点P在线段AB上，
∴设点P为
，
∵点A
，点B
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴点P的坐标为
；
（3）∵直线AB交
轴于点C，
∴点C
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
21．(1)
；(2)
．
【分析】（1）先求出直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，过点A作
轴，交
于C，在求出
，进而得出
，根据
，再根据面积即可得出a的值，求出
，即可得出答案；
（2）根据（1）可得：
，
，由于点D与点A关于y轴对称，可知当
的值最小，即B，P，D三点在同一直线上时
的周长最小，求出直线
的解析式为
，即可得出答案．
（1）解：∵设直线
的解析式为
，
将
代入，得出：
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
将
代入，得出：
，
∴直线
的解析式为
，
过点A作
轴，交
于C，
∵
，
∴点C的纵坐标为a，
∵点C在直线
上，
∴点c的横坐标为：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去），
∴
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为：
；
（2）解：根据（1）可得：
，
，
∵点D与点A关于y轴对称，
∴
，
∴
，
∵
为定值，
∴当
的值最小，即B，P，D三点在同一直线上时
的周长最小，
∴
，
设直线
的解析式为
，
将
，
，代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴
．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数，轴对称的性质，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．
22．(1)
；(2)
或
；(3)
或
【分析】（1）将点A坐标代入直线表达式，求出m，得到具体坐标，再将点A坐标代入反比例函数表达式，求出k值可；
（2）求出点B坐标，结合图像可得结果；
（3）设点E坐标为
，求出直线
与y轴交点F的坐标，再根据
，列出方程，解之可得．
（1）解：将
代入
得：
，
∴
，代入
中，
得：
，
∴
；
（2）将
代入
中，
得
，解得：
，
∴
，
由图像可知：当一次函数图像在反比例函数图像下方时，
对应的x为
或
，
∴使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围是
或
．
（3）设点E坐标为
，直线
与y轴交于点F，
在
中，令
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
解得：
或
，
∴点E的坐标为
或
．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，用待定系数法确定反比例函数的解析式；要能够熟练掌握待定系数法，学会表示交点形成的三角形面积是解题的关键．
23．(1)一次函数解析式为
，反比例函数解析式为
；(2)
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）设直线
与x轴，y轴分别交于N，M，作点C关于y轴的对称点H，连接
交y轴于G，连接
，推出当
三点共线且
时，
最小，即
最小；求出
，进而证明
，即可退出
，得到
；由对称性可知
，则
，由此求出
，则
．
（1）解：把
代入到反比例函数
中得：
，
∴
，
∴反比例函数解析式为
，
把
代入到
中得：
，
∴
；
把
，
代入到一次函数
中得：
，
∴
，
∴一次函数解析式为
；
（2）解：设直线
与x轴，y轴分别交于N，M，作点C关于y轴的对称点H，连接
交y轴于G，连接
，
∴
，
∴
，
∴当
三点共线且
时，
最小，即
最小；
在
中，令
，则
，令
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
由对称性可知
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定当
三点共线且
时，
最小，即
最小是解题的关键．
24．(1)①直线
的解析式为
；②四边形
是菱形，理由见分析；(2)四边形
能成为正方形，
．
【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出
，即可得出结论；
（2）先确定出
，
，进而求出点P的坐标，再求出B，D坐标，最后用
，即可得出结论．
（1）解：①∵
，
∴反比例函数为
，
当
时，
，
∴
，
当
时，
∴
，
∴
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
；
②四边形
是菱形，
理由如下：由①知，
，
∵
轴，
∴
，
∵点P是线段
的中点，
∴
，
当
时，由
得，
，
由
得，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
为平行四边形，
∵
，
∴四边形
是菱形；
（2）解：四边形
能是正方形，
理由：当四边形
是正方形，记
的交点为P，P为
的中点，
∴
，
当
时，由
得，
，
由
得，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形
是平行四边形是解本题的关键．