专题6.15
“设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）
一、单选题
1．如图，直线
与双曲线
交于A、B两点．过点A作
轴，垂足为M，连结BM．若
，则k的值是（ ）
A．2 B．
C．m D．4
2．如图，点B在反比例函数
的图象上，点C在反比例函数
的图象上，且
轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，若
，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．如图，直线
与x轴相交于点B，点A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，点C恰在反比例函数
的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，直线
与x轴交于点A，与函数
的图象交于点B，
轴于点C，平移直线
，使其过点C，且与函数
的图象交于D，若
，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，
的边
在x轴上，若过点A的反比例函数
的图象经过
边的中点D，且
，则k的值是（ ）
A．12 B．24 C．28 D．32
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形
的边
与
轴平行，
，
两点纵坐标分别为
，
，反比例函数
经过
，
两点，若
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点
、
为反比例函数
图象上的点，过点
、
分别作
轴，
轴，垂足分别为
、
，连接
、
、
，线段
交
于点
，点
恰好为
的中点，当
的面积为6时，k的值为（ ）
A．
B．8 C．
D．
8．如图，平行四边形
的顶点
在双曲线
上，顶点
在双曲线
上，
中点
恰好落在
轴上，已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，点
是双曲线
上的一点，点
是双曲线
上的一点，
所在直线垂直
轴于点
，点
是
轴上一点，连接
、
，则
的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．16
10．如图，矩形
，双曲线
分别交
、
于
、
两点，已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，
的边
在x轴上，且
，反比例函数
的图象与边
、
分别相交于点C、D，连接
，已知
，
的面积为12，若
，直线
的函数解析式为
_____．
12．如图，两个边长分别为
的正方形连在一起，三点
在同一直线上，反比例函数
在第一象限的图象经过小正方形右下顶点
．若
，则
的值是
_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，
的边
在y轴上，边
与x轴交于点D，且
，反比例函数
的图象经过点A，若
，则反比例函数表达式为______．
14．如图，反比例函数
和
的图象在第一象限内分别交矩形
的顶点
和对角线
的中点
，则
的值为______．
15．如图，矩形
的两边落在坐标轴上，反比例函数
的图像在第一象限的分支交
于点
，交
于点
，直线
交
轴于点
，交
轴于点
，连接
．则下列结论：①
；②四边形
为平行四边形；③若
，则
；④若
，
，则
．其中正确的有__________．（填序号）
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点
在
轴上，顶点
在反比例函数的图像上，且
若将该菱形向下平移
个单位后，顶点
恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限内的一点，其纵坐标为2，过点P作
轴于点Q，以
为边向右侧作等边
，若反比例函数
的图象经过点P和点M，则k的值为______．
18．定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数
的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形
是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点
，
，则矩形
的面积为_______．
三、解答题
19．如图，在矩形
中，
，F是
上的一个动点，F不与
重合，过点F的反比例函数
的图像与
边交于点E．
当F为
的中点时，求该函数的解析式及 
的面积；当
的面积为
时，求F点的坐标．
20．如图，一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，且
，
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数的表达式和点A，B的坐标；
(3)若点F是点D关于x轴的对称点，求
的面积．
21．在平面直角坐标系中，反比例函数
和一次函数
的图象都经过点
．
(1)若
，求
的值．
(2)若点
也在反比例函数的图象上．
①求
，
的函数表达式．
②若
，求x的取值范围．
22．如图，矩形
的边
分别与反比例函数
的图象相交于点D、E，
与
相交于点F．
(1)若点B的坐标为
，求点D、E、F的坐标；
(2)求证：点F是
的中点．
23．如图，一次函数
的图象分别与
轴，
轴交于
，
两点，与反比例函数
图象交于点
，已知
为线段
的中点．
求
的值；若点
是反比例函数
的图象上一个动点，
轴于点
设四边形
的面积为
，探究
随
的变化情况．
24．如图，在平面直角坐标系
中，双曲线
与直线
在第一象限内交于点
，与
轴交于点
．
(1)求
，
的值；
(2)在
轴上取一点
，当
的面积为3时，求点
的坐标．
(3)点
在双曲线
上，且
是以
为腰的等腰三角形，则满足条件的点
共有______个，任意写出一个满足条件的点
的坐标，可以为______．
参考答案
1．A
【分析】设A坐标为
，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为
，即可得到
，根据点A在点第一象限，即可得到
．
解：设点A坐标为
，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为
，
∴
，
∵点A在点第一象限，
∴
．
故选：A
【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
2．D
【分析】设
，由题意可知
，可得
，由
，可得
，求出
的值即可．
解：设
，
∵点C在反比例函数
的图象上，且
轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，
∴
，
则
，
，
∵
，即
，
∴
．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形的面积找出关于
的一元一次方程．
3．C
解：对于一次函数
，
令
，则
，
解得：
，
∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，
∴点A的横坐标为
把
代入
，解得
，
∴
，
∵过点A，B分别作x轴、y'轴的平行线交于点C，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数图象与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
4．B
【分析】过点D作
轴于点E，设
，通过
表示点D的坐标，由
,即可求解．
解：过点D作
轴于点E，
由直线
可知
，
设
∴
，
，
∴
，
由题意可知，
∴
，
即
，
∴
，
，
∴
∴点D的坐标为
∵点B、点D在反比例函数
上，
∴
,
解得：
或
(舍)
∴
故选B．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的解析式，考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图像上点坐标特征，由
列出方程是解题的关键．
5．C
【分析】过点
、
分别作
的垂线，由反比例函数系数
的几何意义，可以得到
，进而得到
，根据
是平行四边形，
，可得
，由
是
的中点，可得出
，设出点
、
的坐标，列方程求解即可．
解：过点
、
分别作
，
，垂足为
、
，
由图像可知：
，
在
中，
，
∴
，
是
的中点，
∴
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
点
、
在反比例函数
的图象上，
，
，
，
设点
，
，
，
在
中，令
，则
，
∴
，
，
即
，
，
，
，
，
解得
，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数系数
的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数
的几何意义是解决问题的关键．
6．A
【分析】过点
作
，设
，
，根据
的长度，在
中应用勾股定理即可求解．
解：过点
作
，
∵
，
两点纵坐标分别为
，
，反比例函数
经过
，
两点，
∴设
，
，
∴
，
，
∵
在
中，
，
即
，解得
，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．
7．A
【分析】设点
的坐标为
，则点
，
，
，
，根据三角形的面积公式可得出
，由此即可求出
值．
解：设点
的坐标为
，则点
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点
的坐标，利用点
的横坐标表示出
、
点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
8．C
【分析】连接
，过
点和
点分别作
轴的垂线段
和
，先证明
，则
，易知
，
，由此可得
，从而得到
，求出
的值即可．
解：连接
，过
点和
点分别作
轴的垂线段
和
，如图所示，
，
中点
恰好落在
轴上，
，
，
（AAS），
，
点
在双曲线
上，
，
点
在双曲线
上，且从图像得出
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
解得：
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数
的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到
轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是
．
9．A
【分析】作
交
的延长线于
，则
，设点
的坐标为
，再根据题意分别表示出
的长，计算即可得到答案．
解：如图所示，作
交
的延长线于
，
，
则
，
设点
的坐标为
，
，
所在直线垂直
轴于点
，
点坐标为
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．
10．C
【分析】设F点的坐标为
，可求得点E的坐标为
，根据三角形面积公式得到
，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
解：∵四边形
是矩形，
，
，
∴设F点坐标为
，点E的纵坐标为3，
，解得
，
点坐标为
，
则
，
整理得：
，
解得
或
(不合题意，舍去)，
，
∵双曲线
分别交
、
于
、
两点，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
11．
【分析】连接
，过C作
于E，根据等腰三角形的性质得到
，进而得到
，再利用反比例函数
的几何意义求出
，得到反比例函数为
，根据平行的性质得到
为
的中点，推出
，设
，则点
，
，依据
的面积公式可得
，求出
，即
，最后设直线
的函数解析式为
，利用待定系数法即可求得直线OA的函数解析式．
解：如图，连接
，过C作
于E，
，
，
的面积为12，
，即
，
又
，
，
反比例函数为
，
，
，
又
为
的中点，
为
的中点，
，
设
，则点
，
，
，
，
，
，即
，
设直线
的函数解析式为
，
则
，即
，
直线
的函数解析式为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数系数
的几何意义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
12．4
【分析】设点
的坐标为
，再用两个正方形的边的代数式来表示
，同时用正方形的边表示
代入即可得到关于
的积，即
的值．
解：连接
，
设
点坐标为
，则
，
和
都是等腰直角三角形，
，
，
，
即
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查反比例函数求
的值，运用正方形性质以及勾股定理代入并转化为反比例函数图象上关于点的横纵坐标关系式是解决本题的关键．
13．
【分析】过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明
，推出
，由此即可求得答案．
解：设
，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，
则：
，
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
在
的图象上，
∴
，
∴反比例函数表达式为
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造
．
14．4
【分析】利用点
是线段
的中点，利用点
的坐标表示点
的坐标和点
的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可．
解：设点
则点
，点
，点
点
是线段
的中点，
，即
∵点
在反比例函数
图象上，代入得：
，即
又∵点
在反比例函数
图象上，
∴代入点
得：
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查矩形的性质以及反比例函数，熟练掌握矩形的性质以及运用中点公式整体代入求解
的值是解决本题的关键．
15．①②④
【分析】根据题意，设
，
，则点
，
，
，从而求出直线
的解析式，点
的坐标，可判断
，根据平行四边形的性质，面积公式，
，
即可求解．
解：矩形
，比例函数
，
∴设
，
，则点
，
，
，
∴设直线
的解析式为
，
∴
，解得，
，
∴直线
的解析式为
，
令
，则
，解得，
，
∴
，则
，
∵
，
∴
，则
，
∵矩形
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，故①正确；
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，故②正确；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，且
，则
，
∴
，
∴
，
∵直线
的解析式为
，
∴
，且
，
∴
，
∴
，故③错误；
∵
，
∴
，解得，
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
（舍去）或
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数图形的性质是解题的关键．
16．
【分析】过点C作
轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示
和点B向下平移
个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题．
解：过点C作
轴于点D，设菱形的边长为a，
在
中，
，
，
则
，
，
点B向下平移
个单位的点为
，即
则有
解得
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
故答案为：
．
【点拨】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
17．
【分析】作
轴交x轴于点N，分别表示出
、
，利用k的几何意义即可求出答案．
解：过点M作
轴，如图所示，
∵
轴，
是等边三角形，
∴
，
∵P点纵坐标为2，
∴
，
∴
，
∴
，
设点P坐标为
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数中k的几何意义，涉及到了直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题关键．
18．0.6或27
【分析】根据题意分两种情况：设
，当反比例函数
的图像经过
、
上的点时，则点
、
在反比例函数
的图像上，根据反比例函数系数
得到
，求出
，即可求出矩形的面积；当反比例函数
的图像经过
、
上的点时，点
、
在反比例函数
的图像上，则
，求得
，即可求出矩形的面积．
解：当反比例函数
的图像经过
、
上的点时，
设
，
∵点
，
，
，
∴点
、
在反比例函数
的图像上，
∴
，
，
解得
，
，
当反比例函数
的图像经过
、
上的点时，
设
，
∵点
，
，
∴点
和点
在反比例函数
的图像上，
，
解得
，
，
故答案为：0.6或27．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，运用分类思想是解题的关键．
19．(1)
，
；(2)
，
）
【分析】（1）当F为
的中点时，点F的坐标为
，由此代入求得函数解析式即可；将
代入求出点E的坐标，从而求出
的面积；
（2）先求点F的坐标，再求点E，表示出
的面积，最后求出点F的坐标．
解：（1）∵点F是
的中点，
∴
∴
，
∴
，
当y为2时，x为
∴
，
∴
，
∴
；
（2）设点
，则
，
∵点E的纵坐标为2，
∴
，
∴
，
∵
，
解得
，
，
∴
，
【点拨】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．(1)
；(2)
，
，
；(3)8
【分析】（1）先求出
与坐标轴的交点，再根据
，求出
，进而得到一次函数的表达式；
（2）过
作
轴，设
，
，用勾股定理求得
的值，求出点
的坐标，把函数列成方程组求出
点横坐标，代入反比例函数求出纵坐标；
（3）根据
，求出
的面积即可．
解：（1）令
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴一次函数的表达式：
；
（2）过A作
轴，
设
，
，
∵A在
上，
∴
，
在
中，根据勾股定理得
，
，
解得
（舍去），
，
∵点
在第二象限，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的表达式：
；
∵
，
∴
，
，
∵点B在第四象限，
∴
；
（3）令
，
，
∴
，
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
的面积是8．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
21．(1)
；(2)①
，
的函数表达式分别为
，
；②x的取值范围是
或
．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意
，求得a的值，从而得出
，然后分别代入
，
，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
（1）解：若
，则
，
∵反比例函数
的图象都经过点
．
∴
；
（2）解：①∵反比例函数
的图象经过点
．点
也在反比例函数
的图象上，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
，
解得
，
，
∴
，
的函数表达式分别为
，
；
②在
中，令
，则
；
∵
，
，
∴若
，则x的取值范围是
或
．
【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
22．(1)
，
，
；(2)见分析
【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到
，
，再求出直线
和
的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为
，可得
，
，再求出直线
和
的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出
的中点坐标，即可求解．
（1）解：根据题意得：
轴，
轴，
∵点B的坐标为
，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数
的图象上，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立方程组
，解得
，
∴
；
（2）证明：设点B的坐标为
，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数
的图象上，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立方程组
，解得
，
∴
，
∵
，
，
∴
的中点坐标为
，即
，
∴点F是
的中点．
【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
23．(1)
；(2)
随
的增大而减小
【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点
的坐标，待定系数法求出
值即可；
（2）利用梯形的面积公式求出
与
的关系式，再进行分析即可．
（1）解：
一次函数
的图象分别与
轴，
轴交于
，
两点，
当
时，
；当
时，
，
，
．
为线段
的中点，
，
反比例函数
的图象过点
，
；
（2）
点
是反比例函数
的图象上一个动点，
设
，
，
设
，则
，
随
的增大而减小，
在
中，
，
时，
随
的增大而增大，
随
的增大而减小．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
24．(1)
；(2)
或
；(3)
，
【分析】（1）将点
，代入直线
，得出
，继而得出
，待定系数法求解析式即可得
；
（2）设
，根据
的面积为3，得出
，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，画出图形，根据等腰三角形以及反比例函数的对称性求得点
，
，即可求解．
（1）解：∵双曲线
与直线
在第一象限内交于点
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵直线
与
轴交于点
．
令
，得
，
∴
，
设
，
∵
的面积为3
∴
∴
,
∵
，
，
∴
，
解得：
或
，
∴
或
，
（3）如图，以
为圆心，
为半径画弧交反比例函数的图象于
，
，
，
，可得
，
，
是等腰三角形，其中
在直线
上不能构成三角形，
根据对称性可知
，
，
故满足条件的点
有
个，
故答案为：
，
．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数结合，等腰三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．