【324252】2024八年级数学下册 专题6.27 反比例函数（最值问题）（巩固篇）（新版）浙教版

专题6.27 反比例函数（最值问题）（巩固篇）

反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值，本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题

1．设函数y₁＝ ，y₂＝﹣ （k＞0）．当﹣3≤x≤﹣2时，y₁的最大值为a，y₂的最小值为a+2，则实数a与k的值为（　　）

A．a＝3，k＝1 B．a＝﹣1，k＝﹣1 C．a＝3，k＝3 D．a＝﹣1，k＝3

2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与边长是8的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点， 的面积为7.5．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（    ）

A．15 B． C． D．10

3．如图， 位于第一象限， ，直角顶点A在直线 上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数 的图象与 有交点，则k的最大值是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

4．如图，点 ， 分别是反比例函数 与 在第一象限图象上的动点．① ②当 时， ；③ 的面积可能是 ；④ 的最小值为 ．以上结论中正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．已知反比例函数 ，若 ，则函数 有（    ）

A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0

6．如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线 上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知反比例函数 当 时， 的最大值是 则当 时， 有（    ）

A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值

8．如图所示，已知A（1，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y 图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（    ）

A．（3，0） B．（ ，0） C．（ ，0） D．（ ，0）

9．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与双曲线y＝ 的图象交于A，B两点，点P在x轴的正半轴上，若PA⊥PB，则OP的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．4 D．2

10．如图， ， 曲线 是双曲线 的一部分．曲线 与 组成图形G．由点C开始不断重复图形G形成一条“波浪线"．若点 ， 在该“波浪线上，则m的值及n的最大值为（   ）

A． ， B． ， C． ， D． ，

二、填空题

11．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中， 的最小值为2，则 _______________．

12．如图，已知点 都在反比例函数 的图象上．将线段AB沿直线 进行对折得到线段 ，且点 始终在直线OA上．当线段 与x轴有交点时，b的取值的最大值是____．

13．设函数 ， ，当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，则 _____．

14．如图，矩形OABC的面积为4，反比例函数 的图象与矩形的两边AB、BC分别交于点E、F，则四边形OAEF的面积最大值为_________．

15．观察理解：当a＞0，b＞0时， ，∴ ，由此可得结论： ．即对于正数a，b，当且仅当a=b时，代数式 取得最小值 ．

问题解决：如图，已知点P是反比例函数 （x＞0）图象上一动点，A（ ， ），则△POA的面积的最小值为________．

16．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数 的图象上运动，且始终保持线段 的长度不变，M为线段 的中点，连接 ，则线段 的长度最小值是___________．

17．已知直线 与双曲线 相交于点 ， ，则 的最大值是__________．

18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与边长是 的正方形 的两边 ， 分别相交于 ， 两点， 的面积为 ，若动点 在 轴上，则 的最小值是______．

三、解答题

19．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形 木板，它是矩形 木板用去 后的余料， ， ， ， 是 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在 上．

(1)[初步探究]

当 时．

①若截取的矩形有一边是 ，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是 ，则截取的矩形面积的最大值是______；

2. [问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料， ， ， ， ， ，且 和 之间的距离为4，若以 所在直线为 轴， 中点为原点构建直角坐标系，则曲线 是反比例函数 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形 材料，其中一条边在 上，所截矩形 材料面积是 ．求 的长．

20．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的点 和点 ．过点 作x轴的垂线，垂足为点 ， 的面积为3

(1)分别求出一次函数 与反比例函数 的表达式；

(2)结合图象直接写出 的解集；

(3)在x轴正半轴上取点 ，使 取得最大值时，求出点 的坐标．

21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，交反比例函数 的图象于点 ，点P在反比例函数的图象上，横坐标为 轴交直线 于点Q，D是y轴上任意一点，连接 ．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求 面积的最大值．

22．阅读与思考

下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如果 ， ，那么 ，即 ，得 ，即 是 的最小值，当 时，等号成立． 例题：当 时，求 的最小值． 解：令 ， ，由 ，得 ， ∴ ， 故当 时， 有最小值2．

任务：

1. 填空：已知 ，只有当 ______时， 有最小值，最小值为______．

2. 如图，P为双曲线 上的一点，过点P作 轴于点C， 轴于点D，求 的最小值．

23．某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q(件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（ ）成反比例，且可以得到如下信息：

售价x（元/件）	5	8
商品的销售量Q（件）	580	400

1. 求Q与x的函数关系式．

2. 若生产出的商品正好销完，求售价x．

3. 求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？

24．如图 ，矩形 的顶点 、 分别落在 轴、 轴的正半轴上，点 ，反比例函数 的图象与 、 分别交于 、 两点， ，点 是线段 上一动点．

1. 求反比例函数关系式和点 的坐标；

2. 如图 ，连接 、 ，求 的最小值；

3. 如图 ，当 时，求线段 的长．

参考答案

1．D

【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含k的代数式表示y₁的最大值，y₂的最小值，再解方程组即可.

解： 函数y₁＝ （k＞0），当﹣3≤x≤﹣2时，y₁的最大值为a，

当 时， 最大，此时

y₂＝﹣ （k＞0），y₂的最小值为a+2，

当 时， 最小，此时

解得：

故选D

【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.

2．B

【分析】作点M关于x轴的对称点 ，连接 ，与x轴的交点为P，此时PM＋PN的值最小，根据正方形的边长为8，表示出M， N点坐标，再根据△OM N的面积即可求出k的值，进一步求出M，N， 的坐标，即可求出PM＋PN的最小值 的值．

解：如图，作 x轴交 于点 ，作点M关于x轴的对称点 ，连接 ，与x轴的交点为P，此时PM＋PN的值最小，

∵正方形OABC的边长为8，且M，N在反比例函数图象上，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴

∴ ，

解得： ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

即PM＋PN的最小值为 ．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数与正方形的综合，根据正方形的性质以及反比例函数图象上点的特征求出点M和N的坐标是解决本题的关键．

3．B

【分析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A， E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，求出A，E点坐标，即可求出k的取值范围，进一步可知k的最大值．

解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，

∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上，

∴A(1,1)，

又∵AB=AC=2， 轴， 轴，

∴B(3,1)，C(1,3)，且 为等腰直角三角形，

BC的中点坐标为 ，

即为(2,2)，

∵点(2,2)满足直线y=x，

∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)，

∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，

当双曲线与△ABC有交点时，1⩽k⩽4，即k的最大值为：4

故选：B

【点拨】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的关键是求出E点坐标为(2,2)，利用点A，E坐标求出k的取值范围．

4．A

【分析】由图象可直接判断①；当y₁＝y₂时，作出图形，可直接判断②；在②的基础上可得出△OAB的面积，进而可判断③；当OA＋AB最小时，需要OA最小且OB最小时取得，只需要分别求出OA和OB的最小值即可判断④．

解：当x₁＝x₂＝1时，y₁＝k₁，y₂＝k₂，显然y₂＞y₁，则k₂＞k₁.故①正确；

当y₁＝y₂时，x₂＝ ，x₁＝ ，由k₂＞k₁可得x₂＞x₁.故②正确；

当y₁＝y₂时，如图所示，此时△OAB的面积可能是 ，故③正确；

当OA＋AB最小时，需要OA最小且OB最小时取得，

设点A的坐标为（m，n），

∴OA²＝m²＋n²≥2mn＝2k₁，

当且仅当m＝n时，OA有最小值 ，

同理可得OB有最小值 ，

∴OA＋OB的最小值为 ，故④正确．

综上可得，正确的有：①②③④，共4个，

故选：A．

【点拨】本题主要考查反比例函数中k的几何意义，关键是知道当OA＋AB最小时，需要OA最小且OB最小时取得．

5．A

【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的性质解答即可．

解：∵k=5＞0，

∴在每个象限内y随x的增大而减小，

又∵当x=5时，y=1，

∴当x＞5时，y＜1；

∴函数 有最大值1

故选：A．

【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．

6．B

【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为（1，3），D点坐标为（-3，-1），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．

解：∵点A（a，1），B（b，3）都在双曲线y=- 上，

∴a×1=3b=-3，

∴a=-3，b=-1，

∴A（-3，1），B（-1，3），

作A点关于x轴的对称点D（-3，-1），B点关于y轴的对称点C（1，3），连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，

∵QB=QC，PA=PD，

∴四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD，

∴AB= ，

∴四边形ABPQ周长最小值为2 +4 =6 ，

故选：B．

【点拨】此题考查反比例函数的综合题，勾股定理，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．

7．C

【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在 上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为 ，由此可求解．

解：∵当 时，y的最大值是3，

∴反比例函数经过第二象限，

∴k＜0，

∴在 上，y值随x值的增大而增大，

∴当x=—1时，y有最大值—k，

∵y的最大值是3，

∴—k=3，

∴k=—3，

∴ ，

当 时， 有最小值 ，

故选：C．

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．

8．A

思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

解：∵把A（1，y₁），B（2，y₂）代入反比例函数y 得：y₁＝2，y₂＝1，

∴A（1，2），B（2，1），

∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把A、B的坐标代入得： ，

解得：k＝﹣1，b＝3，

∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，

当y＝0时，x＝3，

即P（3，0）．

故选：A．

9．D

【分析】由图象的对称性可得 ，从而可得 ，设点 坐标为 ，进而求解．

解：如图，

直线 与双曲线 的图象关于原点成中心对称，

，即点 为 中点，

，

在 中， ，

设点 坐标为 ，则 ，

当 ，即 时， 取最小值为 ．

故选：D．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半．

10．C

【分析】根据题意利用点B的坐标可以求k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m的值和n的最大值．

解：∵点 在双曲线 的图象上，

∴ ，

∵ ，曲线 与 组成图形G．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．

∴C的纵坐标为1，

∵点C在 的图象上，点C的纵坐标为1，

∴点C的横坐标是5，

∴点C的坐标为 ，

∵ ，

∴ 中 ，

∵ 在该“波浪线”上，

∴结合图象，可知n的最大值是5．

综上所述， ， ．

故选：C．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11．

【分析】如图（见分析），先根据一次函数与反比例函数的性质可得点 是 的中点，再根据三角形中位线定理可得 ，从而可得 的最小值为4，然后根据垂线段最短可得当 轴时， 取得最小值，从而可得此时点 的纵坐标为 ，最后代入一次函数的解析式可得点 的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得．

解：如图，连接 ，

由题意得：点 是 的中点，

点 为 的中点，

是 的中位线，

，

点C运动过程中， 的最小值为2，

点C运动过程中， 的最小值为4，

由垂线段最短得：当 轴时， 取得最小值，

此时点 的纵坐标为 ，

将 代入一次函数 得： ，解得 ，

即 ，

将 代入反比例函数 得： ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．

12．

【分析】由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解这个方程求出m的值，由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A₁始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A₁在x轴上、B₁在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围，再确定b的最大值．

解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y= 的图象上．

∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．

解得：m=3．

①当点B₁落到x轴上时，如图1，

设直线OA的解析式为y=ax，

∵点A的坐标为（3，4），

∴3a=4，即a= ．

∴直线OA的解析式为y= x．

∵点A₁始终在直线OA上，

∴直线y=kx+b与直线OA垂直．

∴ k=-1．

∴k= ．

∴直线y= x+b，

由于BB₁∥OA，可设直线BB₁解析式为y= x+c．

∵点B的坐标为（6，2），

∴ ×6+c=2，即c=-6．

∴直线BB₁解析式为y= x-6．

当y=0时， x-6=0．则有x= ．

∴点B₁的坐标为（ ，0）．

∵点C是BB₁的中点，

∴点C的坐标为（ ， ）即（ ，1）．

∵点C在直线y=- x+b上，

∴ × +b=1．

解得：b= ．

②当点A₁落到x轴上时，如图2，

此时，点A₁与点O重合．

∵点D是AA₁的中点，A（3，4），A₁（0，0），

∴D（ ，2）．

∵点D在直线y= x+b上，

∴ × +b=2．

解得：b= ．

综上所述：当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为 ≤b≤ ．

b的取值的最大值是 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等知识，利用线段A₁B₁与x轴有交点时，分类讨论A₁、B₁在x轴上的思想方法，是一道好题．

13．2

【分析】首先根据k与x的取值分析函数 ， 的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．

解：∵k＞0，2≤x≤3，

∴y₁ 随x的增大而减小，y₂随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y₁取最大值，最大值为 =a①；

当x＝2时，y₂ 取最小值，最小值为− ＝a−4②；

由①②得a＝2，k＝4，

故答案为：2．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．

14．

【分析】设B（a，b），则ab=4，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得E点，F点的坐标，进而可得关于BE，BF长度的代数式，根据三角形的面积公式，以及反比例函数系数k的几何意义，得到关于四边形OAEF的面积的代数式，利用二次函数的最值求解即可．

解：设B（a，b），则ab=4，E（ ，b），F（a， ），

则四边形OAEF的面积为：

，

，

故当k=2时，四边形OAEF的面积最大，最大面积为： ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数，以及反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．

15．2

【分析】将△POA的面积表示出来，再结合材料所给的信息，即可求解．

解：过点P作y轴的垂线，与过点A作的x轴的垂线交于点B，过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点P作x轴的垂线交x轴于点D，如图，

∵点P是反比例函数 （x＞0）图象上一动点，

设点 ，其中a>0，

∵A（ ， ），

∴ ，

∴

，

∵a>0，

∴ ，

∴ ，

∴对于正数 ，当且仅当 时，代数式 取得最小值为2．

∴△POA的面积的最小值为2．

故答案为：2．

【点拨】本题考查了反比例函数与三角形面积的综合应用，解题的关键是读懂材料．

16．

【分析】如图，当 时，线段 长度的最小．首先证明点A与点B关于直线 对称，因为点A，B在反比例函数 的图象上， ，所以可以假设 ，则 ，则 ，整理得 ，推出 ， ，可得 ，求出 即可解决问题．

解：如图，因为反比例函数关于直线 对称，观察图象可知：当线段 与直线 垂直时，垂足为M，此时 ， 的值最小，

∵M为线段 的中点，

∴ ，

∵点A，B在反比例函数 的图象上，

∴点A与点B关于直线 对称，

∵ ，

∴设 ，则 ，

∴ ，

整理得 ，

解得： （负值舍去），

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴线段 的最小值为 ．

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断 取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．

17．1

【分析】由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解．

解：由直线 与双曲线 相交于点 可得： ，

∴ ，

∵

∴当 时， 有最大值，最大值为1；

故答案为1．

【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．

18．

【分析】由正方形 的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为6，求得 ， ，根据三角形的面积列方程得到 ， ，作E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，则 的长 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解：∵正方形 的边长是3，

∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵ 的面积为 ，

∴ ，

∴ 或 （舍去），

∴ ， ，

作E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，则 的长 的最小值，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

19．(1)①4；②10；(2)

【分析】（1）①当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

②当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

（2）由题意可知 ， ， ， ，再由 点在函数 图象上，求出反比例函数的解析式为 ，再求点 ， ，用待定系数法求出直线 的解析式，设 ，则 ，再由方程 ，求出 的值即可求 的长．

（1）解：①当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

， ，

，

截取的矩形面积的最大值4；

故答案为：4；

②当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

， ，

，

截取的矩形面积的最大值10；

故答案为：10；

（2）解： ，

， ，

，

， ，

点在函数 图象上，

，

反比例函数的解析式为 ，

和 之间的距离为4， ，

，

，

，

设直线 的解析式为 ，

，

解得 ，

，

设 ，则 ，

，

解得 ，

的长为 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．

20．(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数表达式为 ；(2) 或 ；(3)

【分析】（1）由 的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点 坐标代入可求b的值．

（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．

（3）作对称点 关于x的对称点 ，直线 与x轴交点就是所求的点 ，求出直线与x轴的交点坐标即可．

（1）解：根据题意， ，

，

，

结合图形，可得 ，

将 代入 得 ，

反比例函数的表达式为 ．

把 代入反比例函数得 ，

，

将 和 代入 解得： ， ，

一次函数表达式为 ．

（2）由图象可以看出的 解集为 或 ．

（3）解：如图，作点 关于x轴的对称点 ，连接 与x轴交于 ，此时 最大．

，

，

设直线 的关系式为 ，将 ， 代入，

解得 ， ，

直线 的关系式为 ，

当 时，解得 ，

．

【点拨】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．

21．(1) ； ；(2)4

【分析】（1）利用点 、 求解一次函数的解析式，再求 的坐标，再求反比例函数解析式；

（2）设 则 再表示 的长度，列出三角形面积与 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．

（1）解：把 代入一次函数 得：

，解得： ，

∴一次函数的关系式为 ，

∴把 代入得 ，

∴将 代入 得 ，

∴ ；

（2）∵点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上 ，

∴点 ，点Q ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴当 时， ，

所以， 面积的最大值是4．

【点拨】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．

22．(1)2,4；(2)

【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；

（2）设 的坐标为 ， ，可得 ，然后根据阅读材料的结论解答即可．

（1）解：令 ， ，由 ，得 ，

∴ ，

故当 时， 有最小值4．

故答案为2,4．

（2）解：设 的坐标为 ，

∴

∴

∴ 的最小值为 ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解 成为解答本题的关键．

23．(1) ；(2) ；(3)当 时，月销售额最大，最大值为3400元

【分析】（1）设 ，将 、 代入求解可得；

（2）求出 时x的值即可得；

（3）根据月销售额 且 可得．

解：（1）设 ，依题意，得

解得

∴

（2）当 时

解得

（3）依题意，得月销售额

∵

∴Q随x的增大而增大

则当 时，月销售额最大，最大值为3400元

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．

24．(1) ， ；(2) ；(3)

【分析】（1）根据题意求出点 的坐标，进而求出反比例函数关系式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点 的坐标；

（2）根据轴对称 最短路径确定点 的位置，根据勾股定理计算，得到答案；

（3）过点 作 于 ，根据勾股定理求出 ，设 ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理列出方程，解方程得到答案．

解：（1） 点 的坐标为 ， ，

点 的坐标为 ，

反比例函数 的图象经过点 ，

反比例函数的解析式为： ，

由题意得：当 的纵坐标为 ，

点 的横坐标为 ，

点 的坐标为 ；

（2）如图 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，

则 的值最小，

由（1）可知，

由勾股定理得： ，

的最小值为 ；

（3）如图 ，过点 作 于 ，

则 为等腰直角三角形，

， ，

，

设 ，

则

，

，

在 中， ，

即

整理得：

解得 （舍去）

【点拨】本题考查的是矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称 最短路径以及勾股定理的应用，作出 的最小时，点 的位置是解题的关键．