【324253】2024八年级数学下册 专题6.28 反比例函数（最值问题）（培优篇）（新版）浙教版

专题6.28 反比例函数（最值问题）（培优篇）

反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最值问题，还有就是利用非负性求最值，本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题

1．已知 ，若当 时，函数 的最大值与最小值之差是1，则a的值为（   ）

A． B． C．2 D．3

2．已知直线 与双曲线 交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值，a的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是(   )

A． B．10 C． D．

4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于 和 两点，点 是线段 上一动点(不与 ， 重合)，过 点分别作 轴和 轴的垂线 ， 交反比例函数图象于 ，则四边形面积PMON最大值是（  ）

A．12.5 B．12.25 C．14 D．12

5．反比例函数y= 的图象向右平移 个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（　　）

A．y1，y2 B．y43，y44 C．y44，y45 D．y2014，y2015

6．如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上运动(点P不与点A，B重合)，反比例函数y＝ 的图象过点P，则k的最大值为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

7．如图，直线l₁解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，与双曲线交于点P（﹣1，1）．点M是双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D，当四边形ABCD的面积取最小值时，则点M的坐标为（　　）

 

A．（1，﹣1） B．（2，﹣ ） C．（3，﹣ ） D．不能确定

8．如图，点 ， 都在双曲线 ( )上， 分别是 轴， 轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式为(     )

A． B． C． D．

9．如图，直线 ： 交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作 的垂线，交双曲线 ，直线 于B、Q两点（ ）．当 取最小值时，点B的横坐标为（　 　）

A． B．1 C． D．

10．如图，在平面直角坐标系 中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形 是边长为3的正方形，反比例函数 的图像与 边分别交于 两点， 的面积为4，点P为y轴上一点，则 的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．5

二、填空题

11．已知直线 与双曲线 相交于点 ， ，则 的最大值是__________．

12．如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，连接 、 ， 轴于 ， 轴于 ，设 ， 的解析式分别为 ， ，现有以下结论：① ；② ；③若 ，则 ；④ 有最小值．其中正确的是 _____．(写出所有正确结论的序号)

13．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的边 垂直 轴于点 ，反比例函数 的图像经过 的中点 ，与边 相交于点 ，若 的坐标为 ， ．

（1）反比例函数 的解析式是_________；

（2）设点 是线段 上的动点，过点 且平行 轴的直线与反比例函数的图像交于点 ，则 面积的最大值是_________．

14．如图所示，双曲线 上有一动点A，连接 ，以O为顶点、 为直角边，构造等腰直角角形 ，则 面积的最小值为________．此时A点坐标为_________．

15．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，则线段 的长度的最小值是______．

16．如图所示，反比例函数 在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．

17．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），点C（m，6）为反比例函数y＝ 图象上一点，将△AOB绕B点旋转得到△A'O'B'（设旋转角为α，0°＜α＜360°），则点C到直线A'O'距离的最大值为_____．

18．如图，已知∠AOB在平面直角坐标系的第一象限中，且∠AOB=30°，其两边分别交反比例函数y= 在第一象限内的图象于A、B两点，连结AB，当∠AOB绕点O转动时，线段AB的最小值为_______

三、解答题

19．阅读理解：已知，对于实数 ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立，此时取得代数式 的最小值．根据以上结论，解决以下问题：

(1)若 ，当且仅当 ______时， 有最小值，最小值为______．

(2)①如图13—1，已知点P为双曲线 上的任意一点，过点P作 轴， 轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；

②如图13—2，已知点Q是双曲线 上一点，且 轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于点 和点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．

(1)求反比例函数的表达式和直线 的表达式；

(2)若在 轴上有一异于原点的点 ，使 为等腰三角形，求点 的坐标；

(3)若将线段 沿直线 进行对折得到线段 ，且点 始终在直线 上，当线段 与 轴有交点时，求 的取值的最大值．

21．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．

对于任意正实数 、 ，可作如下变形：

，

又∵ ，

∴ ，即 ．

根据上述内容，回答下列问题：

1. 在 （ 、 均为正实数）中，当且仅当 、 满足______时，等号成立．

2. 思考解答：如图1， 中， ， ，垂足为 ， 为 边上中线， ， ，试根据图形说明 成立，并指出等号成立时的条件．

3. 探索应用：如图2，已知 为反比例函数 的图象上一点， 点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在 处旋转，保持两直角边始终与 轴交于两点 、 ，点 为 轴上一点，连接 、 ，求四边形 面积的最小值．

22．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段 为边在第一象限作等边 ， ，且 轴．

(1)若点C在反比例函数 （ ）的图象上，求该反比例函数的解析式；

(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形 是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的条件下，取 的中点M，将线段 沿着y轴上下移动，线段 的对应线段是 ，直接写出四边形 周长的最小值．

23．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 （x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：

1. 设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 　　　（1＜x＜9）；

2. 为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：

①列表：

x	1		2	3	4		6	9
y	0		m	4			n	0

表中m＝　　　，n＝　　　；

②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．

③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝　　　时，y的最大值为 　　　．

3. 应用：①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系 ，求m取最大值时矩形的对角线长．

②如图3，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 （x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．

24. 如图1，在平面直角坐标系中， ，经过A，B两点的直线与反比例函数 在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数 在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为（3，5）．

1. 求直线AC的解析式及E点的坐标；

2. 若 轴上有一动点F，直线AB上有一动点G．当 最小时，求 周长的最小值；

3. 如图2，若 轴上有一动点Q，直线AB上有一动点 ，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出P点到直线AC的距离．

参考答案

1．C

【分析】根据反比例函数的性质和题意，利用分类讨论的数学思想可以求得a的值，本题得以解决．

解：当 时，

函数 中在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵当1≤x≤2时，函数 的最大值与最小值之差是1，

∴ ，得a=-2（舍去），

当a＞0时，

函数 中在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵当1≤x≤2时，函数 的最大值与最小值之差是1，

∴ ，得a=2,

故选择：C.

【点拨】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答．

2．B

【分析】根据AB的长度最小，可得一次函数是正比例函数，可得答案．

解：直线y=﹣x+a﹣1与双曲线 交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，一次函数是正比例函数，∴a﹣1=0，

解得：a=1．

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，得到线段AB的长度取最小值时，一次函数是正比例函数是解题的关键．

3．C

解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6， ），N（ ，6），∴BN=6﹣ ，BM=6﹣ ．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣ ×6× ﹣ ×6× ﹣ × =10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = = ．故选C．

4．A

【分析】设反比例函数解析式为y= ，一次函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法求出反比例与一次函数的解析式，再利用分割图形求面积法找出S_四边形PMON关于m的函数关系式，利用配方法解决最值问题．

解：设反比例函数解析式为y= ，一次函数解析式为y=ax+b，

将点A（1，12）代入y= 中，得k=12，

∴反比例函数解析式为y= ，

将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，

得 ，解得

∴一次函数解析式为y=-2x+14．

设点P的坐标为（m，14-2m），

则S_四边形PMON=S_矩形OCPD-S△_OCM-S△_ODN=S_矩形OCPD-|k|=m（14-2m）-12=-2m²+14m-12=-2(m- )²+12.5.

∴四边形PMON面积的最大值是12.5．

故选A．

【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S_四边形PMON关于m的函数关系式．本题难度不大，利用分割图形求面积法是解题关键．

5．C

【分析】图象y= 向右平移 个单位长度得到一个新的函数y= ，因为44＜ ＜45，结合图形可知：当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y₄₄，当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y₄₅．

解：图象y= 向右平移 个单位长度得到一个新的函y= ，

∵44＜ ＜45，

∴当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y₄₄，

当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y₄₅．

故选C．

【点拨】本题考查反比例函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

6．A

【分析】一次函数与反比例函数有交点，则-2x+4═ ，只有一个交点，则△≥0.

解：将y=-2x+4代入y= ，得-2x+4═ ，

整理得，2x²-4x+k=0，

∵两个函数图象只有一个公共点，

∴△=(-4)²-4×2•k≥0，

解得k≤2，

∴k的最大值为2.

故选A．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.

7．A

【分析】先求出A、B两点的坐标，有P（﹣1，1）在反比例函数图象上求得解析式为y ，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a， ）；再设直线l₂的解析式为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l₂的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因为AC⊥BD，有S_四边形ABCD AC•BD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可求得S_四边形ABCD的最小值，故可得出a的值，由此得出结论．

解：∵直线l₁解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，2）．

设反比例函数的解析式为y ．

∵点P（﹣1，1）在反比例函数y 的图象上，∴k=xy=﹣1，∴反比例函数的解析式为y ．

∵点M在第四象限，且在反比例函数y 的图象上，∴可设点M的坐标为（a， ），其中a＞0．

设直线l₂的解析式为y=bx+c，则ab+c ，∴c ab，∴y=bx ab．

∵直线y=bx ab与双曲线y 只有一个交点，∴方程bx ab 即bx²﹣（ ab）x+1=0有两个相等的实根，∴[﹣（ ab）]²﹣4b=（ ab）²﹣4b=（ ab）²=0，∴ ab，∴b ，c ，∴直线l₂的解析式为y ，∴当x=0时，y ，则点D的坐标为（0， ）；

当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0），∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（ ）=2 ．

∵AC⊥BD，∴S_四边形ABCD AC•BD （2a+2）（2 ）=4+2（a ）=4+2[（ ）²+2]

=8+2（ ）²．

∵（ ）²≥0，∴S_四边形ABCD≥8，∴当且仅当（ ）²=0，即a=1时，四边形有最小值，∴M（1，﹣1）．

故选A．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好题．

8．C

【分析】先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴的交点即为点P、Q，从而求出PQ所在直线解析式．

解：∵点 ， 都在双曲线 上

∴A(-3，1)，B(-1，3)

如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴交于点M、N

则点C(-3，-1)，D(1，3)

∵四边形ABQP的周长=AB+BQ+PQ+PA

其中，AB是定值，BQ=DQ，AP=CP，PQ=PQ

如上图，当点P、Q为M、N两点时

则CP、PQ、QD三段直线共线，距离最小

∴上图中点M、N即为P、Q

则将C、D两点代入，可求得PQ所在直线解析式为：

故选：C．

【点拨】本题考查最值问题，解题关键是利用对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．

9．A

【分析】因为B在反比例函数上，所以可设出B的坐标（ ， ），利用直线AO与直线BP垂直，可以求得直线BP的比例系数，从而得到直线BP的解析式，联立直线BP和直线OA，可以求得交点Q的坐标，过B和Q分别做x轴的垂线，如图1，利用“斜化直”思想，得到 ，继而用n表示出 ，利用分离整数部分的方法，对化简后的结果进行整理和配方，讨论出 取最小值时n的值．

解：设B为（n， ），

则可设直线BP为 ，

设直线BP与y轴交于N点，

令x＝0，则 ，

∴N（0， ），

设直线 与y轴交于M点，

同理可得M（0， ），

令y＝0，则 ，

∴ ，

∴A（1，0），

同理，P（ ，n），

在Rt△AOM中， ，

∵∠OMA+∠ONP＝∠ONP+∠NPO＝90°，

∴∠OMA＝∠NPO，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或 ，

∵ ，

∴ ，

∴将 舍去，

∴ ，

∴直线BP为： ，

∴P（ ，0），

联立 ，

解得 ，

∴Q（ ， ），

过B作BG⊥x轴于G，过Q作QH⊥x轴于H，

则 ，

∴ ，

∴ ，

当 时， 取得最小值， 取得最小值，

此时B的横坐标为 ．

故选：A．

【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数交点问题，联立两个直线解析式求交点坐标，是本题的基本能力要求，利用“斜化直”思想是解决本题的关键．

10．B

【分析】由正方形 的边长是3，得到点 的横坐标和点 的纵坐标为3，求得 ， ， ，根据三角形的面积列方程得到 ， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解： 正方形 的边长是3，

点 的横坐标和点 的纵坐标为3，

， ， ，

， ，

的面积为 ，

，

或 （舍去），

， ，

作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，

，

， ，

，

即 的最小值为 ，

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数的系数 的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

11．1

【分析】由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解．

解：由直线 与双曲线 相交于点 可得： ，

∴ ，

∵

∴当 时， 有最大值，最大值为1；

故答案为1．

【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．

12．①③##③①

【分析】①联立直线 与双曲线 ，依题意得出方程 有两个不相等的实数根，得出 ，得出 ，即可判断①，作直线 ，交 于 ，则 ，设点 ，证明 ， ，同理可得， ，进而根据 即可判断③，当 时， ， ，即可判断②；根据题意得出 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 即可判断④

解：令 ，整理得： ，

直线 与双曲线 交于 、 两点，

方程 有两个不相等的实数根，

，

或 ，

，

，故①正确；

如图 ，作直线 ，交 于 ，则 ，

设点 ，

点 、 在双曲线 上，

，

将 代入 中，整理得： ，

，

又 ，

，

， ，

在 和 中，

，

，

， ，

直线 是由直线 平移之后所得，直线 是第二、四象限的角平分线，

，

，

，

， ，

，

在 和 中，

，

，

同理可得， ，

，

，

1，故③正确；

，

当 时， ， ，

、 、 、 不再彼此全等，

，故②错误；

， 的解析式分别为 ， ， ，

， ，

，

，

，

，

，

，

没有最小值，故④错误；

综上所述：结论正确的是①③．

故答案为：①③．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键．

13．         

【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；

（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．

解：（1）∵AD＝3，D（4，m），

∴A（4，m＋3），

∵点C是OA的中点，

∴ ，

∵点C，D在双曲线y＝ 上，

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为y＝ ；

（2）∵m＝1，

∴C（2，2），D（4，1），

设直线CD的解析式为y＝ax＋b，

∴ ，

∴

∴直线CD的解析式为 ，

故答案为： ；

如图，设点 ，

C（2，2），D（4，1），

∴2＜n＜4，

∵EF∥y轴交双曲线 于F，

∴ ，

∴EF＝− n＋3− ，

∴S_△OEF＝

∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为 ，

故答案为：

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S_△OEF与n的函数关系式．

14．     2    

【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB OA•OB OA²，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．

解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，

∴S△OAB OA•OB OA²，

∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，

∵当直线OA为y＝x时，OA最小，

解 得 或 ，

∴此时A的坐标为（ ， ），

∴OA＝2，

∴S△OAB OA² 2，

∴△OAB面积的最小值为2，

故答案为：2；A的坐标为（ ， ）．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键．

15．

【分析】根据点P和点Q的坐标特点，点P可看作在直线 上运动，点Q在反比例函数 上运动．将直线 和反比例函数 置于同一坐标系中，向上平移直线 与 相交于点Q，过点Q作AB的垂线与直线 相交于点P，此时线段 的长度的最小．设平移后直线的解析式为 ，与 相交于点Q，且只有一点，求解方程得到点Q的坐标，再根据勾股定理可求．

解：∵点 ，点

∴点P可看作在直线 上运动，点Q在反比例函数 上运动，

如上图所示，将直线 和反比例函数 置于同一坐标系中，直线 分别与y轴、x轴相交于A、B两点，向上平移直线 与 相交于点Q，过点Q作AB的垂线与直线 相交于点P，

∵平行线之间距离最短，

∴此时线段 的长度的最小．

设平移后直线的解析式为

∵与 相交于点Q，且只有一点，

∴

∴ ， （舍去）

∴ ，解得 ， （舍去）

∴QB= QA=2，

∴

∵

∴

∴

故答案为： ．

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合运用．涉及一次函数的平移，求一次函数和反比例函数的交点，交点只有一个对应一元二次方程的判别式为0，勾股定理等知识点，综合性较强．

16．18

【分析】利用等边三角形的性质及三角形的面积公式可得出 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，利用两点间的距离公式及完全平方公式可求出 的最小值，进而可得出 面积的最小值；

解： 为等边三角形，

．

设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，

．

，

，

．

故答案为：18．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、三角形的面积、完全平方公式，解题的关键是利用完全平方公式及偶次方的非负性，求出 的最小值．

17．2+ ．

【分析】如图，连接BC，利用待定系数法求出点C的坐标，观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大．

解：如图，连接BC，

∵点C（m，6）在y＝ 上，

∴6m＝18，

∴m＝3，

∴C（3，6），

∵B（2，0），

∴BC＝ ＝ ，OB＝2，

观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大，最大值为2+ ．

故答案为2+ ．

【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18． ．

试题分析：由题意，根据对称性，可知当∠AOx=30°时，线段AB的最小，求出A，B的坐标，即可得出结论．

解：由题意，根据对称性，可知当∠AOx=30°时，线段AB的最小，

此时直线OA的方程为y= ，与y= 联立，得

，

解得： 或 ，

即A（ ，1），B（1， ），

∴|AB|= ．

考点：反比例函数综合题．

19．(1)1，2；(2)① ，周长最小值为 ；②存在， 或 或

【分析】（1）根据题意即可完成解答；

（2）①设 ，则可得周长 ，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标；

②由于 ，由题意可求得 的最小值，从而求得点P的坐标；由 轴且点Q在 ，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标．

（1）解：由题意，当且仅当 ，即 （负值舍去）时， ，即 有最小值，最小值为2；

故答案为：1，2；

（2）解：①∵点P为双曲线 上的任意一点，    

∴设 ，

∴四边形OAPB的周长 ，

当四边形OAPB的周长取得最小值时，即 ，        

即 的最小值为 ，此时 ，解得： （负值舍去），

∴ ，周长最小值为 ；

②存在．

∵点P为双曲线 上的任意一点，    

∴设 ，

，

，

当 时，解得： （负值舍去），

即当 时， 有最小值，从而 有最小值，

；

轴，且点Q在 ，

∴点Q的纵坐标为 ，且

，即 ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ， ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ， ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ，

只要把点Q沿 方向平移，平移距离为 长度，即可得到点C，

综上，点C坐标为 或 或 ．

【点拨】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等知识，读懂材料提供的方法并能灵活运用是解题的关键．

20．(1)反比例函数的表达式为 ，直线 的解析式为 ；(2) 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ；(3)当线段 与 轴有交点时， 的取值的最大值为

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）设 ，表示出 ， ， ，根据 为等腰三角形，则 或 或 ，分别建立方程求解即可得出答案；

（3）由于点A关于直线 的对称点点 始终在直线 上，因此直线 必与直线 垂直，当点 落到x轴上时，n的取值的最大，根据 ，求出点 的坐标，再将 的中点坐标代入 ，即可求得n的最大值．

解：（1） 反比例函数 的图象经过点 和点 ，

，

， ，

反比例函数的表达式为 ，

设直线 的解析式为 ，

， ，

，

解得： ，

直线 的解析式为 ；

（2）设 ，

则 ，

，

，

为等腰三角形，

或 或 ，

当 时， ，

，

解得： ，

；

当 时， ，

，

，

此方程无解；

当 时， ，

，

解得： ， ，

或 （舍去）；

综上所述， 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ；

（3）当点 落到 轴上时， 的取值的最大，如图，

设直线 的解析式为 ，

点 的坐标为 ，

，即 ．

直线 的解析式为

点 始终在直线 上，

直线 与直线 垂直．

．

．

，

由于 ，因此直线 可设为 ．

点 的坐标为 ，

，即 ．

直线 解析式为 ．

当 时， 则有 ．

点 的坐标为 ．

的中点坐标为 即 ，

点 在直线 上，

．

解得： ．

故当线段 与 轴有交点时， 的取值的最大值为 ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键．

21．(1) ；(2)说明见分析， 是等腰直角三角形时等号成立；(3)28

【分析】（1）根据题中例子可直接得出结论；

（2）根据直角三角形的性质得出 ， ，再由（1）中结论即可得出等号成立时的条件；

（3）过点A作 轴于点 ，根据 可知当 时 最小，由此可得出结论．

解：（1）∵ ， 、 均为正实数，

∴当且仅当 、 满足 时， 有最小值．

故答案为： ；

（2）∵ 中， ， ， 为 边上中线， ， ，

∴ ， ，

∴

∵ ，

∴ ，

∴当 时等号成立，

即有 ，

∴ 斜边的高线 和中线 重合，

∴ 是等腰直角三角形，

∴当 是等腰直角三角形时，等号成立；

（3）如图所示，过点A作 轴点 ，

∵A点为反比例函数 上的一点，横坐标为1，

∴点A的坐标为 ，即 .

∵点 为 轴上一点，

∴ ，

∴ ，

∴ 是一定的，要使 最小， 应最小，

由（2）可知，当 是等腰直角三角形时， 最小，

即有 斜边的高线和中线重合，

∴ ，

∴ ，

∴ 最小为8，

∴ ．

【点拨】本题考查了反比例函数，用配方法可求最大（小）值，在 （ 、 均为正实数）中，当且仅当 、 满足 时， 有最小值 是解题的关键．

22．(1) ；(2)存在， ；(3)

【分析】（1）如图1中，作 轴于 ．首先证明四边形 是矩形，利用反比例函数 的几何意义解决问题即可．

（2）如图2中，作 于 ，交反比例函数图象于 ，连接 ， ．求出 的坐标，证明四边形 是菱形即可．

（3）作点C关于y轴对称点 ，过点N作 轴，交 延长线于点D，在 上截取 ，连接 交y轴于 ，此时，四边形 最小，最小值为 ，求得 ， ， ，代入即可求解．

（1）解：（1）如图1中，作 轴于 ．

轴， 轴，

， ，

四边形 是平行四边形，

，

四边形 是矩形，

，

反比例函数的解析式为 ．

（2）解：如图2中，作 于 ，交反比例函数图象于 ，连接 ， ．

是等边三角形，面积为 ，设 ，则 ，

，

或 （舍弃），

， ， ，

N点纵坐标为1，

代入 可得 ，

，

，

，

， ，

，

，

四边形 是菱形，

存在点N，使四边形 是菱形，此时 ．

（3）解：如图，作点C关于y轴对称点 ，过点N作 轴，交 延长线于点D，在 上截取 ，连接 交y轴于 ，此时，四边形 最小，最小值为 ，

∵点M是 的中点，

∴ ，

∴ ，

由（2）知， ， ，

∴ ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵C关于y轴对称点 ，

∴ ，

∵ ， ，

∴四边形 是平行四边形，

∴

∴

∴

∴四边形 周长的最小值为 ．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，利用轴对称求最短距离问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

23．(1) ；(2)① ， ；②见分析；③图见分析，3，4；(3)① ；②12

【分析】（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式；

（2）①将x=2和x=6分别代入（1）中函数解析式即可；

②③通过描点、连线，观察图象可得答案；

（3）①将W=2（m+n）代入W=- +30中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题．

②先求出点A，点B坐标，设点M（x， ），可求CA，BD，由四边形ABCD面积= 列式，即可求解．

（1）解：∵点P的横坐标为x，

∴P（x，-x+10），Q（x， ），

∴y=-x+10- ，

故答案为：y=-x+10- ；

（2）解：①当x=2时，m=-2+10- = ，

当x=6，n=-6+10- = ，

故答案为： ， ；

②③如图所示，

观察函数图象，当x=3，时，y有最大值为4，

故答案为：3，4；

（3）解：①根据题意可得W=2（m+n）代入 中，可以得到m=-n+15- ，

即m=（-n+10- ）+5，

由（2）可知函数y=-n+10- 在n=3时，y取得最大值为4，

∴当n=3时，m=4+5=9，即m取得最大值9，

∵ ，

∴在m取得最大值9时，矩形的对角线长为 ．

②∵直线y=- x-2与坐标轴分别交于点A、B，

∴点A（-3，0），点B（0，-2），

设点M（x， ），

∴C（x，0），点D（0， ），

∴CA=x+3，DB= +2，

∵四边形ABCD面积= ，

由（2）得，当x=3时，y=-x+10- 有最大值为4，即 有最小值-4，

∴四边形ABCD面积的最小值为 =12．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键．

24．(1)（1，15）；(2) ；(3) 或 或0

【分析】（1）先确定出点A， C坐标，再用待定系数法求出直线AC的解析式，再用待定系数法出反比例函数解析式，联立求出点E坐标；

（2）先判断出GH = AG，进而判断出 EH 垂直于x轴时，EG+ AG最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在 上时，△EFG的周长最小，即可求出答案；

（3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标，最后用三角形的面积求出点P到直线AC的距离．

（1）解：∵OA=OB= OC=2，

∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，

∴C（0，10），

设直线AC的解析式为y=mx+10，

∴-2m+10=0，

解得m=5，

∴直线AC的解析式为y=5x+10①，

∵点D（3，5）在反比例函数 的图象上，

∴k=3×5=15，

∴反比例函数解析式为： ，

联立①②解得： ，

∴点E在第一象限内，

∴点E坐标为：（1，15）；

（2）如图1，

由（1）值，A（-2，0），B（0，2），

代入y=kx＋b中，可得k=1，b=2，

∴直线AB的解析式为：y=x+2，

过点G作GH⊥x轴于点H，

∵OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∴GH= ，

∴ ，

点G在EH上，且EH⊥x轴，

即G（1，3）时，EG＋ 最小，如图2，

作点G（1，3）关于y轴的对称点 ，连接 ，则 ，

∴ （-1，3），连接 交y轴于 ，

此时，△EFG的周长最小，其值为： ，

即△EFG的周长最小值为 ；

（3）

解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，

设P（p，p+2），Q（0，q），

∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），

①当PQ与DE为对角线时，

，

∴p=4，

∴P（4，6），

如图3，

过P作PK⊥AC于K，

∵A（-2，0），C（0，10），

∴AC= ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即点P到直线AC的距离为 ；

②当PE与DQ为对角线时，

，

∴p=0，

∴P（0，2），此时，点P与点B重合，

同①方法可得，点P到直线AC的距离为 ，

③当PD与QE为对角线时，

，

∴p=-2，

∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，

∴点P到直线AC的距离为0，

综上所述点P到直线AC的距离为 或 或0．

【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、函数图象的交点坐标的求法、三角形的面积的求法、平行四边形的性质、对称性、极值的确定等知识，解题的关键是用分类讨论的思想解决问题．