专题6.13
“设参求值”解决反比例函数问题（例题讲解）
“设参求值”是学生学习的一个难点，但近几年以来，它又是中考中的一个热点，尤其是在学习反比例函数和二次函数中更是经常用到“设参求值”解决问题，因此，在学习一次函数中融入“设参求值”的学习就显得相当重要了。
设参求值解决几何问题的步骤：设参数——表示点坐标——表标线段长——表示面积（周长）等——建立等量关系——列方程，从而达到解题的目的。
下面优选了一些典型例题进行学习，希望能给学生学习带来更多的启发。
【典型例题】
【类型一】利用面积关系建立方程
1、如图，矩形
，双曲线
分别交
、
于
、
两点，已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设F点的坐标为
，可求得点E的坐标为
，根据三角形面积公式得到
，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
解：∵四边形
是矩形，
，
，
∴设F点坐标为
，点E的纵坐标为3，
，解得
，
点坐标为
，
则
，
整理得：
，
解得
或
(不合题意，舍去)，
，
∵双曲线
分别交
、
于
、
两点，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A为函数
图象上的一点，点B在y轴上，点C在x轴上，
，
，当
的面积为2时，k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点A作
轴于M，根据等腰三角形的判定得出
，根据
，得出
，设
，根据
，列出关于x的方程，解方程，得出x的值，求出点A坐标
，即可得出答案．
解：如图，过点A作
轴于M，如图所示：
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，由题意得，
，
即
，
解得：
，
∴
，
∴点
，
∵点A在反比例函数
图象上，
∴
，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出点A的坐标．
【变式2】如图，点A是反比例函数
图象上一点，
的顶点B在x轴上，点C在y轴上，
，
，
与y轴相交于点D，且
，若
的面积为5，则
（ ）
A．
B．5 C．2 D．4
【答案】C
【分析】过点
作
轴于点
，作
轴于点
，先利用三角形的中位线定理可得
，设点
的坐标为
，则
，
，
，再根据三角形全等的判定证出
，根据全等三角形的性质可得
，从而可得
，然后利用两点之间的距离公式可得
，最后根据三角形的面积公式可得
，将点
代入反比例函数的解析式即可得．
解：如图，过点
作
轴于点
，作
轴于点
，
，
，
，
设点
的坐标为
，则
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
又
，
，即
，
，
又
，
，
，
的面积为5，
，即
，
解得
，
将点
代入
得：
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、反比例函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【类型二】利用线段关系建立方程
2、如图，正方形
的边
在x轴上，反比例函数
的图象经过点A和
边上点E，若正方形
的边长为6，
，则k的值是________．
【答案】12
【分析】由正方形
的边长为6，
可求
，设A点坐标为
，则点E的坐标为
，可得
，求出
，即可求出结果．
解：∵四边形
是正方形，
，
，
，
设A点坐标为
，则点E的坐标为
，
∵反比例函数
的图象经过点A和E，
，
，
，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，熟练掌握在反比例函数上的点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，
为直角三角形，
，顶点A，C的坐标分别为
，
，
，函数
的图象经过点B，则k的值为_________．
【答案】
##
##6.75
【分析】根据点A、C的坐标可知
，进而求出
，再由
可求出
，通过作垂线构造等腰直角三角形可求出点B的坐标，即可求出k的值．
解：过点B作
轴，
∵点A、C的坐标分别为
、
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在
中，
，即
，
，
，
，
∴点B的坐标为
，
∵函数
的图象经过点B，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的横坐标和纵坐标的积是一个定值k是解题的关键．
【变式2】如图，点A在直线
上，
轴于点B，点C在线段
上，以
为边作正方形
，点D恰好在反比例函数
（
为常数，
）第一象限的图象上，连接
．
（1）若
，
，则
___________；
（2）若
，则
___________．
【答案】 16 7
【分析】（1）延长
交x轴于点F，先求出点A的坐标是
，则
,由四边形
是正方形得到
，则
，
轴，证明四边形
是矩形，得到
，则
，得
,进一步得到答案；
（2）设正方形的边长为
，则
，则
，
，得到
，
，由
得
，由点
在反比例函数
的图象上，即可得到
．
解：（1）延长
交x轴于点F，
∵
轴于点B，点C在线段
上，
，
∴点A的横坐标是5，
∵点A在直线
上，
∴点A的坐标是
，
∴
,
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
轴，
∵
,
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
,
∴点
,
∵点D恰好在反比例函数
，
∴
；
故答案为：16
（2）设正方形的边长为
，
，则
，
，
，
，
，
，
∵
，
，
，
点
在反比例函数
的图象上，
．
故答案为：7
【点拨】此题考查了反比例函数的性质、正比例函数、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
【类型三】直接“设参求值”求值
3、如图，矩形
的边
分别与反比例函数
的图象相交于点D、E，
与
相交于点F．
若点B的坐标为
，求点D、E、F的坐标；求证：点F是
的中点．
【答案】(1)
，
，
；(2)见分析
【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到
，
，再求出直线
和
的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为
，可得
，
，再求出直线
和
的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出
的中点坐标，即可求解．
（1）解：根据题意得：
轴，
轴，
∵点B的坐标为
，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数
的图象上，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立方程组
，解得
，
∴
；
（2）证明：设点B的坐标为
，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数
的图象上，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立方程组
，
解得
，
∴
，
∵
，
，
∴
的中点坐标为
，即
，
∴点F是
的中点．
【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
【变式1】如图，已知正方形
的面积为
，点
为坐标原点，点
在
轴上，点
在
轴上，点
在函数
，
图象上，点
是函数
，
图象上异于点
的任意一点，过点
分别作
轴、
轴的垂线，垂足分别为点
、
．设矩形
和正方形
不重合部分的面积为
．
点
的坐标是，
；当
，求点
的坐标；求出
关于
的函数关系式．
【答案】(1)
，
；(2)
或
；(3)当
时，
；当
时，
【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可；
（3）分两种情形求解即可：①当点
在点B的左侧时；②当点
在点B或B的右侧时．
（1）解：
正方形
的面积为
，
，
．
又
点
在函数
的图象上，
．
故答案为：
，
．
（2）分两种情况：①当点
在点
的左侧时，
，
在函数
上，
．
，
，
，
；
②当点
在点
或
的右侧时，
在函数
上，
．
，
，
．
．
（3）当
时，
．
当
，
时，
的纵坐标是
，
由题意
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键．
【变式2】如图，点A是反比例函数
（x＞0）图象上的一个动点，过点A作
轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以
为边作菱形
，过点D作
轴于点F，交反比例函数
的图象于点E．
已知当
时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是
，点D的横坐标是
，求该反比例函数的表达式；若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求
的值．
【答案】(1)3，8：y=
；(2)
【分析】（1）过点C作
于点T，利用菱形面积求出
，再利用勾股定理求出
，从而可设出点C的坐标为
，则点A的坐标为
，得到
，求出m的值即可得到答案；
（2）设点
，过点C作
轴于点N，交
于点M，利用菱形面积得到
，即可得到点C的纵坐标为
，则
，进一步推出，点D的坐标为
，点E的坐标为
，得到
，由此即可得到答案．
（1）解：过点C作
于点T，
∴菱形面积
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为
，
设点C的坐标为
，则点A的坐标为
，
∴
，
解得：
，
∴
，
，
∴反比例函数的表达式为：
，
，
故答案为：3，8；
（2）解：设点
，过点C作
轴于点N，交
于点M，
∵菱形面积是48，
∴
，
∴
，
∴点C的纵坐标为
，
∴
，
∴点D的坐标为
，
∴点E的坐标为
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键