【324237】2024八年级数学下册 专题6.12 反比例函数的应用（培优篇）（新版）浙教版

专题6.12 反比例函数的应用（培优篇）

一、单选题

1．如图，已知A、B是反比例函数 （ ， ）图象上的两点， 轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作 轴， 轴，垂足分别为M、N．设四边形 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（  ）

A． B． C． D．

2．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数 的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（　　）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，分别过点 , 作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的关系，下列结论中错误的是

A．两直线中总有一条与双曲线相交

B．当 =1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等

C．当 时，两条直线与双曲线的交点在 轴两侧

D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2

4．如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上运动(点P不与点A，B重合)，反比例函数y＝ 的图象过点P，则k的最大值为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

5．如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分支与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是2和5，则k的值是（　　）

A．7 B． C．2+ D．10

6．如图，反比例函数y＝﹣ 在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1、﹣2，在直线y＝x上求一点P，使PA+PB最小．则P点坐标为（　　）

A．P（ ， ） B．P（ ， ） C．P（1，1） D．P（ ， ）

7．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格 （元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设 （元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则 随t变化的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在x轴正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A…A_n－1A_n（n为正整数），过点A₁、A₂、A₃、…、A_n分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝ （x＞0）交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n，连接P₁P₂、P₂P₃、…、P_n－1P_n，过点P₂、P₃、…、P_n分别向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n－1A_n－1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（）

A． B． C． D．

9．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分 ，每将 个单位的 溶解在一定量水中，则消毒液的浓度 （克/升）随着时间 （分钟）变化的函数关系式近似为 ，其中当 时， ，当 时， ．若多次溶解 ，则某一时刻水中 的浓度为每次溶解的 在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ）

A．一次投放4个单位的 ，在2分钟时，消毒液的浓度为 克/升

B．一次投放4个单位的 ，有效消毒时间可达8分钟

C．若第一次投放2个单位的 ，6分钟后再投放2个单位的 ，第8分钟消毒液的浓度为5克/升

D．若第一次投放2个单位的 ，6分钟后再投放2个单位的 ，接下来的4分钟能够持续有效消毒

10．如图，直线l₁：x=1，l₂：x=2，l₃：x=3，l₄：x=4，…，与函数y= （x＞0）的图象分别交于点A₁、A₂、A₃、A₄、…；与函数y= 的图象分别交于点B₁、B₂、B₃、B₄、…．如果四边形A₁A₂B₂B₁的面积记为S₁，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记为S₂，四边形A₃A₄B₄B₃的面积记为S₃，…，以此类推．则S₁₀的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线

（x＞0）上，顶点D在双曲线 （x＜0）上，则正方形ABCD的面积为_______．

12．如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴的正半轴上(点A与点O重合)，AB＝3，BC＝1，连接AC，BD，交点为M.将矩形ABCD沿x轴向右平移，当平移距离为________时，点M在反比例函数y＝ 的图象上．

13．如图，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，点A、点D分别在反比例函数y=﹣ （x＜0）与y= （x＞0）的图象上，则▱ABCD的面积为__．

14．如图，已知A，B两点均在函数 的图象上，OA⊥OB，且AB平行于 轴，则线段AB的长为____________．

15．如图，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，顶点 在反比例函数 （ 为常数， ， ）的图象上，将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 得到矩形 ，若点 的对应点 恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是__________.

16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝ 的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．

17．如图，△OAP与△ABQ均为等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝ （x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为__________.

18．如图，A、B是双曲线 上两点，过点B作 轴，垂足为C，BC交AO于C点 已知 ， 的面积为5，则k的值为______．

三、解答题

19．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 （ ）与时间 （ ）之间的函数关系，其中线段 ， 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：

(1)求 与 （ ）的函数表达式；

(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是 ，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？

(3)若大棚内的温度低于 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？

20．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米( )的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：

1. 求y与x之间的函数表达式；

2. 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？

3. 若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？

21．为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与时间x （min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x （min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

22．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p(kpa)是气体体积v(m³)的反比例函数，其图象如图所示．

（1）写出这一函数的表达式；

（2）当气球体积1.5m³为时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于144kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？

23．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量 （件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价 （元/件， ）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：

售价	8	10
销售数量	70	58

（1）求 与 之间的函数关系式；

（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；

（3）设销售总额为 ，求 的最大值．

24．阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2 ，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．

根据以上结论，解决以下问题：

1. 拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+ 有最小值，最小值为____；

2. 应用：

①如图1，已知点P为双曲线y= (x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y= (x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

参考答案

1．C

【分析】根据点P的位置，分①点P在 上时，②点P在反比例函数图象 段时，③点P在 段，表示出四边形 的面积，最后判断出函数图象即可得解．

解：①当点P在 上运动时， ， ，α角度固定，因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开口向上；

②当点P在 上运动时，设P点坐标为 ，则 ，为定值，故B、D选项错误；

③当点P在 上运动时，S随t的增大而逐渐减小，故A选项错误．

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时四边形 的面积计算方式．

2．B

【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D、E坐标，根据勾股定理得到ED，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，根据轴对称的性质得到BF=B′F，BB′⊥ED求得BB′，设EG=x，根据勾股定理即可得到结论．

解：∵矩形OABC，

∴CB∥x轴，AB∥y轴．

∵点B坐标为（6，4），

∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4．

∵D，E在反比例函数 的图象上，

∴D（6，1），E（ ，4），

∴BE=6﹣ = ，BD=4﹣1=3，

∴ED= = ．连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G．

∵B，B′关于ED对称，

∴BF=B′F，BB′⊥ED，

∴BF•ED=BE•BD，即 BF=3× ，

∴BF= ，

∴BB′= ．

设EG=x，则BG= ﹣x．

∵BB′²﹣BG²=B′G²=EB′²﹣GE²，

∴ ，

∴x= ，

∴EG= ，

∴CG= ，

∴B′G= ，

∴B′（ ，﹣ ），

∴k= ．

故选B．

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

3．D

解：【分析】根据题意给定m特定值、非特定值分别进行讨论即可得.

解：当 =0时， 与双曲线有交点，当 =-2时， 与双曲线有交点，

当 时， 和双曲线都有交点，所以 正确，不符合题意；

当 时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是 ，所以 正确，不符合题意；

当 时， 在 轴的左侧， 在 轴的右侧，所以 正确，不符合题意；

两交点分别是 )，两交点的距离是 ，当 无限大时，两交点的距离趋近于2，所以 不正确，符合题意，

故选D.

【点拨】本题考查了垂直于x轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.

4．A

【分析】一次函数与反比例函数有交点，则-2x+4═ ，只有一个交点，则△≥0.

解：将y=-2x+4代入y= ，得-2x+4═ ，

整理得，2x²-4x+k=0，

∵两个函数图象只有一个公共点，

∴△=(-4)²-4×2•k≥0，

解得k≤2，

∴k的最大值为2.

故选A．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.

5．C

【分析】设D（t， ），由矩形OGHF的面积为2求得HF= ，根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（ kt， ），再利用矩形面积公式得到（ kt﹣t）•（ ﹣ ）=5，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．

解：设D（t， ），

∵矩形OGHF的面积为2，DF⊥x轴于点F，

∴HF= ，

∵EG⊥y轴于点G，

∴E点的纵坐标为 ，

当y= 时， = ，解得x= kt，

∴E（ kt， ），

∵矩形HDBE的面积为5，

∴（ kt﹣t）•（ ﹣ ）=5，

整理得，（k﹣2）²=10，

∵k＞0，

∴k= ．

故选C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征，求得点E的坐标为（ kt， ）是解决问题的关键.

6．B

【分析】由题意可求点A、B的坐标，再根据对称，找出其中一点关于直线y＝x对称的点坐标，直线AC与直线y＝x交点就是所求的点P，组成方程组求解即可．

解：把A、B的横坐标分别为﹣1、﹣2分别代入反比例函数y＝﹣ 得：

把A、B的纵坐标分别为4、2，

∴A（﹣1，4）B（﹣2，2），

由题意得：点B关于y＝x对称的点C，直线AC与直线y＝x的交点即为的P；

  B（﹣2，2）关于y＝x对称的点C（2，﹣2），

设直线AC的关系式为y＝kx+b，由题意得：

   解得： ，

∴直线AC的关系式为y＝﹣2x+2，

∵ 的解为： ，

∴点P（ ， ）

故选B．

【点拨】本题主要考查最短距离问题，这道题采用常规的思路，寻找对称点，根据对称点求解直线方程，再根据直线方程和对称轴的交点，得到最短距离的点.

7．A

【分析】根据函数图像先求出 关于t的函数解析式，进而求出 关于t的解析式，再判断各个选项，即可．

解：∵由题意得：当1≤t≤6时， =2t+3，

当6＜t≤25时， =15，

当25＜t≤30时， =-2t+65，

∴当1≤t≤6时， = ，

当6＜t≤25时， = ，

当25＜t≤30时， =

= ，

∴当t=30时， =13，符合条件的选项只有A．

故选A．

【点拨】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．

8．A

解：试题分析：根据题意可得： =0， = ， = ， ， ，则 ．

考点：规律题．

9．C

【分析】根据题意，对于题意根据当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，根据题意求得 时的函数值，即可判断A，令 根据上述函数关系式，求得 的取值范围，进而判断B选项，根据当 时，求得函数关系式，求得当 时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得 的最小值即可判断D选项．

解：对于A，由题意可得 ，当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，故A正确，

对于B，当 时， ，解得 ，

故 ，

当 时， ，解得 ，

故 ，

综上所述， ，

若一次投放4个单位的 ，消毒时间可达8分钟，故B正确，

对于C，当 时，

，当 时， ，

故C错误，

对于D，∵ ，

∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，

∴ 有最小值 ，

∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．

故选C

【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．

10．D

解：试题分析：先根据直线l1：x=1，l2：x=2，l3：x=3，l4：x=4求出S1，S2，S3的面积，找出规律即可得出结论．

解：∵直线l₁：x=1，l₂：x=2，

∴A₁（1，2），B₁（1，5），A₂（2，1），B₂（2， ），

∴S₁= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）]×1；

（3+ ）×1= ；

∵l₃：x=3，

∴A₃（3， ），B₃（3， ），

∴A₃B₃= ﹣ =1，

∴S₂= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）]×1；

∵l₄：x=4，

∴A₄（4， ），B₄（4， ），

∴S₃= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）]×1；

∴S_n= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）]×1；

∴S₁₀= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）]×1= ×（ + ）×1= ．

故选D．

考点：反比例函数综合题．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及梯形的面积公式，根据题意找出规律是解答此题的关键．

11．6

解：试题解析：

如图，过点 作 轴 ,作 轴于 ,过点 作 轴于 ,作 轴于 ,

则四边形 是矩形，

,

在正方形 中， ,

在 和 中，

,

同理可得

∴正方形 的面积=

∵点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，

∴正方形 的面积

故答案为 ．

点睛：三角形全等的判定方法：判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、ASA、SSS、SAS、HL.

反比例函数 的几何意义.

12．

解：将矩形ABCD沿x轴向右平移后，过点M作ME⊥AB于点E，则AE＝ AB＝ ，ME＝ BC＝ .设OA＝m，则OE＝OA＋AE＝m＋ ，∴M .∵点M在反比例函数y＝ 的图象上，∴ ＝ ，解得m＝ .

点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，利用几何知识把几何问题转化为反比例函数图象上点的问题是解题的关键.

13．4

解：【分析】连结OA、OD，AD交y轴于E，由于AD⊥y轴，根据反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义得到S_△OEA与S_△ODE，从而可得S_△OAD，然后根据平行四边形的性质得到S_{平行四边形}ABCD=2_S△OAB=4．

解：连接OA、OD，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD垂直y轴，

∴S_△OAE= ×|-3|= ，S_△ODE= ×|1|= ，

∴S_△OAD=2，

∴S▱_ABCD =2S_△OAD=4，

故答案为4.

【点拨】本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= （k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

14．5

解：分析：先设点A（x₁， ），点B（x₂， ），然后根据OA⊥OB 得到OA的正比例函数的k值与OB正比例函数的k值的积为-1，根据AB平行于x轴得出A、B两点的纵坐标相等，列出两个方程解出即可.

详解：∵点A在y= 上，点B在y= 上，

∴设点A（x₁， ），点B（x₂， ）.

∵OA⊥OB，

∴ ，①.

又∵AB平行于x轴，

∴ ，②.

由①②解得： 或 .

∵ ，

∴ ，

∴AB的距离为： .

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的综合.

15．

解：分析：设A（m，n），则OB=m，OC=n，根据旋转的性质得到O′C′=n，B′O′=m，于是得到O′（m+n，n-m），于是得到方程（m+n）（n-m）=mn，求得 = ，（负值舍去），即可得到结论．

详解：设A（m，n），

则OB=m，OC=n，

∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，

∴O′C′=n，B′O′=m，

∴O′（m+n，n-m），

∵A，O′在此反比例函数图象上，

∴（m+n）（n-m）=mn，

∴m²+mn-n²=0，

∴m= n，

∴ = ，（负值舍去），

∴ 的值是 ，

故答案为 .

点睛：本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．

16．4

【分析】先利用反比例函数解析式y＝ 确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的 .

解：把P(2a，a)代入y＝ 得:

2a•a=2，解得a=1或-1，

∵点P在第一象限，∴a=1，

∴P点坐标为(2，1)，

∴正方形的面积=4×4=16，

∴图中阴影部分的面积= ×正方形的面积=4．

故答案为4．

【点拨】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的 是关键.

17．（ +1，0）

【分析】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA=45°，即直线OP：y=x，联立双曲线解析式可求得P（2，2），即A（2，0），然后结合直线OP的斜率求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得出B点的坐标．

解：∵△OAP是等腰直角三角形，

∴直线OP的解析式为：y=x,

解方程组 得，

， ，

∵点P在第一象限，

∴P(2,2);

∴A(2,0)，

∵OP∥AQ，

∴设直线AQ的解析式为：y=x+b，

把A(2,0)代入得，

2+b=0，

解得，b=−2，

∴直线AQ的解析式为：y=x−2，

解方程组 得，

， ，

∵点Q在第一象限，

∴Q( ， ),

∴B( ，0).

故答案为（ +1，0）.

【点拨】本题是一道反比例综合题，主要考查了求一次函数与反比例函数交点的坐标.求出一次函数解析式并与反比例函数解析式联立成方程组是解题的关键.

18．

【分析】作 轴于E，设点B的坐标为 ，根据相似三角形的性质表示出点A、点D的坐标，再根据 的面积为5，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可．

解：如图，作 轴于E，

轴，

，

∽ ，

，

设点B的坐标为 ，则点A的坐标为 ，

点D的坐标为 ，

的面积为5，

，

解得， ．

故答案为 ．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，设出点B的坐标，表示出点A、点D的坐标是解题的关键．

19．(1) ；(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 ；(3)恒温系统最多可以关闭 ，才能使蔬菜避免受到伤害

【分析】（1）当 时，设双曲线的解析式为 ，把 的坐标代入 ，得出 ，解出即可得出答案；

（2）根据待定系数法求出线段 解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，结合图象，把 代入线段 的解析式，得出时间，再把 代入（1）中双曲线 ，得出时间，两时间相减，即可得出答案；

（3）先求解 时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．

（1）解：当 时，设双曲线的解析式为 ，

∵ 过双曲线 ，

∴把 的坐标代入 ，

可得： ，

解得： ，

∴函数表达式为： ；

（2）解：设线段 解析式为 ，

∵线段 过点 ， ，

代入得 ，

解得： ，

∴ 解析式为： ，

∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，

当 时，代入 ，

可得： ，

解得： ，

当 ，代入 ，

可得： ，

解得： ，

经检验： 是原方程的解，且符合题意，

∵ （ ），

∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 ；

（3）解：当 时，可得： ，

解得： ，

经检验： 是原方程的解，且符合题意，

∴ （ ），

∴恒温系统最多可以关闭 ，才能使蔬菜避免受到伤害．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．

20．(1)y= ；(2)半径为28米；(3)最多是0.4厘米．

【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为 ，解方程即可得到结论；

（2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；

（3）根据题意列不等式即可得到结论．

解：（1）设y与x之间的函数表达式为 ，

∴7= ，

∴k=14，

∴y与x之间的函数表达式为y= ；

（2）当x=0.5时，y= =28米，

∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；

（3）当y≥35时，即 ≥35，

∴x≤0.4，

∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．

21．（1）燃烧时，y= （0≤x≤8）；燃烧后，y= （x＞8）；（2）消毒有效，见分析．

【分析】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；当x＞8时，设反比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．

解：（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式为y=kx，

把点（8，6）代入解析式，得

8k=6，

解得　k= ，

∴y关于x的函数关系式为y= （0≤x≤8）；

当x＞8时，设反比例函数的解析式为y= ，把点（8，6）代入解析式，得

m=6×8=48，

∴y关于x的函数关系式为y= （x＞8）；

（2）当y=3时，

=3，

解得 =4；

当y=3时，

=3，

解得 =16；

∴持续时间为 - =16-4=12＞10，

∴本次消毒有效．

【点拨】本题考查了一次函数，反比例函数的解析式的确定和生活中的实际意义，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活求自变量值是解题的关键．

22．（1） ；（2）气压为64kpa；（3）为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米

【分析】（1）由图像知反比例函数图像过点（0.8,120），设出P与V的函数关系式为 ，代入点（0.8,120），求出k的值，即可得函数表达式；

（2）把 代入（1）求得的函数关系式 ，即可求出当气球体积1.5m³时的气压值；

（3）由题意可知，气压越大，气球体积就越大，为了避免气球爆炸，应该使P≤144，即 ≤144，求出所对应的体积即可．

解：(1)设P与V的函数关系式为 ，

则 ，

解得 ，

∴函数关系式为 ；

(2)当气球内气体的体积是1.5m³时，

（kPa），

∴气球内气体的气压是64kPa.

(3)当P > 144kPa时，气球将爆炸，

∴P≤144，即 ≤144，

解得v≥1.5(m³). .

故为了安全起见，气体的体积应不小于1.5m³．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，具体考查了求反比例函数解释式，求函数值，及反比例函数的图形变化规律的有关知识．

23．（1）    （2）12元  （3）680元

【分析】（1）设 ，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；

（2）求出P=50时x的值即可得；

（3）根据月销售额W=x（ ）=10x+480且x≤20可得．

解：（1）设 ，

∵ 时， ， 时， ，

∴ ，

解之得， ， ，

∴ ；

（2）由题意得， ，

解之得，

经检验， 是原方程的根．

∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．

（3）

当 ， 最大，最大值为680（元）．

【点拨】本题主要主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．

24．（1）1；2；（2）P(2，2)；周长最小8；（3）（-2，0）、（2，0）或（6，4）．

【分析】（1）根据题意给的定义直接代入计算即可．

（2）①设出坐标点，根据第一问得出的结论直接应用．

②利用①的思路，设出坐标点P，再根据完全平方公式变形即可，求出P点坐标再求出Q点，即可根据平行四边形性质求出C点坐标．

解：（1）根据题意知a= 时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+ =2．

（2）①设点P(x， )，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+ ），

当x= 时，x=2，此时2（x+ ）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．

②设点P(x， )，（x>0）；OP= = ，

OP最小，即x+ 最小，所以x= ，即x=2，∴点P（2，2）；

由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y= (x>0)得点Q（4，2）；

所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为：

（-2，0）、（2，0）或（6，4）．

【点拨】此题重在考查推理计算能力，利用已知定义退出要用的结论，涵盖完全平方，平行四边形等知识，综合能力较强．