专题6.3反比例函数的应用-重难点题型
【
知识点1
反比例函数的应用】
求函数解析式的方法：
待定系数法
（2）根据实际意义求函数解析式
【题型1反比例函数的应用（物理问题）】
【例1】（云岩区模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F
，是反比例函数，A选项符合，
故选：A．
【变式1-1】（遵化市模拟）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（ ）
A．1A B．2A C．3A D．5A
【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．
【解答】解：设I
，当R＝4Ω时，I＝3A时，
则3
，
解得：U＝12，
故I
，
若电阻R增大2Ω，则电流I为：I
2（A）．
故选：B．
【变式1-2】（斗门区期末）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝100m3时，ρ＝1.4kg/m3；那么当V＝2m3时，氧气的密度为 7 kg/m3．
【分析】根据题意可知一定质量的氧气，它的密度ρ是它的体积V的反比例函数，且已知当V＝10m3时，ρ＝1.4kg/m3，故p与V的函数关系式是ρ
；把V＝2m3代入解析式即可求解．
【解答】解：设ρ
，
当V＝100m3时，ρ＝1.4kg/m3，
∴1.4
，
∴k＝1.4×10＝14，
∴ρ与V的函数关系式是ρ
；
当V＝2m3时，ρ
7（kg/m3）．
故答案为：7．
【变式1-3】（桂林期末）为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电．已知输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的．
（1）若某水电站的输出功率为5×105W，请写出电压U关于电流I的函数表达式，并求出当输出电压U＝5000（V）时，输出电流I是多少？
（2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式Q＝I2Rt（其中R为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍．
【分析】（1）由“输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W）”列出函数关系式，然后代入求值；
（2）根据P＝UI得出输出电流I将变为原来的多少倍，然后根据Q＝I2Rt求出相同时段内该路线的电能损耗减少为原来的多少倍．
【解答】解：（1）由题意可得：P＝UI，
∴U
，
即电压U关于电流I的函数表达式为U
，
当U＝5000时，
5000，
解得：I＝100；
∴当输出电压U＝5000（V）时，输出电流I是100（A）；
（2）由P＝UI可得，I
，
∴当输出电压降低为原来的一半时，输出电流I将扩大为原来的2倍，
又∵Q＝I2Rt（其中R为常数），
∴在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的4倍．
【题型2反比例函数的应用（行程问题）】
【例2】（青岛）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 240 km/h．
【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．
【解答】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3＝600（km），
∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t
，
当t＝2.5h时，即2.5
，
∴v＝240，
答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．
故答案为：240．
【变式2-1】（花溪区模拟）货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时．
（1）当y是x的函数时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间；
（3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？
【分析】（1）根据甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，可以得到这批货物总的吨数，然后根据时间＝总量÷速度，即可写出y与x之间的函数关系式；
（2）将x＝40代入（1）中函数关系式，即可得到乙港卸完全部货物所需的时间；
（3）根据题意可知，船上剩余货物是30×8﹣40×4，然后计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y
，
即y与x的函数关系式是y
；
（2）当x＝40时，y
6，
即乙港卸完全部货物需要6小时；
（3）由题意可得，
30×8﹣40×4
＝240﹣160
＝80（吨），
即当卸货时间在4小时的时候，船上剩余货物是80吨．
【变式2-2】（清涧县期末）李叔叔驾驶小汽车从A地匀速行驶到B地，行驶里程为480km，设小汽车的行驶时间为t（h），行驶速度为v（km/h），且全程速度限定不超过120km/h．
（1）求v与t之间的关系式；
（2）李叔叔上午8点驾驶小汽车从A地出发，需要在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至12点48分时间长为4.8h，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围．
【解答】解：（1）vt＝480，且全程速度限定不超过120km/h，
∴v与t之间的关系式为
．
（2）∵8点至12点4（8分）的时间长为4.8h，8点至14点的时间长为6h，
∴将t＝6代入
中，得v＝80，
将t＝4.8代入
中，得v＝100．
∴小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤100．
【变式2-3】（沂水县一模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
-
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式；
（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由；
（3）若汽车到达乙地的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v
，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t＝2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可．
【解答】解：（1）由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图像是双曲线的一部分，
设v
，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v
（t≥3）；
（2）∵10.5﹣8＝2.5，
∴t＝2.5时，v
120＞100，
∴汽车上午8：000从甲地出发，不能在上午10：30之前到乙地；
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v
，
答：平均速度v的取值范围是75≤v
．
【题型3反比例函数的应用（利润问题）】
【例3】（沙坪坝区校级期末）为了推动“成渝地区双城经济圈”的建设，某工厂为了推进产业协作“一条链”，自2021年1月开始科学整改，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，整改前是反比例函数图象的一部分，整改后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的有 A，B，D ．
A.4月份的利润为50万元；
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元；
C．治污改造完成前共有4个月的利润低于100万元；
D.9月份该厂利润达到200万元．
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解答】解：A．设反比例函数的解析式为y
，
把（1，200）代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为：y
，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，故此选项符合题意；
B．治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项符合题意；
C．当y＝100时，则100
，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不合题意．
D．设一次函数解析式为：y＝kx+b，
则
，
解得：
，
故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，
故y＝200时，200＝30x﹣70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项符合题意．
故答案为：A，B，D．
【变式3-1】（如皋市期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）．
-
售价x（元/双）
200
240
250
400
销售量y（双）
30
25
24
15
已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 300 元．
【分析】根据表格中x与y的值，确定出关系式，根据利润＝售价﹣进价表示出利润，由已知利润2400列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：由表中数据得：xy＝6000，
∴y
，
则所求函数关系式为y
；
由题意得：（x﹣180）y＝2400，
把y
代入得：（x﹣180）•
2400，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
答：要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为300元．
故答案为：300．
【变式3-2】（东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出函数表达式；
（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；
（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v
；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则
80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3
小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
【变式3-3】（江城区期末）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
-
x/元
3
4
5
6
y/张
20
15
12
10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象；
（3）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【分析】（1）直接描点即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（3）首先要知道纯利润＝（销售单价x﹣2）×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
【解答】解：（1）对应点如图所示：
（2）根据图象猜测y关于x的函数解析式为
，
∵x＝3时，y＝20，
∴
，解得k＝60，
∴
，
∵把实数对（4，15），（5，12），（6，10）代入
都符合，
∴y关于x的解析式为
，
其图象是第一象限内的双曲线的一支，如图2所示．
（3）
，
∵x≤10，
∴当x＝10时，W有最大值，最大日销售利润为60﹣12＝48（元）
∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润．
【题型4反比例函数的应用（分段函数问题）】
【例4】（邗江区期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．8：00
【分析】先求出加热10分钟后，水温可以达到100℃，继而得到点（10，100）在如图所示的反比例函数图象上，由待定系数法求解出反比例函数解析式，进而求得当y＝30时所对应的x
，得到每经过
分钟，饮水机重新开机加热，按照此种规律，即可解决．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升7℃，
∴加热到100℃所需要的时间为：
10min，
∴每次加热10min后，饮水机就会断电，开始冷却
设10分钟后，水温与开机所用时间所成的反比例函数为y
，
∵点（10，100）在反比例函数图象上，
∴k＝1000，
∴反比例函数为
，
令y＝30，则
，
∴
，
∴每次开机加热
min后，饮水机就要重新从30℃开始加热，
如果7：20开机至8：45，经过的时间为85分钟，
85
10，
∴此时饮水机第三次加热，从30℃加热了
分钟，
水温为y
50℃，
故A选项不合题意，
如果7：30开机至8：45，经过的时间为75分钟，
75
2
10，
∴此时饮水机第三次加热了，从30℃加热了
分钟，
水温为30
50℃，
故B选项不合题意，
如果7：45开机至8：45，经过的时间为60分钟，
∴此时饮水机第二次加热，从30℃加热了20分钟，
水温为y
50，
故C选项符合题意，
如果8：00开机至8：45，经过的时间为45分钟，
∴此时饮水机第二次加热，从30℃加热了5分钟，
水温为y＝30+5×7＝65＞50℃，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【变式4-1】（金安区校级月考）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
【分析】（1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出x＝12对应的y的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量x的取值范围；
（2）将y＝12代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的x的值，然后作差即可．
【解答】解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为y
，
∵点（12，14）在该函数的图象上，
∴14
，得k＝168，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y
，
当y＝28时，28
，得x＝6，当y＝4时，4
，得x＝42，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y
（6≤x≤42），
设该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（0，4）、（6，28）在该函数的图象上，
∴
，得
，
∴该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6）；
（2）将y＝12代入y＝4x+4中，12＝4x+4，得x＝2，
将y＝12代入y
中，12
，得x＝14，
14﹣2＝12（分钟），
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
【变式4-2】（城阳区一模）截止2021年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次．疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度y（miu/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．
（1）根据图象求当x≤20时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；
（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为多少天？
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（3）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．
【解答】解：（1）设当x≤20时，y与x之间的函数关系式是y＝kx，
图象过（20，280），
则20k＝280，
解得：k＝14，
y与x之间的函数关系式是：y＝14x，
（2）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y
，
图象过（20，280）解得：k＝5600，y与x之间的函数关系式是y
；
（3）当x≤20时，140＝14x，
解得：x＝10．
当x≥20时，140
，
解得：x＝40，
故40﹣10+1＝31（天），
答：体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为31天．
【变式4-3】（合肥月考）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y
，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180
，得k＝180，
∴y
，
当x＝4时，y
45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴
，
解得
，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．