【324225】2024八年级数学下册 专题6.3 反比例函数（压轴题综合测试卷）（含解析）（新版）浙

专题6.3 反比例函数

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

评卷人	得分

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（新化县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A． B． C．y＝3x D．

【思路点拨】

根据反比例函数的定义，y （k为常数，k≠0）判断即可．

【解题过程】

解：A．y ，y是x的反比例函数，故A符合题意；

B．y ，y不是x的反比例函数，故B不符合题意；

C．y＝3x，y是x的正比例函数，故C不符合题意；

D．y ，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；

故选：A．

2．（西湖区一模）如图，是三个反比例函数y₁ ，y₂ ，y₃ 在y轴右侧的图象，则（　　）

A．k₁＞k₂＞k₃ B．k₂＞k₁＞k₃ C．k₃＞k₂＞k₁ D．k₃＞k₁＞k₂

【思路点拨】

取x＝1分别代入三个函数中，可得y₁，y₂，y₃的关系，即可求解．

【解题过程】

解：当x＝1时，

y₁＝k₁，y₂＝k₂，y₃＝k₃，

从图中可得

y₁＜y₂＜y₃，

∴k₁＜k₂＜k₃，

故选：C．

3．（朝阳区一模）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在反比例函数y 的图象上，下列推断正确的是（　　）

A．若x₁＜x₂，则y₁＜y₂ B．若x₁＜x₂，则y₁＞y₂

C．若x₁+x₂＝0，则y₁+y₂＝0 D．存在x₁＝x₂使得y₁≠y₂

【思路点拨】

利用反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．

【解题过程】

解：反比例函数y 的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，

A．若x₁＜x₂，且点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在同一象限，则y₁＞y₂，故A错误；

B．若x₁＜x₂，且点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不在同一象限，则y₁＜y₂，故B错误；

C．若x₁+x₂＝0，则点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于原点对称，则y₁+y₂＝0，故C正确；

D．若x₁＝x₂，则 ，即y₁＝y₂，故D错误；

故选C．

4．（蔡甸区校级模拟）在平面直角坐标系中，函数y 与y＝2x+6的图象交于点（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则代数式（x₁+y₂）（x₂+y₁）＝（　　）

A．﹣1011 B．1011 C．2022 D．﹣2022

【思路点拨】

先联立函数y 与y＝2x+6，得2x²+6x﹣2022＝0，再根据根与系数的关系得x₁x₂＝﹣1011，x₁y₁＝2022，x₂y₂＝2022， ，即可求出代数式的值．

【解题过程】

解：联立函数y 与y＝2x+6，

得2x²+6x﹣2022＝0，

∴x₁x₂＝﹣1011，

∵x₁y₁＝2022，x₂y₂＝2022， ，

∴（x₁+y₂）（x₂+y₁）＝x₁x₂+x₁y₁+x₂y₂+y₁y₂＝﹣1011+2022+2022﹣4044＝﹣1011，

故选：A．

5．（上杭县模拟）已知一次函数y＝kx+b，反比例函数y （kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图象的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．

【解题过程】

解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，

∴kb＜0，

∴反比例函数经过二、四象限，

故A选项不符合题意；

B选项中，一次函数b＝0，

∵kb≠0，

故B选项不符合题意；

C选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，

∴kb＜0，

∴反比例函数经过二、四象限，

故C选项符合题意；

D选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，

∴kb＞0，

∴反比例函数经过一、三象限，

故D选项不符合题意；

故选：C．

6．（莱芜区二模）反比例函数 与正比例函数y＝x（x≥0）的图象如图所示，点A（1，3），点A′（3，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y＝x上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

利用反比例函数图象上点的坐标性质得出A′点坐标，再利用平行四边形的性质假设出B点坐标，进而表示出B′点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．

【解题过程】

解：∵反比例函数y （k＞0）过点A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数解析式为：y ，

∵点A′（3，b）在反比例函数的图象上，

∴3b＝3，

解得：b＝1，

∴A′（3，1），

∵点B在直线y＝x上，

∴设B点坐标为：（a，a），

∵点A（1，3），A′（3，1），

∴A点向下平移2个单位，再向右平移2个单位，即可得到A′点，

∵四边形AA′B′B是平行四边形，

∴B点向下平移2个单位，再向右平移2个单位，即可得到B′点（a+2，a﹣2），

∵点B′在反比例函数的图象上，

∴（a+2）（a﹣2）＝3，

解得：a＝± （负数不合题意），

故B点坐标为：（ ， ）．

故选：A．

7．（温州模拟）将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，AB∥x轴．反比例函数 的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D．若 ，BD＝2CD，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠BFC＝90°，由AB∥x轴得到∠ACE＝∠CAB＝60°，∠ABC＝∠BCF＝30°，然后由AB＝6 求得AC和BC的长，然后求得AE、BF、CE、CF的长，先设A（x， ），进而得到点C、点B的坐标，再由BD＝2CD得到点D的坐标，然后代入反比例函数解析式求得k的值．

【解题过程】

解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠BFC＝90°，

∵AB∥x轴，

∴∠ACE＝∠CAB＝60°，∠ABC＝∠BCF＝30°，

∵AB＝6 ，

∴AC＝3 ，BC＝9，

∴AE＝BF ，CE ，CF ，

设A（ ， ），则点C（ ，0），点B（ 6 ， ），

∵BD＝2CD，

∴点D（ 3 ， ），

将点D代入反比例函数y ，得

k （ 3 ），

解得：k ，

故选：D．

8．（无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点均落在坐标轴上，且AC＝BC，将线段AC沿x轴正方向平移至DE，点D恰好为OB中点，DE与BC交于点F，连接AE、AF．若△AEF的面积为6，点E在函数y （k≠0）的图象上，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．16 D．18

【思路点拨】

设B点的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，c），由已知条件可得A（﹣a，0），E（ a，c），D（ a，0），分别求出直线BC与直线DE的解析式，联立方程组，可求得点F坐标，再结合三角形面积公式可得出ac的值，最后利用反比例函数中k的几何意义可得出答案．

【解题过程】

解：∵AC＝BC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴OA＝0B．

设B点的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，c），

∴A（﹣a，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

把A（﹣a，0），C（0，c）代入，

得 ，

∴直线AC的解析式为y x+c．

∵线段DE是由线段AC沿x轴正方向平移得到，且D为OB中点，

∴可得E（ a，c），D（ a，0），

设直线DE的解析式为y＝mx+n，

将点D（ a，0），E（ a，c）代入，

得 ，

∴直线DE的解析式为y ．

同理可得直线BC的解析式为y ，

由 ，得 ，

∴F（ ）．

∵S_△AEF＝S_△ADE﹣S_△AFD 6，

∴ ac＝16．

∵点E在函数y （k≠0）的图象上，

∴k ac＝16．

故选：C．

9．（东西湖区模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（　　）

A．药物释放过程需要 小时

B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y t

C．空气中含药量大于等于0.5mg/m³的时间为 h

D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m³以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室

【思路点拨】

首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y （m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．

【解题过程】

解：设正比例函数解析式是y＝kt，

反比例函数解析式是y ，

把点（3， ）代入反比例函数的解析式，得： ，

解得：m ，

∴反比例函数的解析式是y ．

当y＝1时，代入上式得t ，

把t 时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k ，

∴正比例函数解析式是y t，

A．由图象知，y＝1时，t ，即药物释放过程需要 小时，故A不符合题意；

B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y t，故B不符合题意；

C．把y＝0.5mg/m³分别代入y t和y 得，0.5 t₁和0.5 ，

解得：t₁ 和t₂＝3，

∴t₂﹣t₁ ，

∴空气中含药量大于等于0.5mg/m³的时间为 h；故C不符合题意；

D、由题意得 0.25，

解得t＞6，

所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，

故选：D．

10．（房山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（5，0），点B是函数y （x＞0）图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y （x＜0）的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：

①四边形ABCD可能是菱形；

②四边形ABCD可能是正方形；

③四边形ABCD的周长是定值；

④四边形ABCD的面积是定值．

所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．①④

【思路点拨】

①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B（a， ），则C（ ， ），得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；②当x＝5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．

【解题过程】

解：①∵BC⊥y轴，

∴AD∥BC，

又∵AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

设点B（a， ），则C（ ， ），

∴BC＝a﹣（ ） a，AB ，

当a＝5时，BC ，AB ，

此时，AB＜BC，

∴随着a的变化，可能存在BC＝AB的情况，

∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；

②由①得，当x＝5时，BC ，AB ，

∴BC≠AB，

∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；

③由①中得，当点B的横坐标为5时，BC ，AB ，

∴C_{四边形ABCD}＝2（BC+AB）＝2（ ） ，

当点B的横坐标为1时，B（1，6），C（ ，6），

∴BC ，AB 2 ，

∴C_{四边形ABCD}＝2（BC+AB）＝2（ 2 ） 4 ，

∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；

④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，

∵BC∥AD，

∴S_{四边形ABCD}＝S_{四边形EFBC}＝|﹣2|+|6|＝8，

∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；

故选：D．

评卷人	得分

二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11．（南海区一模）反比例函数y 的图象在二、四象限，则m应满足　m＜5　．

【思路点拨】

由反比例函数图象在二、四象限，可得m﹣5＜0，进而求解．

【解题过程】

解：∵y 的图象在二、四象限，

∴m﹣5＜0，

解得m＜5，

故答案为：m＜5．

12．（雁塔区校级三模）已知点A（a，y₁），B（a+1，y₂）在反比例函数y （m是常数）的图象上，且y₁＞y₂，则a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

【思路点拨】

根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y₁），B（a+1，y₂）在同一象限时，②当点A（a，y₁），B（a+1，y₂）在不同象限时．

【解题过程】

解：∵k＝﹣m²﹣1＜0，

∴反比例函数y （m是常数）的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，

①当A（a，y₁），B（a+1，y₂）在同一象限，

∵y₁＞y₂，

∴a＞a+1，

此不等式无解；

②当点A（a，y₁）、B（a+1，y₂）在不同象限，

∵y₁＞y₂，

∴a＜0，a+1＞0，

解得：﹣1＜a＜0，

故答案为：﹣1＜a＜0．

13．（建邺区一模）如图，点A是函数y 图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y 的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k＝　6　．

【思路点拨】

过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，设A（m， ），则C（m， ），B（ ， ），根据S_阴影＝S_矩形ODBF+S_矩形ACEF﹣S_△OCE﹣S_△OBD＝4，列出k的方程求得结果便可．

【解题过程】

解：过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，

∴设A（m， ），则C（m， ），B（ ， ），

∴S_阴影＝S_矩形ODBF+S_矩形ACEF﹣S_△OCE﹣S_△OBD

＝k+m（ ）

＝k﹣2＝4，

解得k＝6．

故答案为：6．

14．（郫都区模拟）如图，线段AB端点A（0，1）、端点B的（1，6），曲线BC是双曲线y＝kx^﹣1的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（2019，m），Q（2022，n）均在该组波浪线上，分别过点P、Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积为　 　．

【思路点拨】

根据点A，B的坐标求出线段AB所在函数解析式，以及BC所在双曲线的解析式，再根据题意，可以得到点P和Q的坐标，从而可以计算出四边形PDEQ的面积

【解题过程】

解：设线段AB所在直线函数解析式为y＝ax+b，

则 ，

解得： ，

∴线段AB所在直线函数解析式为y＝5x+1，

∵曲线BC是双曲线y 的一部分，点B的坐标为（1，6），

∴6 ，

解得k＝6，

∴双曲线y ，

∵点C在该双曲线上，点C的横坐标是6，

∴y 1，

即点C的坐标为（6，1），

∵点P（2019，m），Q（2022，n）均在该组波浪线上，

2019÷6＝336...3，2022÷6＝367，

∴m 2，n＝1，

∴PD＝2，QE＝1，DE＝2022﹣2019＝3，

∴四边形PDEQ的面积是： （PD+QE）•DE （2+1）×3 ．

故答案为： ．

15．（鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为　 　．

【思路点拨】

延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，易证△OCN≌△OAG（SAS），根据全等三角形的性质，进一步证明△MON≌△MOG（SAS），根据全等三角形性质，求出AM的值，再设正方形边长为a，在△BMN中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知M点坐标，即可求出k的值．

【解题过程】

解：延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，如图所示：

在正方形OABC中，OA＝OC，∠OCB＝∠OAB＝∠COA＝90°，

∴∠OAG＝∠OCN，

∴△OCN≌△OAG（SAS），

∴∠CON＝∠GOA，OG＝ON，

∵∵∠MON＝45°，

∴∠CON+∠AOM＝45°，

∴∠AOM+∠GOA＝45°，

∵OM＝OM，

∴△MON≌△MOG（SAS），

∴MN＝MG，

即MN＝MA+CN，

设AM＝x，

∵MN＝2，

∴CN＝2﹣x，

∵M，N在反比例函数上，

∴CN•OC＝AM•OA，

∵OC＝OA，

∴2﹣x＝x，

解得x＝1，

设正方形边长为a，则BM＝a﹣1，BN＝a﹣1，

在△BMN中，根据勾股定理，得2（a﹣1）²＝4，

解得a 或1 （舍），

∴M点坐标为（ ，1），

将M点坐标代入反比例函数解析式，

得k ．

故答案为： ．

评卷人	得分

三．解答题（本大题共8小题，满分55分）

16．（泰兴市校级期中）已知实数m≠0，n ，且满足 ．

（1）用含n的代数式表示m；

（2）若点（m，n）在反比例函数y 的图象上，求m、n的值；

（3）若点（m，n）在反比例函数y 的图象上，当m、n、k均为整数时，求整数m、n及k的值．

【思路点拨】

（1）将原式化简变形即可；

（2）将（m，n）代入反比例函数解析式，再根据（1）中m ，可得方程 ，解方程即可求出n的值，代入（1）中代数式即可求出m的值；

（3）根据题意，可得1﹣2n＝±1或±2或±3或±6，再根据m、n、k为整数，即可求值．

【解题过程】

解：（1）∵ ，

∴m ；

（2）根据题意，得m ，

根据（1）得m ，

∴ ，

解得n ，

经检验，n 是分式方程的根，

∴m＝6×3＝18，

∴n ，m＝18；

（3）∵m ，k＝mn，且m、n、k为整数，

∴1﹣2n＝±1或±2或±3或±6，

∴满足条件的n有：1，﹣1，2，

∴n＝1，m＝﹣6，k＝﹣6；

n＝﹣1，m＝2，k＝﹣2；

n＝2，m＝﹣2，k＝﹣4．

17．（长安区校级期末）反比例函数y （x＜0，k＜0）和y （x＜0）的图象如图所示，点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作直线AB⊥x轴，交两图象分别于A、B两点．

（1）若m＝﹣1，线段AB＝9时，求点A、B的坐标及k值；

（2）雯雯同学提出一个大胆的猜想：“当k一定时，△OAB的面积随m值的增大而增大．”你认为她的猜想对吗？说明理由．

【思路点拨】

（1）把x＝﹣1代入y ，求出y＝﹣3，得到B点坐标，根据AB＝9，且A在第二象限，得到A点坐标，把A点坐标代入y ，即可求出k的值；

（2）把x＝m代入y ，求出y ，得到B点坐标，把x＝m代入y ，求出y ，得到A点坐标，再求出AB，根据三角形面积公式得到S_△OAB （﹣m） ，即△OAB的面积与m的值无关，从而得出雯雯同学的猜想不对．

【解题过程】

解：把x＝﹣1代入y ，得y＝﹣3，

∴B（﹣1，﹣3），

又AB＝9，A在第二象限，

∴A（﹣1，6）．

把A（﹣1，6）代入y ，得k＝﹣6；

（2）雯雯同学的猜想不对．理由如下：

把x＝m代入y ，得y ，

∴B（m， ），

把x＝m代入y ，得y ，

∴A（m， ），

∴AB ，

又OP＝|m|＝﹣m，

∴S_△OAB AB•OP （﹣m） ，

即△OAB的面积与m的值无关，

所以雯雯同学的猜想不对．

18．（渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁＝kx+b（k≠0）与反比例函数y₂ （m≠0）在第二象限交于点A（﹣2，3），且与y轴交于点B（0，2）．

（1）求一次函数的表达式；

（2）请直接写出不等式y₁≤y₂的解集；

（3）在x轴上有一动点P，且△ABP的面积为 ，求点P的坐标．

【思路点拨】

（1）把点A（﹣2，3），B（0，2）代入y₁＝kx+b，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）设一次函数y₁＝kx+b（k≠0）与反比例函数y₂ （m≠0）在第四象限交于点C．把点A（﹣2，3）代入y₂ （m≠0），求出m，得到反比例函数的解析式，将两个解析式联立组成方程组，求出方程组的解得到C点坐标，结合图象求出不等式y₁≤y₂的解集；

（3）设一次函数y x+2与x轴交于点D，求出D（4，0）．根据S_△ABP＝S_△ADP﹣S_△DBP ，列出方程 PD×3 PD×2 ，求出PD ，进而得到点P的坐标．

【解题过程】

解：（1）把A（﹣2，3），B（0，2）代入y₁＝kx+b，

得 ，解得 ，

∴一次函数的解析式为y x+2；

（2）如图，设一次函数y₁＝kx+b（k≠0）与反比例函数y₂ （m≠0）在第四象限交于点C．

∵反比例函数y₂ （m≠0）过点A（﹣2，3），

∴m＝﹣2×3＝﹣6，

∴反比例函数的解析式为y ．

解方程组 ，得 ，或 ，

∴C（6，﹣1），

∴不等式y₁≤y₂的解集为﹣2≤x＜0或x≥6；

（3）如图，设一次函数y x+2与x轴交于点D，

∴当y＝0时， x+2＝0，解得x＝4，

∴D（4，0）．

∵S_△ABP＝S_△ADP﹣S_△DBP ，

∴ PD×3 PD×2 ，

∴PD ，

∴点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）．

19．（新乐市期末）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象．

①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；

x

…

﹣4

﹣3

﹣2

0

1

2

…

y

…

﹣1

﹣2

﹣3

3

2

m

…

②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质．

判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．

①函数值y随x的增大而减小；　×　

②函数图象关于原点对称；　×　

③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．　√　

（3）请你根据图象再写一条此函数的性质：　当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小　．

【思路点拨】

（1）①将x＝0代入即得m的值；

②描出（0，1）即可；

③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；

（2）根据图象，数形结合即可判断．

（3）观察图象即可求得．

【解题过程】

解：（1）①x＝0时，y 1，

∴m＝1，

故答案为：1；

②如图：

∵m＝1，

∴A即为补充描出点；

③补充图象如图：

（2）根据函数图象可得：

①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误，应为×，

②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误，应为×，

③x＝﹣1时， 无意义，函数图象与直线x＝﹣1没有交点，应为√．

故答案为：×，×，√．

（3）观察图象，当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小；

故答案为：当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小．

20．（邯郸一模）某小超市计划购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品每件的进价为20元，乙商品每件的进价由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价固定不变，浮动价与购进乙商品件数成反比，现购进乙商品x件，乙商品每件的进价为P元．

在购进过程中，可以获得如下信息：

x（件）	10	50
P（元）	70	38

（1）求P与x之间函数关系式；

（2）若乙商品每件的进价是甲商品的2倍，求x的值；

（3）若购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数，求小超市购进这两种商品的最少花费．

【思路点拨】

（1）设 （m，n为常数，且m≠0，n≠0），根据题意可得方程组，解方程组即可；

（2）根据“乙商品每件的进价是甲商品的2倍”列方程，求解即可；

（3）根据“购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数”列不等式，求出x的取值范围，再表示出W与x的函数关系式，根据增减性即可求出最小值．

【解题过程】

解：（1）设 （m，n为常数，且m≠0，n≠0），

由题意得 ，

解得 ，

∴P与x之间函数关系式： ；

（2）根据题意，得 ，

解得x＝40，

经检验，x＝40是原方程的根且满足题意，

∴x的值是40；

（3）由题意得， ，

解得x≥32，

设商场购进这两种商品的的总花费为W元，

W ，

∵10＞0，

∴W随着x增大而增大，

∴当x＝32时，W最小，最小值为2720元．

∴小超市购进这两种商品的最少花费为2720元．

21．（泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，有函数y₁ （x＞0），y₂ （k＜0，x＞0），y₃＝kx+6．

（1）若y₂与y₃相交于点A（2，m），

①求k与m的值；

②结合图象，直接写出y₂＜y₃时x的取值范围；

（2）在x轴上有一点P（a，0）且a＞0，过点P作y轴平行线，分别交y₁、y₂、y₃于点B、C、D，经计算发现，不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标．

【思路点拨】

（1）①将点A分别代入y₂ 和y₃＝kx+6，建立二元一次方程组，求解即可得m，k的值．

②由①可得 ，y₃＝﹣4x+6，A（2，﹣2），则根据图象即可得出y₂＜y₃时x的取值范围．

（2）由已知条件，分别表示出点B，C，D的坐标，可得出BC﹣CD，进而可列方程求得a的值，即可得出答案．

【解题过程】

解：（1）①∵y₂与y₃图象相交于点A（2，m），

∴把A（2，m）分别代入y₂ 和y₃＝kx+6，

得 ，

解得 ．

∴m的值为﹣2，k的值为﹣4．

② ，y₃＝﹣4x+6，A（2，﹣2），

根据图象可知，y₂＜y₃时，0＜x＜2．

（2）∵P（a，0），a＞0，

∴B（a， ），C（a， ），D（a，ak+6），

∴BC ，BD ak﹣6．

BC﹣BD （ ak﹣6）

ak+6

＝ak 6

＝k（a ）+6．

∵不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，

∴a 0，

解得a＝1或a＝﹣1（舍去）．

∴此定值为6，点B的坐标为（1，3）．

22．（双流区校级模拟）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y （x＞0）的图象交于点A（3，4）和点B（6，t），与x轴交于点C，与y轴交于点D．

（1）求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；

（2）若在x轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；

（3）若将线段AB沿直线y＝mx+n（m≠0）进行对折得到线段A₁B₁，且点A₁始终在直线OA上，当线段A₁B₁与x轴有交点时，求n的取值的最大值．

【思路点拨】

（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）设P（t，0），则PA²＝（t﹣3）²+（0﹣4）²＝t²﹣6t+25，PB²＝（t﹣6）²+（0﹣2）²＝t²﹣12t+40，AB²＝（3﹣6）²+（4﹣2）²＝13，根据△PAB为等腰三角形，则PA＝PB或PA＝AB或PB＝AB，分别建立方程求解即可得出答案；

（3）由于点A关于直线y＝mx+n的对称点点A₁始终在直线OA上，因此直线y＝mx+n必与直线OA垂直，当点B₁落到x轴上时，n的取值的最大，根据BB₁∥OA，求出点B₁的坐标，再将BB₁的中点坐标代入y x+n，即可求得n的最大值．

【解题过程】

解：（1）∵反比例函数y （x＞0）的图象经过点A（3，4）和点B（6，t），

∴k＝3×4＝6t，

∴k＝12，t＝2，

∴反比例函数的表达式为y ，

设直线AB的解析式为y＝cx+d，

∵A（3，4），B（6，2），

∴ ，

解得： ，

∴直线AB的解析式为y x+6；

（2）设P（t，0），

则PA²＝（t﹣3）²+（0﹣4）²＝t²﹣6t+25，

PB²＝（t﹣6）²+（0﹣2）²＝t²﹣12t+40，

AB²＝（3﹣6）²+（4﹣2）²＝13，

∵△PAB为等腰三角形，

∴PA＝PB或PA＝AB或PB＝AB，

当PA＝PB时，PA²＝PB²，

∴t²﹣6t+25＝t²﹣12t+40，

解得：t ，

∴P（ ，0）；

当PA＝AB时，PA²＝AB²，

∴t²﹣6t+25＝13，

∵Δ＝（﹣6）²﹣4×1×12＝﹣12＜0，

∴此方程无解；

当PB＝AB时，PB²＝AB²，

∴t²﹣12t+40＝13，

解得：t₁＝3，t₂＝9，

∴P（3，0）或（9，0）；

综上所述，△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为（ ，0）或（3，0）或（9，0）；

（3）当点B₁落到x轴上时，n的取值的最大，如图，

设直线OA的解析式为y＝ax，

∵点A的坐标为（3，4），

∴3a＝4，即a ．

∴直线OA的解析式为y x．

∵点A₁始终在直线OA上，

∴直线y＝mx+n与直线OA垂直．

∴ m＝﹣1．

∴m ．

∴y x+n，

由于BB₁∥OA，因此直线BB₁可设为y x+e．

∵点B的坐标为（6，2），

∴ 6+e＝2，即e＝﹣6．

∴直线BB₁解析式为y x﹣6．

当y＝0时， x﹣6＝0．则有x ．

∴点B₁的坐标为（ ，0）．

∵BB₁的中点坐标为（ ， ）即（ ，1），

点（ ，1）在直线y x+n上，

∴ n＝1．

解得：n ．

故当线段A₁B₁与x轴有交点时，n的取值的最大值为 ．

23．（成都模拟）如图，直线AB经过点B（0，﹣2），并与反比例函数 交于点A（3，﹣1）．

（1）求直线AB和反比例函数的表达式；

（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；

（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．

【思路点拨】

（1）利用待定系数可得答案；

（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为y ，与反比例函数解析式联立，通过Δ＝0，从而解决问题；

（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分CD为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．

【解题过程】

解：（1）将A（3，﹣1）代入y 中得，

，

∴k＝﹣3，

∴反比例函数的表达式为y ，

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A（3，﹣1）与B（0，﹣2）代入得，

，

∴ ，

∴直线AB的解析式为y ；

（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，

设直线l的解析式为y ，

∴方程 有两个相等的实数根，

整理得x²+3bx+9＝0，

∴Δ＝（3b）²﹣4×1×9＝0，

解得b＝2或﹣2，

∵直线l与y轴交于正半轴，

∴b＝﹣2舍去，

解方程 ，得x＝﹣3，

∴y ，

∴M（﹣3，1）；

（3）分两种情况讨论：

①当CE⊥CD时，如图，作CN∥x轴交PQ于点N，

∵PQ∥y轴，

∴∠EOC＝∠OCN＝∠CND＝90°，

∵四边形DCEF为正方形，

∴EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠OCN，

∴∠ECO＝∠DCN，

在△ECO与△DCN中，

，

∴△ECO≌△DCN（AAS），

∴CN＝CO，

∵C与B关于原点对称，

∴OC＝OB＝2，CN＝OC＝2，

∴C（0，2），

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

则 ，

∴ ，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，

∵CN＝2，点Q在直线PQ上，

∴点Q的横坐标为2，

当x＝2时，y＝0，

∴Q（2，0）；

②当CD⊥DE时，如图，过点D作x轴的平行线MN，交AC于点H，过E作y轴的平行线交MN于点N，

则四边形OMNE是矩形，

∴OM＝NE，

∴∠CMD＝∠DNE＝90°，

∵四边形DCEF为正方形，

∴CD＝DE，∠CDE＝90°，

∵∠CDM+∠EDN＝∠CDM+∠DCM＝90°，

∴∠EDN＝∠DCM，

在△CDM与△DEN中，

，

∴△CDM≌△DEN（AAS），

∴MD＝EN＝OM，

由①知直线AB的解析式为y＝﹣x+2与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，2），

∴∠ACB＝45°，

∴△CMH为等腰直角三角形，

∴MH＝CM，∠CHM＝45°，

∴△QDH为等腰直角三角形，

∵MD+DH＝OM+CO，

∴DH＝OC＝2，

∴DH＝QD＝2，

∵D是PQ的中点，

∴PQ＝4，

设Q（a，﹣a+2），则P（a， ），

∴﹣a+2﹣（ ）＝4，

∴a＝﹣3（设）或a＝1，

∴﹣a+2＝﹣1+2＝1，

∴Q（1，1），

当CE⊥DE时，同理可得△COE≌△EGD（AAS），

∴OC＝EG＝2，OE＝DG，

设E（m，0），则D（m+2，m），

∴Q（m+2， ），P（m+2， ），

∴2m ，

解得m＝7±3 ，

∴Q（9+3 ， 1）或（9﹣3 ， ），

综上，Q点的坐标为（2，0）或（1，1）或（9+3 ， 1）或（9﹣3 ， ）．