专题6.2 反比例函数的应用

【典例1】为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y₁（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：

（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？

（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？

【 思路点拨】

（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；

（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．

【 解题过程】

解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y ，

∵点（1，180）在该函数图象上，

∴180 ，得k＝180，

∴y ，

当x＝4时，y 45，

即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；

（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，

∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，

∴ ，

解得 ，

∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，

，

解得2≤x≤7

∵x为正整数，

∴x＝2，3，4，5，6，7，

答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．

1．（安徽期中）下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（　　）

A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系

B．菱形的面积为48cm²，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系

C．一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系

D．压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系

【思路点拨】

先对各选项根据题意列出函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断即可结论．

【解题过程】

A．根据速度和时间的关系式得：v ，是反比例函数；

B．因为菱形的对角线互相垂直平分，所以 xy＝48，即y ，是反比例函数；

C．根据体积，质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系得：m＝30ρ，不是反比例函数；

D．根据压力，压强p与受力面积S之间的关系得：p ，是反比例函数；

故选：C．

2．（江岸区模拟）防汛期间，下表记录了某水库16h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8h时，达到警戒水位，开始开闸放水，此时，y与x满足我们学过的某种函数关系．其中开闸放水有一组数据记录错误，它是（　　）

x/h	0	1	2	8	10	12	14	16
y/m	14	14.5	15	18	14.4	12	11	9

A．第1小时 B．第10小时 C．第14小时 D．第16小时

【思路点拨】

根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式．

【解题过程】

解：设y与x的函数表达式为 ，由记录表得：k＝8×18＝10×14.4＝12×12＝144，

∴y ，

当x＝14时，y ，

故第14小时这一组数据记录错误，

故选：C．

3．（德城区二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（　　）

A．R≥2 B．0＜R≤2 C．R≥1 D．0＜R≤1

【思路点拨】

根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，结合图象求出结论．

【解题过程】

解：设反比例函数关系式为：I ，

把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，

∴反比例函数关系式为：I ，

当I≤6时，则 6，

R≥1，

故选：C．

4．（云南模拟）已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（　　）

A．0＜x≤10 B．10≤x≤24 C．0＜x≤20 D．20≤x≤24

【思路点拨】

根据题意得出反比例函数解析式，进而结合函数图象得出答案．

【解题过程】

解：由题意可设 ，

∵图象过点（20，1000），

∴k＝20000．

∴ ．

∴当y＝2000时，x＝10．

观察图象可得：

∴当y≥2000时，0＜x≤10．

故选：A．

5．（青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．水温从20℃加热到100℃，需要7min

B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y

C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水

D．水温不低于30℃的时间为 min

【思路点拨】

因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为 8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．

【解题过程】

解：∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： 8min，

故A选项不合题意；

由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，

设反比例函数解析式为y ，

代入点（8，100）可得，k＝800，

∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y ，

故B选项不合题意；

令y＝20，则 20，

∴x＝40，

即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，

从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，

而水温加热到100℃，仅需要8分钟，

故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，

令x＝10，则y 80℃＞40℃，

故C选项不符合题意；

水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，

令y＝30，则 30，

∴ ，

∴水温不低于30℃的时间为 min，

故选：D．

6．（平舆县期末）某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）

A．4月份的利润为45万元

B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元

D．9月份该企业利润达到205万元

【思路点拨】

直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．

【解题过程】

解：A、设反比例函数的解析式为y ，

把（1，180）代入得，k＝180，

∴反比例函数的解析式为：y ，

当x＝4时，y＝45，

∴4月份的利润为45万元，故此选项正确，不合题意；

B、治污改造完成后，从4月到5月，利润从45万到75万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；

C、当y＝135时，则135 ，

解得：x ，

设一次函数解析式为：y＝kx+b，

则 ，

解得： ，

故一次函数解析式为：y＝30x﹣75，

当x＝6时，y＝105，当x＝7时，y＝135，

则只有2月，3月，4月，5月，6月共5个月的利润低于135万元，故此选项正确，不符合题意．

D、设一次函数解析式为：y＝kx+b，

则 ，

解得： ，

故一次函数解析式为：y＝30x﹣75，

故y＝205时，205＝30x﹣75，

解得：x ，

则9月份之后该厂利润达到205万元，故此选项不正确，符合题意．

故选：D．

7．（铁西区期末）一货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时，则y与x之间的函数关系式是　y 　（不必写自变量取值范围）．

【思路点拨】

根据甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，可以得到这批货物总的吨数，然后根据时间＝总量÷速度，即可写出y与x之间的函数关系式

【解题过程】

解：由题意可得，y ．

即y与x的函数关系式是y ．

故答案为：y ．

8．（鼓楼区校级期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压p（Pa）是气球体积V（m³）的反比例函数，且当V＝1.5m³时，p＝16000Pa．当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于　0.6　m³．

【思路点拨】

设函数解析式为p ，把V＝1.5m³时，p＝16000Pa代入函数解析式求出k值，代入p值即可得到有关V的不等式，从而确定正确的答案．

【解题过程】

解：设函数解析式为p ，

∵当V＝1.5m³时，p＝16000Pa，

∴k＝Vp＝24000，

∴p ，

∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，

∴ 40000，

解得：V≥0.6，

即气球的体积应不小于0.6m³．

故答案为：0.6．

9．（江西开学）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm²）成反比例函数关系，其图象如图所示，当面条的横截面积为0.4cm²时，则面条总长度是　320　cm．

【思路点拨】

由题意可以设y ，利用待定系数法求出函数解析式；把x＝0.4代入y ，求出y即可．

【解题过程】

解：由题意可以设y ，

把（4，32）代入得：k＝128，

∴y （x＞0）．

当x＝0.4时，y 320，

∴面条总长度是320厘米．

故答案为：320．

10．（郾城区期末）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），那么开机后50分钟时，水的温度是　80　℃．

【思路点拨】

根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由50﹣40＝10＞8，将x＝10代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．

【解题过程】

解：当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，

依据题意，得 ，

解得： ，

故此函数解析式为：y＝10x+20；

在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y

依据题意，得：100 ，

即m＝800，

故y ，

当y＝20时，20 ，

解得：t＝40；

∵50﹣40＝10＞8，

∴当x＝10时，y 80，

答：开机后50分钟时，水的温度是80℃，

故答案为：80．

11．（定海区一模）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T_m（m为1～4的整数），函数 （x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T₁～T₄这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是　8＜k＜12　．

【思路点拨】

分别求出函数 （x＞0）过点时k的值，可得结果．

【解题过程】

解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，

∴T₁（8，1），T₂（6，2），T₃（4，3），T₄（2，4），

∴当函数 （x＞0）过点T₁（8，1），T₄（2，4）时，k＝8，

当函数 （x＞0）过点T₂（6，2），T₃（4，3）时，k＝12，

∴若曲线L使得T₁～T₄这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：8＜k＜12．

故答案为：8＜k＜12．

12．（吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．

【思路点拨】

设函数的解析式为y （x＞0），由x＝400时，y＝0.25可求k，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案．

【解题过程】

解：设函数的解析式为y （x＞0），

∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，

∴k＝400×0.25＝100，

∴解析式为y ，

∴当y＝0.4时，x 250，

∵小慧原来戴400度的近视眼镜，

∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣250＝150（度），

答：小慧所戴眼镜的度数降低了150度．

13．（信都区期末）某书包厂准备生产若干个书包，已知每个书包的成本y（元）由材料成本和加工成本两部分组成，其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例；

在生产过程中，获得以下数据：当生产1000个书包，每个书包的成本是40元，当生产2000个书包，每个书包的成本是35元．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）若希望每个书包的成本是32元，应生产多少个书包？

【思路点拨】

（1）设每个书包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为y a，然后把x＝1000，y＝40时，x＝2000，y＝35代入y a中，进行计算即可解答；

（2）把y＝32代入（1）中所求的函数表达式进行计算即可解答．

【解题过程】

解：（1）设每个书包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为y a，

由题意得：

，

解得： ，

∴y与x之间的函数关系式为：y 30；

（2）当y＝32时，32 30，

解得：x＝5000，

经检验，x＝5000是原方程的根，

∴应生产5000个书包．

14．（金东区校级期中）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．某天，小金、小东放学回家后各自洗一件完全相同的衣服，漂洗时，小金每次用水约6升，小东每次用水约5升，他们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小金的衣服残留的洗衣粉还有1.5克，小东的衣服残留的洗衣粉还有2克．

（1）分别求出小金、小东衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于次数x的函数解析式．

（2）已知洗衣粉的残留量降至0.35克时，便视为衣服漂洗干净，若以把衣服洗干净为前提，节约用水为目标，判断小金和小东两种漂洗方法用水量的大小，并说明理由，

【思路点拨】

（1）设小金、小东衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y₁ ，y₂ ，再根据题意代入求出k₁和k₂即可；

（2）当y＝0.35时，求出此时小金、小东所用的水量，再进行比较即可．

【解题过程】

解：（1）设小金、小东衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y₁ ，y₂ ，

将（1，1.5）和（1，2）分别代入两个关系式得：

1.5 ，2 ，

解得：k₁＝1.5，k₂＝2．

∴小金的函数关系式是y₁ ，小东的函数关系式是y₂ ．

（2）把y＝0.35分别代入函数y₁ 得：

0.35，

解得：x ，

把y＝0.35分别代入函数y₂ 得：

0.35，

解得：x ，

6 （升）， 5 （升）．

答：小金共用 升水，小东共用 升水，小金的方法更值得提倡．

15．（平顶山期末）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．

（1）若人和木板对湿地地面的压力F一定时，木板对烂泥湿地的压强p（Pa）是木板面积S（m²）的反比例函数，其图象如图所示．

①求出p与S的函数解析式；

②当木板面积为0.3m²时，压强是多少？

（2）已知该科技小组每个成员的体重与每块木板重量之和在400N～750N之间，若要求压强不超过5000Pa，要确保每个人都能安全通过湿地，木板的面积至少要多大？

【思路点拨】

（1）①根据压强等于压力除以受力面积即可解得；

②将S＝0.3代入函数的解析式计算压强即可；

（2）令压强小于等于5000pa，求得面积即可；

【解题过程】

解：（1）①设p与S的函数解析式为P ，由图可知，当S＝2时，p＝300，

所以有300 ，

解得：F＝600，

即：p与S的函数解析式p ；

②令S＝0.3，则P 2000Pa，

所以物体受到的压强为2000Pa；

（2）由题意得：人与木板对湿地底面的最大压力为750N，此时有P ，

当p＝5000时，有S＝750÷5000＝0.15（m²）．

答：木板的面积至少要0.15m²；

16．（达川区期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．

（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，　5　分钟时学生的注意力更集中．

（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．

（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

【思路点拨】

（1）根据图象信息即可得到结论；

（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；

（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

【解题过程】

解：（1）由图象知，上课后的第5分钟与第30分钟相比较，5分钟时学生的注意力更集中，

故答案为：5；

（2）设线段AB的解析式为：y_AB＝kx+b，

把（10，50）和（0，30）代入得， ，

解得： ，

∴直线AB的解析式为：y_AB＝2x+30；

设双曲线CD的函数关系式为：y_CD ，

把（20，50）代入得，50 ，

∴a＝1000，

∴双曲线CD的函数关系式为： ；

（3）当y＝40时，2x+30＝40，x＝5. ．

∴25﹣5＝20＞18．

∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．

17．（铁锋区期末）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．

（1）这场沙尘暴的最高风速是　32　千米/小时，最高风速维持了　10　小时；

（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　59.5　小时．

【思路点拨】

（1）由速度＝增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

（2）设y ，将（20，32）代入，利用待定系数法即可求解；

（3）由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y＝10代入（2）中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．

【解题过程】

解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；

4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，

10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

故答案为：32，10；

（2）设y ，

将（20，32）代入，得32 ，

解得k＝640．

所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y ；

（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，

∴4.5时风速为10千米/时，

将y＝10代入y ，

得10 ，解得x＝64，

64﹣4.5＝59.5（小时）．

故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．

故答案为：59.5．

18．（海淀区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．

（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：

①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　9x+15　；

②下降阶段：当x＞5时，y　 　．

（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？

【思路点拨】

（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；

（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．

【解题过程】

解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，

由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），

所以 ，

解得： ，

所以y＝9x+15，

②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y ，

由于图象过点（5，60），所以m＝300．

则y ；

故答案为：9x+15；

（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x ，

因为y随x的增大而增大，所以x ，

当x≥5时，y 30，

得x＝10，因为y随x的增大而减小，

所以x＜10，

10 ，

答：可加工 min．

19．（鄞州区一模）如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与用药的时间x（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段OA和部分双曲线AB：y 组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段BC和部分曲线CD：y m组成，其中OA与BC平行，血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效．

（1）分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；

（2）受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗？

（3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？

【思路点拨】

（1）先待定系数法求出AB段和OA段的解析式，然后根据OA与BC平行，可确定BC段的解析式，然后求解即可；

（2）分别求出OA段和AB段y＝5时的x的值，进一步比较即可确定；

（3）先求出CD段解析式，然后令y＝4求出x的值，进一步求解即可．

【解题过程】

解：（1）将点A（6，8）代入y ，

得k＝6×8＝48，

∴y ，

当x＝16时，y＝3，

∴B（16，3），

设OA的解析式：y＝ax，

代入A（6，8），

得6a＝8，

解得a ，

∴OA的解析式：y x，

∵OA与BC平行，

设BC的解析式：y x+b，

代入B（16，3），

得 ，

解得b ，

∴BC的解析式：y x ，

当x＝22时，y＝11，

∴C（22，11），

∴第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升，第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升；

（2）当y x＝5，解得x ，

当y 5，解得x ，

∵ 6，

∴有疗效的持续时间未达到6小时；

（3）将点C（22，11）代入y m，

得8+m＝11，

解得m＝3，

∴CD段函数解析式： ，

当y＝4时，x＝64，

∴64﹣16＝48（小时），

∴受试者第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药．

20．（永康市模拟）在平面直角坐标系中，如图为一根木料的横截面示意图，其中的曲线AB是一段反比例函数图象，线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°，端点B的坐标是（80，20）．

（1）求该反比例函数解析式．

（2）求线段AB所在直线的解析式．

（3）木工想把该木料分割成完全相同的两部分．试求该横截面上的分割线长．

【思路点拨】

（1）设反比例函数解析式为y ，把点B坐标代入解析式即可求出k的值，从而得出函数解析式；

（2）过点A作AC⊥x轴，过点B作BC⊥y轴，AC交BC于点C，根据题意，推导得AC＝BC．设点A的横坐标为m，根据坐标和等腰直角三角形的性质，列分式方程并求解，得m，再根据一次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到结论；

（3）AB中点F，连接OF，结合（1）和（2）的结论，得木料的横截面示意图关于OF所在直线对称，根据一次函数的性质，推导得OF所在直线解析式，从而得点E坐标，根据勾股定理计算，即可得到答案．

【解题过程】

解：（1）设反比例函数群析式为：y

∵端点B的坐标是（80，20），

∴ 20，

∴k＝1600．

∴反比例函数解析式为：y ；

（2）如图，过点4作AC⊥x轴，过点B作BC⊥y轴，AC交BC于点C，

∵x轴⊥y轴，

∴AC⊥BC，

∵线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°，即∠ABC＝45°，

∴∠BAC＝45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴AC＝BC，

设点A的横坐标为m，

根据题意，得A（m， ），

∴C（m，20），

∴AC 20，BC＝80﹣m，

∴ 20＝80﹣m，

∴m²﹣100m+1600＝0，

解得：m＝20或m＝80 （舍去），

经检验，m＝20是 20＝80﹣m的根，

∴A（20，80），

设线段AB所在直线的解析式为：y＝mx+n，

∴ ，

解得： ，

∴线段AB所在直线的解析式为：y＝﹣x+100；

（3）如图，AB中点F，连接OF，结合（1）和（2）的结论，得木料的横截面示意图关于OF所在直线对称，即OF所在直线把该木料分割成完全相同的两部分，OF所在直线和反比例函数相交于点E，

设OF所在直线为y＝px，

∵A（20，80），B（80，20），

∴F（50，50），

∴50p＝50，

∴p＝1，

∴OF所在直线为y＝x，

∴ ，

解得： ，

∴E（40，40），

∴EF 10 ，

∴该横截面上的分割线长为10 ．