专题6.1
反比例函数（知识讲解）
【学习目标】
理解并掌握反比例函数的定义，判断一个函数是否为反比例函数；
能够根据反比例函数的表达式确定参数值；
能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为
，其中
是不等于零的常数.
一般地，形如
(
为常数，
)的函数称为反比例函数，其中
是自变量，
是函数，自变量
的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：
在
中，自变量
是分式
的分母，当
时，分式
无意义，所以自变量
的取值范围是
，函数
的取值范围是
.故函数图象与
轴、
轴无交点.-
(
)可以写成
(
)的形式，自变量
的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数
这一条件.
（3）
(
)也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数
，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
中，只有一个待定系数
，因此只需要知道一对
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出
的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
(
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数
的值；
（4）把求得的
值代回所设的函数关系式
中.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义➼➼识别★★求参数★★函数值★★自变量取值范围
1、下列关系式中，
是
的反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，进行判断即可．
解：A、
，是正比例函数，不符合题意；
B、
是反比例函数，符合题意；
C、
，是二次函数，不符合题意；
D、
，是一次函数，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查反比例函数的判断．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．
【变式】下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．
解：反比例函数的三种形式为：
①
（
为常数，
），②
（
为常数，
），③
（
为常数，
），
由此可知：只有
不是反比例函数，其它都是反比例函数，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
2、若点A（a，b）在反比例函数
的图像上，则代数式ab-4的值为（
）
A．0 B．-2 C．2 D．-6
【答案】B
解：∵点（a，b）反比例函数
上，
∴b=
，即ab=2，
∴原式=2-4=-2．
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
【变式】反比例函数y＝
(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于( )
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣
D．﹣2
【答案】D
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=2×(-4)，然后解关于n的方程即可．
解：∵点（2，-4）和点（4，n）在反比例函数y=
的图象上，
∴4n=2×(-4)，
∴n=-2．
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3、已知反比例函数
，若
，则y的取值范围是______．
【答案】
或
【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．
解：把x=-2代入
得：y=-4，
∵8＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，
∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，
故答案为：y≤-4或y＞0．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
【变式】已知
，
都在反比例函数
的图象上，若
，则
的值为______.
【答案】
【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据
即可求解.
解：把
，
代入
得：
∵
∴
故答案为-12
【点拨】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键.
4、如图，点A在反比例函数
的图象上，过点A作
轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当
时，△ABC的周长是______．
【答案】
##
【分析】根据点A在反比例函数
（
）上，
轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到
，将△
的周长转化为
即可．
解：∵点A在反比例函数
（
）上，
轴
∴
∵
∴
∵
的垂直平分线交
轴于点
∴
∴△
的周长=
故答案为：
．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
【变式】两个反比例函数
的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3…P2010在
的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P1、P2、P3、…、P2010分别作x轴的平行线，与
图象交点依次是Q1、Q2、Q3、…、Q2010，则点Q2010的横坐标是__．
【答案】﹣8038
解：试题分析：根据P2010和Q2010的纵坐标相同找出排列规律，代入反比例函数的解析式即可．
解：根据题意，因为P2010Q2010∥X轴，所以P2010和Q2010的纵坐标相同．
根据数列1，3，5，7，9，11，…，的排列规律，得第2010个数为2×2010﹣1=4019，
代入y=
得，y=
，
代入y=﹣
，得
=﹣
，x=﹣8038．
故答案为﹣8038．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：数字的变化类．
点评：考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题将规律探索和求点的坐标结合起来，而且解答时要抓住问题的关键：两反比例函数中，Pn和Qn纵坐标相等．
类型二、待定系数法求反比例函数解析式★★求函数值
5、已知反比例函数
的图像经过直线
上的点
，求m和k的值
【答案】
；
．
【分析】先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值．
解：把
，
代入
的左右两边解得
；
把
，
代入
的左右两边解得
．
【点拨】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键．
【变式1】已知反比例函数y＝
（k≠0），当x＝﹣3时，y＝
．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．
【答案】（1）y＝﹣
；（2）x＝1
【分析】（1）将x＝﹣3，y＝
代入y＝
（k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式；
（2）将y＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x值即可．
解：（1）根据题意，得
＝﹣
，
解得，k＝﹣4；
∴该反比例函数的解析式是y＝﹣
；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y＝﹣
，
∴当y＝﹣4时，﹣4＝﹣
，即x＝1．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还利用了反比例函数图象上点的坐标特征，求函数值对应得自变量的值．
【变式2】已知
与y成反比例，且当
时，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当
时，求y的值.
【答案】（1）
;（2）6.
【分析】（1）设
，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式；
（2）把x=-1代入解析式求出y的值即可．
解：（1）∵x与y成反比列，
∴设
，
当x=-2时，y=3，得
，解得：k=-6
∴y关于
的函数解析式是
（2）当x=-1时，
=6
【点拨】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
类型三、反比例函数解析式➼➼反比例函数与一次函数综合
6、将直线
向下平移1个单位长度，得到直线
，若反比例函数
的图象与直线
相交于点
，且点
的纵坐标是3．
（1）求
和
的值；
（2）结合图象求不等式
的解集．
【答案】（1）m=0,k=3；（2）
试题分析：（1）利用一次函数的平移规则求出m，求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值.
解：（1）
由
向下平移1个单位长度而得
点的纵坐标为3，且在
上，
上，
（2）由图像得：
考点：一次函数与反比例函数的综合运用；数形结合
【变式1】如图，点D在双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交双曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（3，2）．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求△OFA的面积．
【答案】（1）双曲线解析式为
；（2）
试题分析：（1）根据点C的坐标，利用比值关系求出D点的坐标，然后根据待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）根据解析式求出B点的坐标，用A点坐标求出直线AB的解析式，再求出F点的坐标，最后根据三角形的面积求解.
解：（1）∵点C的坐标为（3，2）；
∴OA=3，AC=2．
∵AC：AD=1：3，
∴AD=6，
∴点D的坐标为（3，6） ；
设该双曲线的解析式为
；
∴k=3×6=18，
∴该双曲线的解析式为
；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）；
∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线
上，
∴
∴x=9
∴B点的坐标为（9，2），A点的坐标为（3，0）；
∴
解之得：
∴直线AB的解析式为y=
x-1；
∵直线AB与y轴的交点为F；
∴F点的坐标为（0，-1），
∴OF=1，
∴△OFA的面积=
×OA·OF=
.
【变式2】如图，在平面直角坐标系
中，双曲线
经过□
的顶点
.点
的坐标为
，点
在
轴上，且
轴，
.
（1）填空：点
的坐标为；
（2）求双曲线和
所在直线的解析式.
【答案】（1）（0，1）；（2）
，
.
试题分析：（1）由D得坐标以及点A在y轴上，且AD∥x轴即可求得；
（2）由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得OE得长，得到B得纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．
解：（1）∵点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，
∴A（0，1）；故答案为（0，1）；
（2）∵双曲线
经过点D（2，1），∴k=2×1=2，∴双曲线为
，
∵D（2，1），AD∥x轴，∴AD=2，∵S▱ABCD=5，∴AE=
，
∴OE=
，∴B点纵坐标为
，
把y=
代入
得，
=
，解得x=
，∴B（
，
），
设直线AB得解析式为y=ax+b，
代入A（0，1），B（
，
）得：
，解得
，
∴AB所在直线的解析式为
．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质．