【324216】2024八年级数学下册 专题6.1 反比例函数（知识讲解）（新版）浙教版

专题6.1 反比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解并掌握反比例函数的定义，判断一个函数是否为反比例函数；

2. 能够根据反比例函数的表达式确定参数值；

3. 能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即 ，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.

一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.

特别说明：

1. 在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点.

2. ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.

（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为： ( )；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数 的值；

（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.

【典型例题】

类型一、反比例函数定义➼➼识别★★求参数★★函数值★★自变量取值范围

1、下列关系式中， 是 的反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据反比例函数的定义，进行判断即可．

解：A、 ，是正比例函数，不符合题意；

B、 是反比例函数，符合题意；

C、 ，是二次函数，不符合题意；

D、 ，是一次函数，不符合题意；

故选B．

【点拨】本题考查反比例函数的判断．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．

【变式】下列函数中，不是反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．

解：反比例函数的三种形式为：

① （ 为常数， ），② （ 为常数， ），③ （ 为常数， ），

由此可知：只有 不是反比例函数，其它都是反比例函数，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．

2、若点A（a，b）在反比例函数 的图像上，则代数式ab-4的值为（ ）

A．0 B．-2 C．2 D．-6

【答案】B

解：∵点（a，b）反比例函数 上，

∴b= ，即ab=2，

∴原式=2-4=-2．

故选B．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

【变式】反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于(   )

A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2

【答案】D

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=2×(-4)，然后解关于n的方程即可．

解：∵点（2，-4）和点（4，n）在反比例函数y= 的图象上，

∴4n=2×(-4)，

∴n=-2．

故选D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

3、已知反比例函数 ，若 ，则y的取值范围是______．

【答案】 或

【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．

解：把x=-2代入 得：y=-4，

∵8＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，

∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，

故答案为：y≤-4或y＞0．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．

【变式】已知 ， 都在反比例函数 的图象上，若 ，则 的值为______.

【答案】

【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据 即可求解.

解：把 ， 代入 得：

∵

∴

故答案为-12

【点拨】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键.

4、如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当 时，△ABC的周长是______．

【答案】 ##

【分析】根据点A在反比例函数 （ ）上， 轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到 ，将△ 的周长转化为 即可．

解：∵点A在反比例函数 （ ）上， 轴

∴

∵

∴

∵ 的垂直平分线交 轴于点

∴

∴△ 的周长=

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．

【变式】两个反比例函数 的图象在第一象限，第二象限如图，点P₁、P₂、P₃…P₂₀₁₀在 的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P₁、P₂、P₃、…、P₂₀₁₀分别作x轴的平行线，与 图象交点依次是Q₁、Q₂、Q₃、…、Q₂₀₁₀，则点Q₂₀₁₀的横坐标是__．

【答案】﹣8038

解：试题分析：根据P₂₀₁₀和Q₂₀₁₀的纵坐标相同找出排列规律，代入反比例函数的解析式即可．

解：根据题意，因为P₂₀₁₀Q₂₀₁₀∥X轴，所以P₂₀₁₀和Q₂₀₁₀的纵坐标相同．

根据数列1，3，5，7，9，11，…，的排列规律，得第2010个数为2×2010﹣1=4019，

代入y= 得，y= ，

代入y=﹣ ，得 =﹣ ，x=﹣8038．

故答案为﹣8038．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：数字的变化类．

点评：考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题将规律探索和求点的坐标结合起来，而且解答时要抓住问题的关键：两反比例函数中，P_n和Q_n纵坐标相等．

类型二、待定系数法求反比例函数解析式★★求函数值

5、已知反比例函数 的图像经过直线 上的点 ，求m和k的值

【答案】 ； ．

【分析】先将P点坐标代入直线解析式可求出m值，进而可得P点坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式即可得k的值．

解：把 ， 代入 的左右两边解得 ；

把 ， 代入 的左右两边解得 ．

【点拨】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的解析式，根据解析式求出点的坐标是解题的关键．

【变式1】已知反比例函数y＝ （k≠0），当x＝﹣3时，y＝ ．

（1）求y关于x的函数表达式．

（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．

【答案】（1）y＝﹣ ；（2）x＝1

【分析】（1）将x＝﹣3，y＝ 代入y＝ （k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式；

（2）将y＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x值即可．

解：（1）根据题意，得

＝﹣ ，

解得，k＝﹣4；

∴该反比例函数的解析式是y＝﹣ ；

（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y＝﹣ ，

∴当y＝﹣4时，﹣4＝﹣ ，即x＝1．

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还利用了反比例函数图象上点的坐标特征，求函数值对应得自变量的值．

【变式2】已知 与y成反比例，且当 时，

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当 时，求y的值.

【答案】（1） ;（2）6.

【分析】（1）设 ，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式；

（2）把x=-1代入解析式求出y的值即可．

解：（1）∵x与y成反比列，

∴设 ，

当x=-2时，y=3，得 ，解得：k=-6

∴y关于 的函数解析式是

（2）当x=-1时， =6

【点拨】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

类型三、反比例函数解析式➼➼反比例函数与一次函数综合

6、将直线 向下平移1个单位长度，得到直线 ，若反比例函数 的图象与直线 相交于点 ，且点 的纵坐标是3．

（1）求 和 的值；

（2）结合图象求不等式 的解集．

【答案】（1）m=0,k=3；（2）

试题分析：（1）利用一次函数的平移规则求出m，求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值.

解：（1） 由 向下平移1个单位长度而得

点的纵坐标为3，且在 上，

上，

（2）由图像得：

考点：一次函数与反比例函数的综合运用；数形结合

【变式1】如图，点D在双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交双曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（3，2）．

（1）求该双曲线的解析式；

（2）求△OFA的面积．

【答案】（1）双曲线解析式为 ；（2）

试题分析：（1）根据点C的坐标，利用比值关系求出D点的坐标，然后根据待定系数法求出反比例函数的解析式；

（2）根据解析式求出B点的坐标，用A点坐标求出直线AB的解析式，再求出F点的坐标，最后根据三角形的面积求解.

解：（1）∵点C的坐标为（3，2）； 

∴OA=3，AC=2． 

∵AC：AD=1：3，

∴AD=6，

∴点D的坐标为（3，6） ；

设该双曲线的解析式为 ； 

∴k=3×6=18，

∴该双曲线的解析式为 ；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）； 

∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线 上，

∴  

∴x=9 

∴B点的坐标为（9，2），A点的坐标为（3，0）； 

∴  

解之得：  

∴直线AB的解析式为y= x-1； 

∵直线AB与y轴的交点为F； 

∴F点的坐标为（0，-1），

∴OF=1， 

∴△OFA的面积= ×OA·OF= .

【变式2】如图，在平面直角坐标系 中，双曲线 经过□ 的顶点 .点 的坐标为 ，点 在 轴上，且 轴， .

（1）填空：点 的坐标为；

（2）求双曲线和 所在直线的解析式.

【答案】（1）（0，1）；（2） ， .

试题分析：（1）由D得坐标以及点A在y轴上，且AD∥x轴即可求得；

（2）由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得OE得长，得到B得纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．

解：（1）∵点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，

∴A（0，1）；故答案为（0，1）；

（2）∵双曲线 经过点D（2，1），∴k=2×1=2，∴双曲线为 ，

∵D（2，1），AD∥x轴，∴AD=2，∵S_▱ABCD=5，∴AE= ，

∴OE= ，∴B点纵坐标为 ，

把y= 代入 得， = ，解得x= ，∴B（ ， ），

设直线AB得解析式为y=ax+b，

代入A（0，1），B（ ， ）得： ，解得 ，

∴AB所在直线的解析式为 ．

考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质．