专题1.10
二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如
的式子叫做二次根式，如
等式子，都叫做二次根式.
特别说明：二次根式
有意义的条件是
，即只有被开方数
时，式子
才是二次根式，
才有意义.
2.二次根式的性质
特别说明：（1）一个非负数
可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
（
），如
（
）.
（2）
中
的取值范围可以是任意实数，即不论
取何值，
一定有意义.
（3）化简
时，先将它化成
，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）
与
的异同
不同点：
中
可以取任何实数，而
中的
必须取非负数；
=
，
=
（
）.
相同点：被开方数都是非负数，当
取非负数时，
=
.
3.最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如
等都是最简二次根式.
特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如
与
，由于
=
，
与
显然是同类二次根式.
要点二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
-
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
特别说明：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
.
【典型例题】
类型一、二次根式➽➼概念➽➼有意义条件✭✭二次根式的性质
1．（四川乐山·九年级统考期中）已知实数
、
满足
，求
的值．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得
，进而可得出
，然后可得
，从而得出
的结果．
解：由题意可知
，
解得：
，
则
，
∴
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（上海·七年级校考期中）化简：
．
【答案】
【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，
，化简得
，再由a的取值范围，求得
，化简
及
，最后进行整式运算即可．
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
原式=
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键．
【变式2】（江苏南通·八年级校考阶段练习）已知
，且x为偶数，求
的值．
【答案】
【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．
解：由题意得
，
解得：6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8．
∵原式＝（1+x）
＝（x+1）
=
．
∴当x＝8时，原式=
．
【点拨】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．
2．（全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三角形的三边，化简：
．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．
解：∵a，b，c为三角形三边，
∴
，
，
，
，
∴
．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（全国·八年级专题练习）比较
和
的大小（平方法）
【答案】
【分析】利用平方法，即可比较出大小．
解：
，
，
，
，
又
，
，
．
【点拨】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．
【变式2】（山东枣庄·八年级统考期中）一天老师在黑板上出示：求代数式
的值，其中
．如图是小明和小芳的解答过程：
的解法是错误的；
求代数式
的值，其中
．
【答案】(1)小亮 (2)2028
【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；
（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．
（1）解：∵
，
∴
，
，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵
，
∴
．
【点拨】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性
是解答的关键．
类型二、二次根式➽➼相关概念➽➼最简二次根式✭✭同类二次根式
3．（全国·八年级假期作业）已知最简二次根式
与
是同类二次根式，求
的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
解：∵最简二次根式
与
是同类二次根式，
∴
，
解得：
，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】（山东济南·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式
与
同类二次根式，且
，求x，y的值．
【答案】x=4，y=3．
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
解：∵最简二次根式
与
同类二次根式，
∴3a+4=19-2a，
解得，a=3，
∴
，即
∵
≥0，
≥0，
∴12-3x=0，y-3=0，
解得，x=4，y=3．
【点拨】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．
【变式2】（广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知
为正整数，且
与
能合并，试写出三个满足条件的
的值．
解：因为
与
能合并，
所以
为正整数）．
所以
，
所以
．
又
为正整数，所以
为偶数，
所以
为奇数．
所以当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
所以满足条件的
的值可以为3、31、87．（也可取
为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知
为正整数，且
与
能合并，试写出三个满足条件的
的值．
【答案】1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，
与
能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
解：
与
能合并，
为正整数），
，
，
又
为正整数，
为偶数，
为奇数，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
所以满足条件的
的值可以为1、21、61．（也可取
为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点拨】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
类型三、二次根式➽➼二次根式的乘除➽➼运算✭✭化简
4．（上海·八年级校考阶段练习）
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．
解：原式
【点拨】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
举一反三：
【变式1】（广东惠州·九年级校考开学考试）计算：
；（2）
；（3）
．
【答案】(1)
(2)1 (3)18
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
（1）解：
（2）
＝1；
（3）
＝18．
【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
【变式2】（江苏无锡·八年级校考阶段练习）计算
；（2）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
类型四、二次根式➽➼二次根式的加减➽➼运算✭✭化简
5．（上海·八年级校考阶段练习）计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．
解：
．
【点拨】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】（重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）计算下列各题；
；（2）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．
【变式2】（全国·八年级期末）计算：
；（2）
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可；
（2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键．
类型五、二次根式➽➼二次根式的混合运算➽➼运算✭✭化简
6．（重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）计算．
；（2）
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
举一反三：
【变式1】（四川攀枝花·九年级统考期中）计算题
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【变式2】（河南平顶山·八年级统考期中）计算：
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
．
【答案】(1)
(2)8 (3)
(4)0
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（3）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质与化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．
解：（1）原式
；
（2）原式
=8；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（上海静安·八年级校考期中）先化简：
，再求当
，
时的值．
【答案】原式
，当
，
时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
解：原式
，
当
，
时，
原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
举一反三：
【变式1】（上海奉贤·八年级校考期中）化简并求值：已知
，求
的值．
【答案】
；5
【分析】将
的值分子分母同时乘以
化简，把所求式子配方变形，将
的值代入计算即可得到结果．
解：∵
，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．
【变式2】（安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知
，
，求
的值．
【答案】18
【分析】先将条件变形为：
，
，然后将结论变形
，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
解：∵
，
，
∴
，
，
∴ab＝1，
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的运用，正确求出
，
是解答本题的关键．
类型六、二次根式➽➼综合与拓展
8．（江西抚州·八年级统考期中）小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式
，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
＝
＝
=
结合以上化简过程，请你动手尝试化简
．善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若
，则
，所以
，若
，且a，m，n为正整数，
；求a，m，n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；
（2）先将
展开，然后与
对边得到
、
，再根据
确定m、n的值，进而求得a的值．
（1）解：
=
=
．
（2）解：∵
∴
，
∵
∴
，
，
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（广西南宁·八年级统考期中）【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
；
．
【类比归纳】
请你仿照宾宾的方法将
化成另一个式子的平方；
(2)请运用宾宾的方法化简；
．
【变式探究】
若
，且a，m，n均为正整数，则
______．
【答案】(1)
(2)
(3)10或22
【分析】（1）将7看成是2+5，则
，由此求解即可；
（2）将11看成是9+2，则
，由此求解即可；
（3）根据
，
，可以得到
，
，
再根据a，m，n均为正整数，则
，由此求解即可．
解：（1）
（2）
（3）∵
，
，
∴
，
，
∵a，m，n均为正整数，
∴
，
∴
或
．
故答案为：10或22
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
【变式2】（甘肃兰州·八年级统考期中）阅读材料，并回答问题：形如
，
的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如
，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把
叫做
的有理化因式，
叫做
的有理化因式．
（1）问题：
的有理化因式是________，
的有理化因式是________．
（2）应用：分母有理化
．
（3）拓展：比较大小
与
．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可；
（2）把分子分母都乘以
即可；
（3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．
解：（1）由题意可得，
的有理化因式是
，
的有理化因式是
故答案为：
，
（2）
；
（3）
，
而
∴
∴
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的分母有理化，二次根式大小的比较，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．