专题1.2
二次根式的乘除
【典例1】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2
（1
）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b
（m+n
）2＝m2+2n2+2mn
（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b
的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b
（m+n
）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4
（m+n
）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简
．
【
思路点拨】
（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
【
解题过程】
解：（1）（m+n
）2＝m2+2
mn+5n2，
∵a+b
（m+n
）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n
）2＝m2+2
mn+3n2，
∵x+4
（m+n
）2，
∴
，
又∵x、m、n均为正整数，
∴
或
，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式
，
故答案为：
．
1．（江夏区校级月考）二次根式：
，2
，
，
，
，
，
，
，是最简二次根式的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
根据最简二次根式的定义，同时满足①被开方数不含能开得尽方的因数，②被开方数不含分母，才是最简二次根式，进行选择即可．
【解题过程】
解：
的被开方数中含有分母，所以不是最简二次根式；
2
，
，
，
符合最简二次根式的定义，所以它们是最简二次根式；
，
，二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数和因式，所以它们不是最简二次根式；
分母中含有二次根式，所以不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中，属于最简二次根式的个数是4个．
故选：C．
2．（罗庄区二模）等式
成立的条件是（ ）
A．x≠2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠2 D．x＞2
【思路点拨】
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解题过程】
解：由题意可得
，
解得：x＞2，
故选：D．
3．（海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【思路点拨】
根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．
【解题过程】
解：A.
•
，因此
和
不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．
•
a，所以
和
是有理化因式，因此选项B符合题意；
C．（
）（
）＝﹣（
）2，所以
和
）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；
D．（x
y
）•（x
y
）＝（x
y
）2，因此x
y
和x
y
不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：B．
4．（顺义区期末）当m＜0时，化简二次根式
，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】
根据题目的已知可知n＜0，然后进行计算即可．
【解题过程】
解：由题意得：
m＜0，n＜0，
∴
•（
）
，
故选：D．
5．（宝山区校级月考）若a＜0，化简2
3
的结果是（ ）
A．（2b﹣3a）
B．（﹣2b﹣3a）
C．（﹣2b+3a）
D．（2b+3a）
【思路点拨】
根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．
【解题过程】
解：∵a＜0，ab3≥0，
∴b≤0，
∴原式＝2|b|
3|a|
2b
3a
（﹣2b+3a）
．
故选：C．
6．（武穴市期中）化简2ab
的结果为（ ）
A．b2
B．b2
C．﹣b2
D．﹣b2
【思路点拨】
根据二次根式有意义的条件进行化简即可．
【解题过程】
解：当b＜0，a＞0时，
原式＝2ab
＝b•|b|
＝﹣b2
．
当b＞0，a＜0时，
原式＝﹣2ab
＝﹣b•b
＝﹣b2
．
故选：C．
7．（思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【思路点拨】
先化简各式，然后再进行比较即可．
【解题过程】
解：a＝2021×2022﹣20212
＝2021×（2022﹣2021）
＝2021×1
＝2021；
b＝1013×1008﹣1012×1007
＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007
＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007
＝1012+1007+1
＝2020；
c
；
∴2020
2021，
∴b＜c＜a，
故选：D．
8．（鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简
的结果为（ ）
A．2a B．2a
C．
D．
【思路点拨】
直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解题过程】
解：∵﹣1＜a＜0，
∴
＝a
（a
）
．
故选：D．
9．（金安区校级期末）若xy＞0，则二次根式
化简的结果为 ．
【思路点拨】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解题过程】
解：∵xy＞0，
∴x，y同号，
∵
有意义，
∴
0，
∴y＜0，则x＜0，
∴二次根式
化简的结果为：x•（
）
．
故答案为：
．
10．（浦东新区校级月考）设
a+b，其中a为正整数，0＜b＜1，则a﹣b＝ ．
【思路点拨】
先把
化简求出a+b的值，再根据a为正整数，b在0，1之间求出符合条件的a的值，求出对应的b的值，代入原式进行计算即可．
【解题过程】
解：∵
5
．
∴a+b＝5
6+（
1）．
∵a为正整数，0＜b＜1，
∴a＝6，b
1，
∴a﹣b＝6﹣（
1）＝7
．
故答案为：7
．
11．（宁波模拟）若
，
，则x6+y6的值是 ．
【思路点拨】
根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．
【解题过程】
解：由题意得：x2+y2＝2
2
4，x2﹣y2＝2
（2
）＝2
，x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝8
，
又（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，
∴可得：x6+y6＝32+x2y2（x2+y2）＝32+2×4＝40．
故答案为：40．
12．（闵行区校级期中）已知x
，y
，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ．
【思路点拨】
先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．
【解题过程】
解：∵x
（
）2＝2n+1﹣2
，
y
，
（
）2＝2n+1+2
，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，
将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，
化简得x2+y2＝98，
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
故答案为：2．
13．（浙江自主招生）若某个正整数m满足
，则m＝ ．
【思路点拨】
先把分母有理化，再裂项相加，中间可以抵消即可求解．
【解题过程】
解：∵
，
，
，
，
方程左边
，
所以得
，
∴
，
∴
，
解得m＝15．
故答案为：15．
14．（宝山区校级月考）
（1）
•
；（2）
．
【思路点拨】
（1）利用二次根式的乘除法的法则以及二次根式的性质与化简对式子进行运算即可；
（2）先把系数相乘再把被开方数相乘，被开方数中的多项式要分解因式，约分后在化成最简的形式．
【解题过程】
解：（1）
•
．
（2）原式＝﹣9
＝﹣6
＝﹣3
|a|．
15．（饶平县校级期末）观察下列各式，发现规律：
2
；
3
；
4
；…
（1）填空：
，
；
（2）计算（写出计算过程）：
；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
【思路点拨】
（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；
（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意得：
5
；
6
；
故答案为：5
；6
；
（2）
2015
；
（3）归纳总结得：
（n+1）
（自然数n≥1）．
16．（渭滨区期末）（一）阅读下面内容：
；
；
2．
（二）计算：
（1）
；
（2）
（n为正整数）．
（3）
．
【思路点拨】
（二）（1）原式分母有理化即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用得出的规律计算即可得到结果．
【解题过程】
解：（二）（1）原式
；
（2）
；
（3）原式
1
1＝9．
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
和
的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
，
．
因为
，所以
．
再例如：求y
的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
．
当x＝2时，分母
有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3
4和2
的大小；
（2）求y
的最大值．
【思路点拨】
（1）利用分母有理化得到3
4
，2
，利用3
4＞2
可判断3
4＜2
；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y
，由于x＝0时，
有最小值1，从而得到y的最大值．
【解题过程】
解：（1）∵3
4
，
2
，
而3
2
，4
，
∴3
4＞2
，
∴3
4＜2
；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y
，
∵x＝0时，
有最小值1，
∴y的最大值为1．
18．（遵化市期末）定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与
是关于4的共轭二次根式，则a＝ ．
（2）若2
与4
m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【解题过程】
解：（1）∵a与
是关于4的共轭二次根式，
∴
a＝4，
∴a
2
，
故答案为：2
；
（2）∵2
与4
m是关于2的共轭二次根式，
∴（2
）（4
m）＝2，
∴4
m
4﹣2
，
∴m＝﹣2．
19．（南川区期中）
2
；6+3＞2
；1
2
；7+7＝2
．
（1）观察上面的式子，请你猜想a+b与2
（a≥0，b≥0）的大小关系，并说明理由；
（2）请利用上述结论解决下面问题：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
【思路点拨】
（1）参照题干例子可直接写出，可用完全平方公式来说明理由；
（2）设对角线的长分别为a厘米，b厘米，则
800，再根据公式
可得答案．
【解题过程】
解：（1）
（a≥0，b≥0）．理由如下：
∵
2
0，
∴
．
（2）设对角线的长分别为a厘米，b厘米，由对角线互相垂直，四边形面积可表示为
，
则
800，
∴ab＝1600，
∵
2
80，
∴所以用来做对角线的竹条至少要用80cm．
20．（饶平县校级期末）观察下列等式：回答问题：
①
1
1
②
1
1
③
1
1
，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想
；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．
【思路点拨】
根据观察，可得规律：
1
．
【解题过程】
解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想
1
，
故答案为：1
；
（2）
1
．
（3）
＝1
．
21．（龙口市期中）阅读下列解题过程
例：若代数式
的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简：
；
（2）若等式
4成立，则a的取值范围是 ；
（3）若
8，求a的取值．
【思路点拨】
（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解题过程】
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7
22．（漳浦县期中）阅读下面例题：化简
解：∵
2+5＝7，2
；
7+2
∴
由上述例题的方法化简：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【思路点拨】
（1）根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（2）先把
变形，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（3）
x，求出x2，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简．
【解题过程】
解：（1）∵5﹣2
3﹣2
2＝（
）2﹣2
（
）2＝（
）2，
∴
；
（2）
；
（3）设
x，
则x2＝（
）2
＝4
2
4
＝8+2
＝8+2
＝8+2
＝8+2
2
＝6+2
，
∴x
1，即
1．