专题09中心对称与平行四边形的判定

【考点一】判定中心对称图形

例题：（广东·梅州市学艺中学八年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

【详解】

解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形，关键是理解定义，找出对称中心．

【变式训练】

1．（山东日照·九年级期末）在下列中国传统图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义即可判断．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．

2．（江苏·靖江市实验学校八年级阶段练习）下列四个图形中，属于中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念解答．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【详解】

解：A．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意；

B．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意；

C．能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 度后和原图形完全重合，故选项正确，符合题意；

D．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题考查了是中心对称图形的概念．解体的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（云南昆明·九年级期末）昆明市作为全国文明城市，倡导市民：“垃圾分类，人人参与”．下列四个图形是生活中常见的垃圾分类标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．（安徽铜陵·九年级期末）下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的有(          )

                          

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的识别．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

【考点二】已知两点关于原点坐标，求参数

例题：（山东日照·九年级期末）若点 与 关于原点对称，则 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列出方程即可解答．

【详解】

解： 点 与 关于原点对称，

， ，

， ，

，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．

【变式训练】

1．（四川达州·八年级期末）已知 和 关于原点对称，则 ___________．

【答案】−1

【解析】

【分析】

平面直角坐标系中，关于原点对称的两点，其横坐标与纵坐标分别互为相反数，由此可求得a与b的值，从而求得结果．

【详解】

∵ 和 关于原点对称

∴a=-4，b=3

∴

故答案为：−1

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

2．（山东德州·九年级期末）若点P（m－1，3）与点Q（3，2－n）关于原点成中心对称，则m＋n的值是______．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：∵点P（m−1，3）与点Q（3，2−n）关于原点成中心对称，

∴m−1＝−3，2−n＝−3，

解得：m＝−2，n＝5，

则m＋n＝−2＋5＝3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

3．（四川广安·九年级期末）若点 关于原点对称的点是 ，则 __________．

【答案】9

【解析】

【分析】

根据两点关于原点对称，则横坐标之和，纵坐标之和分别为零，建立一元一次方程求解即可．

【详解】

解：∵点 关于原点对称的点是 ，

∴3-a-1=0，3b+1+8=0，

解得a=2，b=-3，

∴ ，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了点的坐标关于原点对称，一元一次方程的解法，乘方运算，熟练掌握两个点关于原点对称的坐标特点是解题的关键．

4．（河北廊坊·九年级期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，则 _______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，然后代入求解即可．

【详解】

解：由点 关于原点对称的点为 ，得

∴ ，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于明确：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

【考点三】坐标内画中心对称图形

例题：（重庆永川·九年级期末）如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：

(1)分别写出 两点的坐标；

(2)作出 关于坐标原点成中心对称的 ；

(3)求出 的面积．

【答案】(1)A（-1，0）、B（-2，-2）

(2)见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据图形所示，即可得出 、 两点的坐标；

（2）根据图形写出 点坐标，再根据关于原点对称的两点横坐标与纵坐标都互为相反数，得出 、 、 的坐标，连接各点，即可得 ；

（3）利用 的面积 长方形的面积 三个直角三角形的面积即可求出答案．

(1)

解：由图形可知， ， ；

(2)

解：由图形知 ，三点关于原点的中心对称坐标 ，

， ，顺次连接得到 ，如图所示：

(3)

解： 的面积

．

【点睛】

本题考查了作图 旋转变换，关于坐标原点成中心对称的两图形的对应点的坐标关系：它们的横纵坐标都互为相反数；也考查了坐标的表示以及三角形的面积，掌握关于原点成中心对称的两个图形的坐标是解决问题的关键．

【变式训练】

1．（四川成都·八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是__________；

(2)若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为__________；

(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，画出△ABP．

【答案】(1)画△ABC见解析，4

(2)（-3，-4）

(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据A，B，C的坐标，画出图形即可，利用分割法求出△ABC的面积；

（2）利用中心对称的性质解决问题即可；

（3）设P（m，0），构建方程，解决问题即可．

(1)

解：如图，△ABC即为所求，

S△ABC=3×4- ×1×2- ×2×3- ×2×4=4，

故答案为：4．

(2)

解：∵C（3，4），C，D关于原点对称，

∴D（-3，-4）；

故答案为：（-3，-4）；

(3)

解：设P（m，0），

则有 ×|1-m|×2=4，

解得m=-3或5，

∴P（-3，0），P′（5，0），

△ABP或△ABP′如图所示．

【点睛】

本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．

2．（安徽宿州·八年级期末）△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．

(1)分别写出A、B、C的坐标；

(2)请在这个坐标系内画出 ，使 与△ABC关于x轴对称；

(3)请在这个坐标系内画出 ，使 与△ABC关于原点对称，并写出 的坐标．

【答案】(1)A(0，3)，B(-4，4)，C(-2，1)

(2)图见解析

(3)图见解析，B₂(4，-4)

【解析】

【分析】

（1）由点A，B，C在坐标系中的位置即可得；

（2）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；

（3）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接即可得．

(1)

解：A(0，3)，B(-4，4)，C(-2，1)，

(2)

解：如图所示，△A₁B₁C₁即为所作，

(3)

解：如图所示，△A₂B₂C₂即为所作，

B₂(4，-4)．

【点睛】

本题主要考查作图一旋转变换和轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义与性质．

3．（江苏·洪泽新区中学八年级阶段练习）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：

(1)作出△ABC关于y轴成轴对称的△A₁B₁C₁，

(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₂B₂C₂，

(3)作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在△A₂B₂C₂的内部（不含落在△A₂B₂C₂的边上），请直接写出x的取值范围．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

(3)点P位置见解析，5.5＜x＜8．

【解析】

【分析】

（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征找出A₁、B₁、C₁的坐标，然后描点连线即可；

（2）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A₂、B₂、C₂的坐标，然后描点连线即可；

（3）利用关于x轴对称的点的坐标特征作出点P，再根据所画的图形可确定x的范围．

(1)

解：如图，△A₁B₁C₁为所作；

(2)

解：如图，△A₂B₂C₂为所作；

(3)

解：点P位置如图所示，由图可知x的取值范围是：5.5＜x＜8．

【点睛】

本题考查了作图——轴对称、中心对称，熟练掌握轴对称和中心对称的性质，找出对应点的位置是解题的关键．

4．（江苏扬州·八年级期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．

(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形 ；

(2)P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点 ，请画出平移后的 ；

(3)若 和 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　　．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)（2，1）

【解析】

【分析】

（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A₁、B₁、C₁的坐标，然后描点即可；

（2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，然后描点即可；

（3）连接A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂，它们的交点为对称中心．

(1)

如图所示， 即为所求；

(2)

∵点P向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点P′，

∴△ABC向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示：

(3)

根据图象可知，连接 、 、 后，它们交于点 ，且点 的坐标为（2，1），所以 和 的对称中心的坐标为（2，1）．

故答案为（2，1）．

【点睛】

本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

【考点四】添加一个条件成为平行四边形

例题：（全国·八年级课前预习） 中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．

【答案】6

【变式训练】

1．（全国·八年级课前预习）四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个条件即可）．

【答案】AD=BC

【解析】

略

2．（河南省直辖县级单位·八年级期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）

【答案】AB＝CD或AD∥BC(答案不唯一)

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案．

【详解】

解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，

还需添加一个条件，这个条件可以是：AB＝CD或AD∥BC等．

故答案为：AB＝CD或AD∥BC等．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．

3．（吉林四平·八年级期中）如图，在平行四边形 中， 、 分别是 、 上的点，请添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则添加的条件是______．（答案不唯一，添加一个即可）．

【答案】FC=AE

【解析】

【分析】

根据四边形ABCD是平行四边形，CD∥AB，CD=AB，因此只需要证明DF=EB即可判断四边形EBFD是平行四边形，由此求解即可．

【详解】

解：添加条件FC=AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，CD=AB

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四边形EBFD是平行四边形，

故答案为：FC=AE．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件．

4．（全国·八年级课时练习）如图，点E、F是 的对角线 上的点，要使四边形 是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．

【答案】 （答案不唯一）

【解析】

【分析】

由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．

【详解】

增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC，OB=OD

∵DE=BF

∴OD-DE=OB-BF

即OE=OF

∴四边形AECF是平行四边形   

故答案为：DE=BF（答案不唯一）

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．

【考点五】利用平行四边形的性质与判定证明

例题：（山东烟台·八年级期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE//AB交AC于点F，CE//AM，连结AE．

(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）先判断出∠ECD=∠ADB，进而判断出△ABD≌△EDC，即可得出结论；

（2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论．

(1)

证明：∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD=DC，

∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，

∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)

解：结论成立，理由如下：

如图，过点M作MG∥DE交CE于G，

∵CE∥AM，

∴四边形DMGE是平行四边形，

∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）知，AB=GM，AB∥GM，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解绑的关键．

【变式训练】

1．（甘肃·金昌市第五中学八年级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，∠1＝∠2．   

(1)求证：DE＝BF；

(2)求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）通过利用“ASA”证明 ，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论；

（2）通过对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可．

(1)

证明：如图，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，

，

在 和 中，

，

，

；

(2)

，

，

由（1）得 ，

，

四边形AECF是平行四边形．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

2．（黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）已知： 是 的角平分线，点E，F分别在 上，且 ， ．

(1)如图1，求证：四边形 是平行四边形；

(2)如图2，若 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．

【答案】(1)证明见解析

(2)等边 ，等边 ，等边 ，等腰 ，等腰梯形 ，等腰梯形

【解析】

【分析】

（1）由角平分线可知 ，由平行可知 ，可得 ， ，进而结论得证；

（2）由题意可得四边形 是菱形， 是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．

(1)

证明：∵ 是 的角平分线

∴

∵

∴

∴

∴

∵ ，

∴四边形 是平行四边形．

(2)

解：由（1）知四边形 是平行四边形

∴

∵ 是等边三角形

∴

∴

∴四边形 是菱形

∴

∴ 是等边三角形的中点

∴

∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边 ，等边 ，等边 ，等腰 ，等腰梯形 ，等腰梯形 ．

【点睛】

本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

3．（浙江省东阳市外国语学校八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD BC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．

(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；

(2)连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．

【答案】(1)见解析

(2)16°

【解析】

【分析】

（1）通过AD BC，AO=OC，证明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，结合AD BC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；

（2）设∠ABE＝x，先证EF为BD的垂直平分线，推出BE＝DE，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．

(1)

证明：∵AD BC，

，

又∵AO=OC，

∴△AOD≌△COB（ASA），

∴AD＝CB，

又∵AD BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

(2)

解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，

由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，

∴OB＝OD，

∵EF⊥BD，

∴EF为BD的垂直平分线，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB，

∵AD BC，

∴∠EDB＝∠DBF，

∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，

∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，

∴100°+x+2x+2x＝180°，

解得：x＝16°，

即∠ABE＝16°．

【点睛】

本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，结合题意综合运用上述知识是解题的关键．

4．（江苏南通·八年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，根据条件可证明△ABE≌△CDF（ASA），

可得DE=BF，即可证明四边形BFDE是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，根据内错角相等及题意可知△CDE为等腰三角形，即DE=DC=5，可知△CDF为直角三角形，即△EBC为直角三角形，再根据勾股定理即可解得CE的长．

(1)

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ，AD=BC，∠A=∠DCF，AB=CD，

∵∠ABE=∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∴DE=BF，

∵DE//BF，

∴四边形BFDE是平行四边形；

(2)

∵四边形BFDE是平行四边形，

∴BE=DF， ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ，

∴∠DEC=∠ECB，

∵CE平分∠DCB，

∴∠DCE=∠ECB，

∴∠DEC=∠DCE，

∴DE=DC，

在△DFC中，CF=3，DF=4，DE=DC=5，

∴DC²=CF²+DF²，

∴△DFC是直角三角形，

∴∠DFC=90°，

∴∠EBC=90°，

在Rt△EBC中，

．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并结合题意根据勾股定理解答是解出本题的关键．

5．（重庆实验外国语学校八年级阶段练习）在四边形 中， 、 交于点 ， ， ．

(1)证明：四边形 是平行四边形；

(2)过点 作 交 于点 ，连接 ．若 ，求 的度数．

【答案】(1)证明见解析；

(2) ．

【解析】

【分析】

（1）由平行线的性质可得 ，即可利用“ASA”证明 ，即得出 ，由此可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形；

（2）根据题意易证 ，即得出 ，从而可求出 ．再由平行四边形的性质可得 ，从而可求出 ．

(1)

∵ ，

∴ ．

即在 和 中， ，

∴ ，

∴ ，

∴四边形 是平行四边形；

(2)

∵ ，即 ，

∴在 和 中， ，

∴

∴ ，即 ．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵四边形 是平行四边形，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

6．（江苏·淮安市洪泽实验中学八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF．

(2)求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）只需要利用AAS证明两个三角形全等即可；

（2）根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可证明结论．

(1)

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS）；

(2)

解：∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质与判定条件．

7．（海南三亚·八年级期末）如图，D是 的边AB上一点， ，DN交AC于点M，若MA=MC．

(1)求证：四边形ADCN是平行四边形；

(2)若AC DN，CAN 30，MN=1，求四边形ADCN的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)由 ，MA=MC，易证得△ADM≌△CNM，则可得AD=CN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形；

(2)首先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可求得AM的长，即可求得 ，再由 即可求得．

(1)

证明：

在 与 中

又

四边形ADCN是平行四边形；

(2)

解： AC DN，CAN 30，MN=1，

四边形ADCN是平行四边形

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

【考点六】动态中求值平行四边形

例题：（江西九江·八年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．

（1）若DE＝ OD，BF＝ OB，

①求证：四边形AFCE为平行四边形；

②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．

（2）若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论．

【答案】（1）①见解析；②40；（2）都是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DE＝ OD，BF＝ OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；

②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长；

（2）由DE＝ OD，BF＝ OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，同理可得DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形．

【详解】

（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵DE＝ OD，BF＝ OB，

∴DE＝BF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

②解：在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA．

∵CA平分∠BCD，

∴∠BCA＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD．

∵OA＝OC，

∴OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE＝CE．

∵∠AEC＝60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），

∴C_四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）；

（2）解：若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE是平行四边形，

理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．

若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE为平行四边形，

理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB．

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键．

【变式训练】

1．（河南省直辖县级单位·八年级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts，

(1)当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状；

(2)当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？

【答案】(1)四边形ABQP为平行四边形

(2)t＝6.5或6

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到 ，根据平行四边形的判定定理得出结论；

（2）分四边形 为平行四边形、四边形 为平行四边形两种情况，根据平行四边形的性质定理列出方程，解方程得到答案．

(1)

解：由题意得： ， ，

则 ，

当 时， ， ，

，

，

四边形 为平行四边形；

(2)

解：由（1）可知：当 时，四边形 为平行四边形，

当 时，四边形 为平行四边形，

此时， ，

解得： ，

综上所述，当 或 时， 截四边形 的两部分有一个平行四边形．

【点睛】

本题考查的是梯形、平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

2．（陕西·铜川市耀州区教育体育局教学研究室八年级期末）如图，已知 是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B、C重合） 是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．

(1)求证： ；

(2)请判断四边形BCEF的形状，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)四边形BCEF是平行四边形，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；

（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB AC，又BC EF，所以四边形BCEF是平行四边形；

(1)

证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，

∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，

又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，

∴∠FAB=∠DAC，

在△AFB和△ADC中，

，

∴△AFB≌△ADC（SAS）

(2)

解：由①得△AFB≌△ADC，

∴∠ABF=∠C=60°．

又∵∠BAC=∠C=60°，

∴∠ABF=∠BAC，

∴FB AC，

又∵BC EF，

∴四边形BCEF是平行四边形；

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．

3．（江苏·八年级专题练习）如图①，点B是∠MAN的边AM上的定点，点是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE．

（1）若∠A＝50°，求∠BCE的度数；

（2）如图②，当BC＝AC时，

①求证：四边形ABEC是平行四边形；

②若AB＝15，AD＝18，求AC的长．

【答案】（1）50°；（2）①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）由△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，知AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，从而有∠BCE=∠A即可；

（2）①根据（1）问可证出∠ECD=∠A=∠BEC，得到 ， ，即可证明结论；

②过点B作BH⊥AD，先得出AH=9，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，

∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，

∴∠BDA=∠A=50°，

∴∠ABD=80°，

∴∠CBE=∠BAD=80°，

∵BC=BE，

∴∠BCE=（180°-∠CBE）÷2=50°；

（2）①∵BC=CA，

∴∠A=∠ABC，

∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A，

∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠BCE=∠A，

∴∠ECD=∠A=∠BEC，

∴ ， ，

∴四边形ABEC是平行四边形；

②如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，

∵BD=BA，BH⊥AD，

∴AH= AD＝9，

在Rt△ABH中，由勾股定理得： ，

设AC=BC=x，则CH=x-9，

在Rt△HCB中，由勾股定理得： ，

解得x= ，

∴AC的长为 ．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识，作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．

4．（福建·三明一中九年级开学考试）如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时，

（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；

（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用旋转的性质得到AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，证明BE=AC，BE∥AC，即可证明结论；

（2）过点B作BH⊥AD，先得出AH=12，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，

∴AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，

∴∠A=∠BDA，

∵BC=AC，

∴∠A=∠ABC，BE=AC，

∴∠BDA=∠DBE，

∴BE∥AC，

∴四边形ABEC是平行四边形；

（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，

∵BD=BA，BH⊥AD，

∴AH= AD＝9，

在Rt△ABH中，由勾股定理得：

BH= ＝12，

设AC=BC=x，则CH=x-9，

在Rt△HCB中，由勾股定理得：

（x-9）²+12²=x²，

解得= ，

∴AC的长为 ．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识，作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．

5．（陕西榆林·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E为BD边上一动点，连接AE，将△AED平移到△BGC的位置（点A、E、D的对应点分别为点B、G、C），将△ABE平移到△DCF的位置（点A、B、E的对应点分别为点D、C、F）．

（1）求证：点G、C、F在一条直线上；

（2）判断四边形BDFG的形状，并说明理由．

【答案】（1）见详解；（2）四边形BDFG是平行四边形，理由见详解．

【解析】

【分析】

（1）由平移的性质：对应边平行且相等，得到BD∥CG，BD∥CF，即可得到结论成立；

（2）由平移的性：对应边平行且相等，得到AE∥BG，AE∥DF，AE=BG=DF，即可得到答案．

【详解】

解：（1）由题意，△AED平移到△BGC的位置，将△ABC平移到△DCF的位置，

根据平移的性质，则

BD∥CG，BD∥CF，

∴CG∥CF，

∵点C是公共点，

∴点G、C、F在一条直线上；

（2）四边形BDFG是平行四边形；

理由如下：∵△AED平移到△BGC的位置，将△ABE平移到△DCF的位置，

∴AE∥BG，AE∥DF，AE=BG，AE=DF，

∴BG∥DF，BG=DF，

∴四边形BDFG是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行证明．

6．（辽宁沈阳·八年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝ OD，BF＝ OB，连接AE、CE、CF、AF．

（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．

（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为　．

【答案】（1）见解析；（2）8＋4 ．

【解析】

【分析】

（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD．再证OE＝OF，即可得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理证明△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，再由勾股定理得CF＝2 ，然后由平行四边形的对边相等即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵DE＝ OD，BF＝ OB，

∴DE＝BF，

∴OD＋DE＝OB＋BF，

即OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

（2）解：如图所示：

由（1）得：OA＝OC＝ AC＝3，OE＝OF＝ EF＝5，

∵AF＝4，

∴OA²＋AF²＝OF²，

∴△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，

∴CF＝ ＝ ＝2 ，

∵四边形AFCE是平行四边形，

∴CE＝AF＝4，AE＝CF＝2 ，

∴平行四边形AFCE的周长＝2（AF＋CF）＝8＋4 ，

故答案为：8＋4 ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理和勾股定理逆定理的应用；熟练掌握平行四边形的判定和性质及勾股定理及逆定理是解题的关键．