第二十二章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．如图，在▱ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠B的度数是(　　)

A ．130°

B．115°

C．65°

D．50°

2．[2022·怀化]一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是(　　)

A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形

3．[2023·永州]下列多边形中，内角和等于360°的是(　　)

4．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，则对角线AC等于(　　)

A．12 B．9 C．6 D．3

5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝ 8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于(　　)

A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm

6．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为(　　)

A ．3

B．4

C．5

D．12

7．[2023·镇江实验中学月考]如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE，CD的延长线相交于点F，如果∠F＝α，那么∠1＋∠2＋∠3的度数为(　　)

A．270°－α B．360°－α C．90°＋α D．180°＋α

8． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)

A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC

C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB

9．[2022·丽水]如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若 AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是(　　)

A．28 B．14 C．10 D．7

10．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B₁处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为(　　)

A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm

11．[2023·石家庄二十三中月考]如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线EF，FG，GH，EH，则四边形EFGH是(　　)

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形

12．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长是(　　)

A．2.5 B．2 C． D．

13．如图，在周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上的一动点，则EP＋FP的长最短为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

14．[2022·宁波]将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)

A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积

C．△BEF的面积 D．△AEH的面积

15．[2023·上海]已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a， CD＝b.下列两个说法：①AC＝(a＋b)；②AD＝，则下列说法正确的是(　　)

A．①正确②错误 B．①错误②正确

C．①②均正确 D．①②均错误

16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，同时点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t s，下列结论正确的是(　　)

A ．当t＝4时，四边形ABMP为矩形

B．当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形

C．当CD＝PM时，t＝4

D．当CD＝ PM时，t＝4或6

二、填空题(每题3分，共9分)

17．[2022·甘肃]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为________cm.

18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为________．

19．[2023·唐山友谊中学期末]如图①，点P是四边形ABCD的边BC上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F.

(1)若四边形ABCD为正方形，且正方形的边长为6 cm，如图②，则PE＋PF＝________；

(2)若四边形ABCD为矩形，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，如图③，则PE＋PF＝________.

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)

20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，A，C，F在同一条直线上，且∠E＝∠F.

求证：∠ABE＝∠CDF.

21．[2022·梧州]如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG.求证：EF＝HG.

22．[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC， AE＝BF，CE＝DF.

(1)求证：AE∥BF；

(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．

23． [2023·湖南师大附中期末]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，点E为CD上一点，连接AE，OE.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．

24．如图，在四边形ABCD中，E是线段AD上的任意一点(与点A，D不重合)，G，F，H分别为边BE，BC，CE的中点．

(1)试说明四边形EGFH是平行四边形；

(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF＝BC，试说明平行四边形EGFH是正方形．

25．阅读嘉嘉与淇淇的对话，解决下列问题：

嘉嘉：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为2 020°；

淇淇：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！

(1)“多边形的内角和为2 020°”，为什么不可能？

(2)嘉嘉求的是几边形的内角和？

(3)错当成内角的那个外角为多少度？

26．如图①，∠QPN的顶点P是正方形ABCD两条对角线的交点，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)．

(1)如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是________；

(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，点M是AD的中点，其他条件不变，当α＝60°时，求证：△MPE≌△DPF.

(3)在(2)的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与线段AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量 关系．

答案

一、1．C　2．A　3．B　4．D　5．C　6．B

7．D 【点拨】∵多边形的外角和为360°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠DEF＋∠EDF＝360°.

∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠DEF＋∠EDF)．

∵∠EFD＋∠DEF＋∠EDF＝180°，

∴∠DEF＋∠EDF＝180°－∠EFD＝180°－α.

∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(180°－α)＝180°＋α.

故选D.

8．C 【点拨】∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，

∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(AAS)．

∴DO＝BO.

∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意．

∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.

∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BAD＝180°.

∴AB∥CD.又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不符合题意．

∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，

∴易得∠ADB＝∠CBD.∴AD∥CB.

∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意．

C．选项中∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意，故选C.

9．B

10．C 【点拨】由题意可知∠B＝∠BAB₁＝90°，根据折叠可得∠AB₁E＝∠B＝90°，AB₁＝AB，然后得出四边形ABEB₁是正方形．再根据正方形的性质可得BE＝AB，最后根据CE＝BC－BE，代入数据进行计算即可得解．

11．A

12．D 【点拨】如图，连接AC，CF，延长AD交EF于点K.

∵因为四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，

∴ AB＝AD＝CD＝1，CE＝FE＝3.

易得四边形ABEK和四边形DCEK为矩形，

∴DK＝CE＝3，EK＝DC＝1.

∴AK＝AD＋DK＝4，FK＝FE－EK＝2.

∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，

∴∠ACD＝45°＝∠GCF.∴∠ACF＝90°.

∵H是AF的中点，∴CH＝AF.

易得∠AKF＝90°，∴在Rt△AKF中，AF＝＝＝2.

∴CH＝AF＝.

13．B

14．C 【点拨】根据题意，可知四边形EFGH是正方形，设正方形纸片的边长为x，正方形EFGH的边长为y，则长方形的宽为x－y，所以图中阴影部分的面积＝S_{正方形EFGH}＋2S_△AEH＋2S_△DHG＝y²＋2×y(x－y)＋2×xy＝2xy，

所以根据题意，可求出xy的值．

A．正方形纸片的面积＝x²，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH的面积＝y²，根据条件无法求出，不符合题意；C.△BEF的面积＝xy，根据条件可以求出，符合题意；D.△AEH的面积＝y(x－y)＝，根据条件无法求出，不符合题意．故选C.

1 5．D 【点拨】若梯形ABCD为等腰梯形，即AD＝BC，AB∥CD，过点B作BE∥CA，交DC延长线于点E，如图所示，则四边形ACEB是平行四边形．∴CE＝AB，AC＝BE.

∵AB∥DC，易得∠DAB＝∠CBA.∵AB＝AB，AD＝BC，

∴△DAB≌△CBA(SAS)．∴AC＝BD.∴BD＝BE.

∵AC⊥BD，BE∥CA，∴BE⊥BD.

在Rt△BDE中，BD＝BE，CE＝AB＝a，CD＝b，则DE＝DC＋CE＝b＋a，

∴AC＝BE＝＝DE＝(a＋b)，此时①正确．

过点B作BF⊥DE于点F，如图所示，则∠BFC＝90°.

∵BF⊥DE，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b＋a，∴FE＝DE＝(a＋b)．∴FC＝FE－CE＝(a＋b)－a＝(b－a)．

∵∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝，此时②正确．

而题中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定，∴无法保证①②正确，故选D.

16．D 【点拨】根据题意，得DP＝t cm，BM＝t cm.

∵AD＝10 cm，BC＝8 cm，

∴AP＝(10－t)cm，CM＝(8－t)cm.

∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.

要使四边形ABMP为矩形，则有AP＝BM，

即10－t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；

要使四边形CDPM为平行四边形，则有DP＝CM，

即t＝8－t，解得t＝4，故B选项不符合题意；

当CD＝PM时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

此时CM＝PD，即8－t＝t，解得t＝4.

②四边形CDPM是等腰梯形，

过点M作MG⊥AD于点G，

过点C作CH⊥AD于点H，

如图所示：

则∠MGP＝90°＝∠CHD，易得GM＝HC.

又∵PM＝CD，∴Rt△MGP≌Rt△CHD(HL)．

∴GP＝HD.易得GP＝cm.

∴AG＝AP＋GP＝[10－t＋]cm.

易知AG＝BM，

∴10－t＋＝t，解得t＝6.

综上，当CD＝PM时，t＝4或6.

故C选项不符合题意，D选项符合题意．

二、17．8

18． 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，F为DE的中点，∴∠ECD＝90°.

∴CF＝EF＝DF.

∵△CEF的周长为32，CE＝7，

∴CF＋EF＝25.∴DE＝25.

在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝＝＝24＝BC，

∴BE＝24－7＝17.

根据三角形的中位线可得OF＝BE＝.

19．(1)3 cm　(2)4.8 cm

【点拨】(1)如图①，设AC，BD交于点O，连接PO.

∵四边形ABCD是正方形，正方形的边长为6 cm，∴OB⊥OC.

∴ OB＝OC＝BC＝3 cm.

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴S_△OBC＝OB×OC＝OB×PF＋OC×PE，

即×3×3＝×3×(PE＋PF)．

∴PE＋PF＝3 cm.

(2)如图②，设AC，BD交于点O，连接PO.

∵四边形ABCD为矩形，

且 AB＝6 cm，BC＝8 cm，

∴∠ABC＝90°.

∴AC＝＝10 cm.

∴AO＝OC＝BO＝5 cm.

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴S_△OBC＝S_△ABC＝××AB×BC＝OC×PE＋OB×PF.

∴×6×8＝×(PE＋PF)×5.

∴PE＋PF＝4.8 cm.

三、20．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，AB∥CD.

在△OBE和△ODF中，

∵∠E＝∠F，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD，

∴△OBE≌△ODF(AAS)．∴∠OBE＝∠ODF.

∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.

∴∠OBE－∠ABO＝∠ODF－∠CDO，

即∠ABE＝∠CDF.

21．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠A＝∠C.

∵BE＝DH，∴AB－BE＝CD－DH，即AE＝CH.

在△AEF和△CHG中，

∴△AEF≌△CHG(SAS)．∴EF＝HG.

22．【证明】(1)∵AD＝BC，

∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD.

∵AE＝BF，CE＝DF，

∴△AEC≌△BFD(SSS)．

∴∠A＝∠B.∴AE∥BF.

(2)由(1)知△AEC≌△BFD，

∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF.

又∵EC＝DF，

∴四边形DECF是平行四边形．

∵DF＝FC，

∴四边形DECF是菱形．

23．(1)【证明】∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．∴BD＝2OB.

∵AC＝2OB，∴AC＝BD.

∴平行四边形ABCD是矩形．

(2)【解】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD.

∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，

∴∠AED＝90°－∠DAE＝45°，

∴AD＝DE.

∵BD＝2AD，BD＝2OD，∴AD＝OD＝OA.

∴△AOD是等边三角形．∴∠ADO＝60°.

∴∠ODE＝∠ADC－∠ADO＝90°－60°＝30°.

∵AD＝DE，AD＝OD，∴DE＝OD.

∴∠DOE＝×(180°－∠ODE)＝×(180°－30°)＝75°.

24．【解】(1)在△BEC中，

∵G，F分别是边BE，BC的中点，

∴GF∥EC(即GF∥EH)，且GF＝EC.

∵H为边EC的中点，∴EH＝EC.∴GF＝EH.

∴四边形EGFH是平行四边形．

(2)连接GH.

∵G，H分别是边BE，CE的中点，

∴GH∥BC，且GH＝BC.

又∵EF⊥BC，且EF＝BC.

∴EF⊥GH，且EF＝GH.

∴平行四边形EGFH是正方形．

25．【解】(1)设该多边形的边数为n，

由题意得180°(n－2)＝2 020°，解得n＝13.

∵n为整数，∴多边形的内角和为2 020°是不可能的．

(2)设应加的内角为x，多加的外角为y，

由题意得180°(n－2)＝2 020°－y＋x，

∵－180°<x－y<180°，

∴2 020°－180°<180°(n－2)<2 020°＋180°，

∴12<n<14.

∵n为整数，∴n＝13或14.

∴嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和．

(3)∵十三边形的内角和为180°×(13－2)＝1980°，

∴y－x＝2 020°－1 980°＝40°.

又∵y＋x＝180°，∴x＝70°，y＝110°.

∵十四边形的内角和为180°×(14－2)＝2 160°，

∴x－y＝140°.

又∵y＋x＝180°，∴x＝160°，y＝20°.

∴错当成内角的那个外角的度数为110°或20°.

26．(1)DE＋DF＝AD

(2)【证明】∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，

∴AC⊥BD，∠ADP＝∠CDP＝60°.

∴∠APD＝90°.

又∵M是AD的中点，∴AM＝MD＝PM.

∴△MDP是等边三角形．

∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD.

∴∠PME＝∠PDF.

∵∠QPN＝60°，∴∠MPD－∠EPD＝∠QPN－∠EPD，即∠MPE＝∠FPD，

∴△MPE≌△DPF(ASA)．

(3)【解】同(2)方法可证得△MPE≌△DPF(ASA)，

∴ME＝DF.

∵由(2)知AM＝DM，

∴DF－DE＝ME－DE＝DM＝AD.