第19章 矩形、菱形与正方形
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法错误的是( D )
A．对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形
B．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( B )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
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3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( B )
A． B． C． D．
4．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A，则k的值为( D )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
5．如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为( D )
A．60° B．65° C．70° D．75°
sup7() sup7() sup7()
6．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图②所示正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图①中对角线AC的长为( C )
A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．20 cm
7．如图，四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8 cm2，图中阴影部分面积为5 cm2，正方形CEFG面积为( C )
A．14 cm2 B．16 cm2 C．18 cm2 D．20 cm2
8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( A )
A．4 B．3 C．4.5 D．5
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9．(苏州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为( C )
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与点A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有( D )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是__∠ABC＝90°(答案不唯一)__．(只需添加一个即可)
sup7() sup7()
12．菱形ABCD的周长为52 cm，一条对角线的长为24 cm，则该菱形的面积为__120__cm2.
13．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝3，则CE＝____．
14．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为__12__．
sup7() sup7()
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2 023次后，则它与AB边的碰撞次数是__675__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E.求证：∠BDA＝∠EDA.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠BDA，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠BDA＝∠EDA
17.(10分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
解：(1)证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠OAD＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形
(2)∵∠AOB∶∠ODC＝4∶3，∠AOB＝∠COD，OC＝OD，∴∠COD∶∠ODC∶∠OCD＝4∶3∶3，∴∠ODC＝54°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°－54°＝36°
18．(10分)如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF (2)∵E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2
19．(10分)如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．
解：(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC，∴平行四边形OCED是菱形
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD，∴S△OCD＝S△OCB＝S△BDC＝××3×4＝3，∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6
20．(10分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形 (2)∵DE＝DF，∴平行四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得x＝，∴DE＝8－＝，在Rt△ABD中，AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝＝10，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，DE2 －OD2＝OE2，∴OE＝＝，∴EF＝2OE＝
21．(13分)如图，直线AB：y＝kx＋b与x轴，y轴分别相交于点A(1，0)和点B(0，2)，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD.
(1)直线AB的表达式为__y＝－2x＋2__；
(2)求点D的坐标；
(3)若双曲线y＝(k＞0)与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．
解：(2)作DF⊥x轴于点F，则∠AFD＝90°，∵在正方形ABCD中，BA＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAF＝90°，∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAF.∴△ADF≌△BAO(AAS)，∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，∴点D的坐标为(3，1)
(3)由(2)易得出点C的坐标为(2，3).当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，∴当双曲线y＝(k＞0)与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6
22．(14分)已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连结CF.
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌ACF，则
①BC与CF的位置关系为：__BC⊥CF__；
②BC，DC，CF之间的数量关系为：__BC＝DC＋CF__；
(2)类比探究：如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
(3)拓展延伸：如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．
①BC，DC，CF之间的数量关系为：__BC＝DC－CF__；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连结OC，则OC的长度为____．
解：(2)①成立，②不成立，结论②应改为BC＝CF－DC.证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，则∠BAD＝∠CAF.∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS).∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF.由题易得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，∴BC⊥CF.∵BD＝BC＋CD，BD＝CF.∴BC＝CF－DC