【323902】2024八年级数学下册第15讲反比例函数的概念、图像与性质(核心考点讲与练)（含解

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【323902】2024八年级数学下册第15讲反比例函数的概念、图像与性质(核心考点讲与练)（含解

时间：2025-01-15 20:56:01 作者：字数：81333字

第15讲反比例函数的概念、图像与性质(核心考点讲与练)

一．反比例函数的定义

（1）反比例函数的概念

形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

（2）反比例函数的判断

判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx^﹣1（k为常数，k≠0）．

二．反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

三．反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．

四．反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；

（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．

五．反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．

六．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

七．待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

（3）解方程，求出待定系数；

（4）写出解析式．

八．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k₁x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k₁与k₂同号时，正比例函数y＝k₁x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k₁与k₂异号时，正比例函数y＝k₁x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．

一．反比例函数的定义（共2小题）

1．（石阡县期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A．x（y﹣1）＝1 B． C． D．

【分析】根据反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数进行分析即可．

【解答】解：A．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

B．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

C．是反比例函数，故本选项符合题意；

D．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．

2．（赞皇县期末）已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为　﹣1　．

【分析】根据反比例函数的定义，即y＝（k≠0），只需令m²﹣2＝﹣1且m﹣1≠0即可．

【解答】解：根据题意m²﹣2＝﹣1，

∴m＝±1，

又m﹣1≠0，m≠1，

所以m＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx^﹣1（k≠0）的形式．

二．反比例函数的图象（共3小题）

3．（肇东市期末）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和y＝﹣ （k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可．

【解答】解：A、由反比例函数图象可得﹣k＜0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二三象限，故A选项正确；

B、由反比例函数图象可得﹣k＞0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二四象限，故B选项错误；

C、由反比例函数图象可得﹣k＞0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二四象限，故C选项错误；

D、由反比例函数图象可得﹣k＜0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一三四象限，故D选项错误；

故选：B．

【点评】综合考查了反比例函数和一次函数的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，一次函数经过一三象限，常数项大于0，还经过第二象限；常数项小于0，还经过第四象限；比例系数小于0，一次函数经过二四象限，常数项大于0，还经过第一象限，常数项小于0，还经过第三象限；反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一三象限；比例系数小于0，图象的2个分支在二四象限．

4．（槐荫区期末）将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ +1 D．y＝ ﹣1

【分析】由于把双曲线平移，k值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解．

【解答】解：将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是y＝，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．

5．（涟水县模拟）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象如图所示，则k的值可以为（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2

【分析】根据函数图象确定k的取值范围．

【解答】解：如图所示，反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k＜0．

又∵﹣2×2＜k＜1×（﹣2），即﹣4＜k＜﹣2．

∴观察选项，只有选项B合题意．

故选：B．

【点评】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．

三．反比例函数图象的对称性（共3小题）

6．（港南区期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）

【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．

【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），

∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，

∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．

7．（滨海县一模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　（﹣3，﹣4）　．

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．

故答案是：（﹣3，﹣4）．

【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．

8．（盐都区月考）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点（2，1），则其另一个交点坐标为　（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．

【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴两函数的交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标是（2，1），

∴另一个交点的坐标是（﹣2，﹣1）．

故答案为：（﹣2，﹣1）．

【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．

四．反比例函数的性质（共3小题）

9．（亭湖区校级月考）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是（　　）

A．图象分布在第二、四象限

B．当x＜0时，y随x的增大而增大

C．图象经过点（1，﹣2）

D．若x＞1，则y＞﹣2

【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、k＝﹣2＜0，

∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；

B、k＝﹣2＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；

C、∵﹣ ＝﹣2，

∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；

D、点A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，若x＞1，则﹣2＜y＜0，故本选项错误，符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

10．（白云区期末）如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥

【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣2m＞0，再解不等式即可．

【解答】解：∵反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，

∴1﹣2m＞0，

解得：m＜，

故选：B．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

11．（启东市期末）若反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＜2　．

【分析】当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，

∴k﹣2＜0，

解得k＜2．

故答案为：k＜2．

【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

五．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）

12．（砚山县期末）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C₁和C₂，设点P在C₁上，PA⊥x轴于点A，交C₂于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算

【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S_△_POA＝ ×4＝2，S_△_BOA＝ ×2＝1，然后利用S_△_POB＝S_△_POA﹣S_△_BOA进行计算即可．

【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C₂于点B，

∴S_△_POA＝ ×4＝2，S_△_BOA＝ ×2＝1，

∴S_△_POB＝2﹣1＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

13．（锡山区期末）如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（　　）

A．12 B．6 C．﹣12 D．8

【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以＝a﹣b，则a²﹣b²＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12．

【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），

所以E（a+b，），

所以＝a﹣b，

∴（a+b）（a﹣b）＝k，

∴a²﹣b²＝k，

∵两正方形的面积差为12，

∴k＝12．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质．

14．（开州区模拟）如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x轴正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（　　）

A．16 B．20 C．24 D．28

【分析】根据图形可得，△CPF与△CPD的面积相等，△APE与△APG的面积相等，四边形BCFG的面积为8，点C（3，4），可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．

【解答】解：由图可得， S_▱_ABCO，

又∵S_△_FCP＝S_△_DCP且S_△_AEP＝S_△_AGP，

∴S_▱_OEPF＝S_▱_BGPD，

∵四边形BCFG的面积为8，

∴S_▱_CDEO＝S_▱_BCFG＝8，

又∵点C的纵坐标是4，则▱CDOE的高是4，

∴OE＝CD＝，

∴点D的横坐标是5，

即点D的坐标是（5，4），

∴4＝，解得k＝20，

故选：B．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

六．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）

15．（阳山县期末）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，6），则k的值是（　　）

A．﹣18 B．﹣2 C．2 D．18

【分析】把点（﹣3，6）代入y＝，根据待定系数法即可得答案．

【解答】解：将点（﹣3，6）代入y＝得：6＝，

解得k＝﹣18，

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握函数图象经过某点，则这点坐标满足函数解析式．

16．（舞阳县期末）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b

【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．

【解答】解：∵k＝6＞0，

∴函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，

∵﹣2＜0＜2＜3，

∴b＞c＞0，a＜0，

∴a＜c＜b．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

17．（启东市期末）如图，△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，△A₂A₃B₃，…是分别以A₁，A₂，A₃，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C₁（x₁，y₁），C₂（x₂，y₂），C₃（x₃，y₃），…，均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y₁+y₂+…+y₂₀₂₂的值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4

【分析】先由点C₁在反比例函数图象上得到点C₁的坐标为（x₁，），然后由点C₁是OB₁的中点得到点B₁的坐标为（2x₁，），进而得到A₁的坐标为（2x，0），即可得到OA₁＝2x₁，A₁B₁＝，然后由△OA₁B₁是等腰直角三角形得到2x₁＝，解方程得到x₁的值，即可得到点y₁的值；然后由点C₂的坐标为（x₂，），进而得到点B₂和A₂的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到A₁A₂＝A₂B₂，求得a的值即可得到y₂的值，用同样的方法求得y₃的值，结合y₁、y₂、y₃的值得到规律，最后得到y₁+y₂+…+y₂₀₂₂的值．

【解答】解：由题意得，点C₁的坐标为（x₁，），C₂的坐标为（x₂，），C₃的坐标为（x₃，），

∵点C₁是OB₁的中点，

∴点B₁的坐标为（2x₁，），

∴A₁的坐标为（2x₁，0），

∴OA₁＝2x₁，A₁B₁＝，

∵△OA₁B₁是等腰直角三角形，

∴OA₁＝A₁B₁，即2x₁＝，

解得：x₁＝2或x₁＝﹣2（舍），

∴点A₁的坐标为（4，0），y₁＝2；

设点C₂的坐标为（x₂，），

∵点C₂是A₁B₂的中点，

∴点B₂的坐标为（2x₂﹣4，），点A₂的坐标为（2x₂﹣4，0），

∴A₁A₂＝2x₂﹣8，A₂B₂＝，

∵△A₁B₂A₂是等腰直角三角形，

∴A₁A₂＝A₂B₂，即2x₂﹣8＝，

解得：x₂＝2+2 或x₂＝2﹣2 （舍），

∴点A₂的坐标为（4 ，0），y₂＝2 ﹣2；

设点C₃的坐标为（x₃，），

∵点C₃是A₂B₃的中点，

∴点B₃的坐标为（2x₃﹣4 ，），点A₃的坐标为（2x₃﹣4 ，0），

∴A₂A₃＝2x₃﹣4 ﹣4 ＝2x₃﹣8 ，A₃B₃＝，

∵△A₂B₃A₃是等腰直角三角形，

∴A₂A₃＝A₃B₃，即2x₃﹣8 ＝，

解得：x₃＝2 +2 或x₃＝2 ﹣2 （舍），

∴y₃＝2 ﹣2 ，…，y₂₀₂₂＝2 ﹣2 ，

∴y₁+y₂+…+y₂₀₂₂＝2+（2 ﹣2）+（2 ﹣2 ）+•••+（2 ﹣2 ）＝2 ，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质列出方程求得点C的坐标．

七．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）

18．（高青县期末）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，则该反比例函数的解析式为（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式．

【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵∠ACO+∠BCD＝90°，

∠OAC+∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝∠BCD，

在△ACO与△BCD中，

，

∴△ACO≌△CBD（AAS），

∴OC＝BD，OA＝CD，

∵A（0，2），C（1，0），

∴OD＝3，BD＝1，

∴B（3，1），

∴设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），

将B（3，1）代入y＝，

∴1＝，

∴k＝3，

∴该反比例函数的解析式为y＝，

故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．

19．（江阴市期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣

【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出﹣3＜k＜﹣2，再对照四个选项即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象可知：3×（﹣1）＜k＜﹣2×1，

即﹣3＜k＜﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键．

20．（姑苏区校级月考）已知A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）补全表格并画出其函数图象；

x	…	﹣6	﹣3	﹣2	﹣1	1	2	3	6	…
y	…	1	2	3	6	﹣6	﹣3	﹣2	﹣1	…

（3）利用图象直接求出当﹣2＜x＜3且x≠0时，y的取值范围是　y＞3或y＜﹣2　．

【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；

（2）先完成表格，再描点、连线．

（3）结合图像即可得到y的范围．

【解答】解：（1）∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点，

∴2（m+3）＝m，

解得m＝﹣6；

∴A（﹣3，2），

设反比例函数的解析式为y＝，

∴k＝﹣3×2＝﹣6，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ，

（2）根据函数表达式，表格中依次填：1，2，3，6，﹣6，﹣3，﹣2，﹣1．

画出函数图象如图：

（3）由图象得：当﹣2＜x＜3且x≠0时，y的取值范围是y＞3或y＜﹣2．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

八．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

21．（江阴市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k₁x+4与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S_△_OBC＝2，，则k₂的值是（　　）

A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5

【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．

【解答】解：∵直线y＝k₁x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴点C的坐标为（0，4），

∴OC＝4，

过B作BD⊥y轴于D，

∵S_△_OBC＝2，

∴BD＝1，

∵ ，

∴ ＝，

∴OD＝5，

∴点B的坐标为（1，5），

∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，

∴k₂＝1×5＝5．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．

22．（锡山区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝（k＞0）与一直线交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，点H是双曲线第三象限上的动点（在点A右侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a，b的关系式成立的是（　　）

A．a+b＝2 B．a﹣b＝﹣2 C．a+2b＝3 D．a﹣2b＝﹣3

【分析】通过HA＝a•HP，HB＝b•HQ可联想构造“A”字模型，“8“字模型，从而通过线段比的关系得到a与b的关系．

【解答】解：分别过点B、A、H作BN⊥y轴于点N，AM⊥y轴于点M，HC⊥y轴于点C，

则AM∥HC∥BN，

∴∠AMP＝∠HCP，∠MAP＝∠CHP；∠BNQ＝∠HPQ，∠NBQ＝∠PHQ，

∴△AMP∽△HCP，△BNQ∽△HCQ，

∴ ，

∵HA＝a•HP，HB＝b•HQ即，，

∴ ，，

∵A（﹣2，m），B（1，n），

∴AM＝2，BN＝1，

∴ ，，

∴ ，

∴a﹣2b＝﹣3．

故选：D．

【点评】本题是反比例函数综合题，能够构造出“A”字模型，“8“字模型是解题的关键．

23．（亭湖区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，4），B（n，2）两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）求得直线与x轴的交点，然后根据S_△_AOB＝S_△_AOC﹣S_△_BOC求得即可．

【解答】解：（1）把A（m，4），B（n，2）两点坐标代入y＝（x＞0）可得m＝2，n＝4，

∴A（2，4），B（4，2），

∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A、B，

∴ ，解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6．

（2）设直线与x轴的交点为C，

把y＝0代入y＝﹣x+6，则﹣x+6＝0，解得x＝6，

∴C（6，0），

∴S_△_AOB＝S_△_AOC﹣S_△_BOC＝ ×4×6﹣ ×2×6＝6．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

题组A 基础过关练

一．选择题（共10小题）

1．（平江县期末）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8

【分析】把点（2，4）代入，求出k的数值即可．

【解答】解：把点（2，4）代入得4＝，

解得k＝8．

故选：C．

【点评】此题考查利用待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标都适合函数解析式解题的关键．

2．（江北区期末）关于反比例函数y＝﹣ 的图象性质，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，﹣2）

B．图象位于第二、四象限

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．图象关于原点对称

【分析】依据反比例图象的性质作答．

【解答】A．当x＝1时，代入反比例函数y＝﹣ 得，y＝﹣2，排除A，

B．k＝﹣2＜0，图象经过二、四象限，排除B，

C．k＝﹣2＜0，在二、四象限内y随x增大而增大，故选C，

D．反比例函数图象关于原点对称，排除D，

故选：C．

【点评】本题主要考查反比例图象的性质，关键是熟记函数图象在每个象限内如何变化．

3．（西湖区校级月考）已知点（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c

【分析】根据反比例函数k＝xy，可得三个点的k值，再通过横坐标的大小关系，即可得出纵坐标的大小关系．

【解答】解：∵k＝xy＞0，

∴k＝﹣a＝2b＝3c＞0，

∴a＜0＜c＜b．

故选：A．

【点评】本题主要考查了反比例函数中k值的运用，解题的关键在于熟练转化k＝xy．也可利用反比例函数图象的性质得出结论．

4．（上虞区期末）已知反比例函数y＝﹣ ，当y≤ 且y≠0时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜0 B．x≤﹣9 C．﹣9≤x＜0 D．x≤﹣9或x＞0

【分析】首先画出图形，进而利用函数图象得出x的取值范围．

【解答】解：如图所示：

∵反比例函数y＝﹣ ，

k＝﹣12，图象在二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，

当y＝时，则x＝﹣9，

故y≤ 且y≠0时，x≤﹣9或x＞0．

故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确画出函数图象是解题关键．

5．（海淀区校级月考）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．

【解答】解：A．是反比例函数，故本选项符合题意；

B．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

C．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

D．不是反比例函数，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，注意：形如y＝（k为常数，k≠0）的形式，叫反比例函数．

6．（南岗区校级一模）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（　　）

A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）

【分析】根据反比例函数解析式可得xy＝4，然后对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：∵y＝，

∴xy＝4，

A、∵﹣1×4＝﹣4≠4，

∴点（﹣1，4）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不合题意；

B、∵1×4＝4＝4，

∴点（1，4）在反比例函数y＝图象上，故本选项符合题意；

C、∵﹣2×2＝﹣4≠4，

∴点（﹣2，2）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不合题意；

D、∵﹣2×2＝﹣4≠4，

∴点（2，﹣2）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

7．（鄞州区校级开学）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，2），B（2，n）两点，则当kx+b＞时，x的取值的范围是（　　）

A．0＜x＜2或x＜﹣1 B．x＞2或x＜﹣1

C．﹣1＜x＜2或x＞2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2

【分析】根据点A和点B的坐标，可求出m的值，画出函数图象．结合函数图象特征，即可得知当0＜x＜2或x＜﹣1时，kx+b＞，由此得出结论．

【解答】解：根据题意可画出函数图象，如下所示：

由图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣1时，kx+b＞．

故选：A．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，数形结合是解题的关键．

8．（莱州市期末）对于反比例函数y＝﹣ ，当y＞2时，x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．﹣4＜x＜0 D．x＜﹣4或x＞0

【分析】根据k＝﹣8＜0得：反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，当y＞2时，函数的图象在第二象限内，求出临界点即可得出x的取值范围．

【解答】解：∵k＝﹣8＜0，

∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，

∵当y＝2时，x＝﹣4，

∴x的取值范围为﹣4＜x＜0，

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的性质时，必须强调“在每一象限内”．

9．（温岭市期末）反比例函数y＝，关于其函数图象下列说法错误的是（　　）

A．位于第二、四象限 B．图象过点（﹣1，3）

C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大

【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可．

【解答】解：A、反比例函数y＝中的k＝﹣3＜0，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；

B、反比例函数y＝，当x＝﹣1时y＝3，正确，故本选项不符合题意；

C、反比例函数y＝的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意；

D、反比例函数y＝中的k＝﹣3＜0，则在每个象限内，y随x的增大而增大，错误，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单．

10．（绥宁县期末）已知函数y＝﹣ ，又x₁，x₂对应的函数值分别是y₁，y₂，若0＜x₁＜x₂，则有（　　）

A．0＜y₂＜y₁ B．0＜y₁＜y₂ C．y₁＜y₂＜0 D．y₂＜y₁＜0

【分析】根据反比例函数的增减性得出每个象限内y随x的增大而增大进而得出答案即可．

【解答】解：∵函数y＝﹣ 中，k＝﹣3＜0，

∴每个象限内y随x的增大而增大，

∵x₂＞x₁＞0，

∴y₁＜y₂＜0，

故选：C．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数的增减性得出结论是解题关键．

二．填空题（共7小题）

11．（门头沟区期末）写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：　　．

【分析】首先设反比例函数解析式为y＝，再根据图象位于第一、三象限，可得k＞0，再写一个k大于0的反比例函数解析式即可．

【解答】解；设反比例函数解析式为y＝，

∵图象位于第一、三象限，

∴k＞0，

∴可写解析式为y＝，

故答案为：y＝．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

12．（鄞州区校级月考）对于平面直角坐标系中的任意一点A（x，y），我们把点B（x﹣y，x+y）称为点A的“和差点”．若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B为点A的“和差点”，则的值为　　，若射线OA与OB关于y轴对称，则△AOB的面积为　2 　．

【分析】①设点A的坐标为（m，），由“和差点”的定义，得点B坐标为（m﹣ ，m+ ），然后根据勾股定理求得OA²＝m²+ ，OB²＝（m﹣ ）²+（m+ ）²＝2（m²+ ），从而得到＝，进而得到＝；

②作AC∥x轴，交OB于C，交y轴于D，根据轴对称的性质和反比例函数系数k的几何意义得到OA＝OC，S_△_COD＝S_△_AOD＝1，即可得到S_△_AOC＝2，由＝即可求得S_△_AOB＝ S_△_AOC＝2 ．

【解答】解：①设点A的坐标为（m，），

∵点B为点A的“和差点”，

∴点B坐标为（m﹣ ，m+ ），

∴OA²＝m²+ ，OB²＝（m﹣ ）²+（m+ ）²＝2（m²+ ），

∴ ＝，

∴ ＝＝；

②如图，作AC∥x轴，交OB于C，交y轴于D，

∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴S_△_AOD＝1，

∵射线OA与OB关于y轴对称，

∴OA＝OC，S_△_COD＝S_△_AOD＝1，

∴S_△_AOC＝2，

∵ ＝＝，

∴OB＝ OA＝ OC，

∴S_△_AOB＝ S_△_AOC＝2 ．

故答案为：，2 ．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“和差点”的定义．

13．（仙居县期末）已知反比例函数y＝，若y＞﹣1，则x的取值范围是　x＜﹣3或x＞0　．

【分析】由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围．

【解答】解：∵y＝，

∴该函数图象在第一、三象限，当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y＞0；

∴当y＞﹣1时，则＞﹣1，x＜0，

解得，x＜﹣3或x＞0，

故答案为：x＜﹣3或x＞0．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

14．（本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为　　．

【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．

【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，

由已知，BC＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC＝5，

∵BE＝2DE，

∴设DE＝x，则BE＝2x，

∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，

在Rt△DFC中，

DF²+FC²＝DC²，

∴（2x）²+（5﹣x）²＝5²，

解得x₁＝2，x₂＝0（舍去），

∴DE＝2，FD＝4，

设OB＝a，

则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），

∵点D、C在双曲线上，

∴k＝2×（a+4）＝5a，

∴a＝，

∴k＝5× ＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．

15．（白银期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了　150　度．

【分析】设函数的解析式为y＝（x＞0），由x＝400时，y＝0.25可求k，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案．

【解答】解：设函数的解析式为y＝（x＞0），

∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，

∴k＝400×0.25＝100，

∴解析式为y＝，

∴当y＝0.4时，x＝＝250，

∵小慧原来戴400度的近视眼镜，

∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣250＝150度，

故答案为：150．

【点评】考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．

16．（南岗区校级模拟）反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝　±6　．

【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．

【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．

∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，

∴ ，解得k＝6，

当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．

∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，

∴ ，解得k＝﹣6，

综上所述，k＝±6．

故答案为：±6．

【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．

17．（萧山区月考）若正方形AOCB的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第二象限，且在反比例函数y＝的图象上，则点C的坐标是　（﹣2，2）　．

【分析】设C点坐标为（x，y），依题意画出草图，知﹣x＝y，然后解方程﹣x²＝﹣4后即可确定C点坐标．

【解答】解：如图，

设C点坐标为（x，y），

∵AOBC是正方形

∴OB＝OA，即﹣x＝y

∵C在第二象限且在反比例函数y＝的图像上，

∴﹣x²＝﹣4，

∴x＝﹣2（x＝2舍去），

∴点C的坐标是（﹣2，2）．

故答案为：（﹣2，2）．

【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，主要利用了线段长度与点的坐标之间的关系来解决问题．难易程度适中．

三．解答题（共6小题）

18．（台州模拟）小华同学在做如图1所示的杠杆平衡实验时，发现弹簧秤的示数F（单位：N）与距离L（单位：cm）之间满足如图2所示的反比例函数关系．其中当L＝5cm时，F＝6N．

（1）求F与L之间的函数关系式；

（2）如果此弹簧秤的最大示数为10N，那么距离L至少为多长？

【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式进而得出答案；

（2）根据F≤10，进而得出L的取值范围．

【解答】解：（1）由题意设F＝，

∵当L＝5时，F＝6．

∴k＝5×6＝30，

∴F与L之间的函数关系式：F＝；

（2）∵弹簧秤的量程为10N，

∴F≤10，即 ≤10，

∴L≥3，

答：距离L应至少3cm．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．

19．（杭州月考）如图，已知A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOC的面积；

（3）结合图象直接写出不等式的解集．

【分析】（1）由待定系数法即可求出函数解析式；

（2）由y＝2x+2求出C点的坐标，从而求出△AOC的面积；

（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方对应的x的取值范围．

【解答】解：（1）把B（1，4）代入y＝得：m＝1×4＝4，

∴反比例函数为y＝，

将点A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入直线y＝kx+b中得，

∴ ，

∴直线AB的解析式为y＝2x+2；

（2）当x＝0时，y＝2x+2＝2，

∴点C的坐标为（0，2），

∴OC＝2，

∴S_△_AOC＝＝2；

（3）不等式kx+b 的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．

【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．

20．（温岭市期末）如图，一次函数y₁＝k₁x+b（x＞0）的图象与反比例函数y₂＝（x＞0）的图象交于点A（m，6）、点B（3，2）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出：当x为　0＜x＜1或x＞3　时，k₁x+b﹣ ＜0．

【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k₂的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）直接由A、B的坐标可求得答案．

【解答】解（1）把点B（3，2）代入反比例函数y₂＝（x＞0）得，k₂＝3×2＝6，

∴反比例函数的解析式为y₂＝；

将点A（m，6）代入y₂＝，解得m＝1，

∴A（1，6）．

将A、B的坐标代入y₁＝k₁x+b，得，解得，

∴一次函数的解析式为y₁＝﹣2x+8．

（2）如图，∵A（1，6），B（3，2），

∴k₁x+b﹣ ＜0，即k₁x+b＜的解集为0＜x＜1或x＞3．

故答案为：0＜x＜1或x＞3．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

21．（仙居县期末）如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm处挂一个重9.8牛的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛，精确到0.1牛）有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：

L/cm	5	10	15	20	25	30	35	40
F/牛	58.8	60.2	19.6	14.7	11.8	9.8	8.4	7.4

结果老师发现其中有一个数据明显有错误．

（1）你认为当L＝　10　cm时所对应的F数据是明显错误的；

（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；

（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围．

【分析】（1）根据表格数据，可发现L与F的乘积为定值294，从而可得答案；

（2）根据FL＝294，可得F与L的函数解析式；

（3）根据弹簧秤的最大量程是60牛，即可得到结论．

【解答】解：（1）根据杠杆原理知F•L＝30×9.8．

当L＝10cm时，F＝29.4牛顿．所以表格中数据错了；

（2）根据杠杆原理知F•L＝30×9.8．

∴F与L的函数关系式为：；

（3）当F＝60牛时，由得L＝4.9，

根据反比例函数的图象与性质可得L≥4.9，

∵由题意可知L≤50，

∴L的取值范围是4.9cm≤L≤50cm．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与l的积为定值，从而得出函数关系式．

22．（铁锋区期末）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．

（1）这场沙尘暴的最高风速是　32　千米/小时，最高风速维持了　10　小时；

（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　59.5　小时．

【分析】（1）由速度＝增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

（2）设y＝，将（20，32）代入，利用待定系数法即可求解；

（3）由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y＝10代入（2）中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．

【解答】解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；

4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，

10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

故答案为：32，10；

（2）设y＝，

将（20，32）代入，得32＝，

解得k＝640．

所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y＝；

（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，

∴4.5时风速为10千米/时，

将y＝10代入y＝，

得10＝，解得x＝64，

64﹣4.5＝59.5（小时）．

故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．

故答案为：59.5．

【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．

23．（唐河县一模）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．

（1）填空：一次函数的解析式为　y＝﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y＝　；

（2）请直接写出不等式 ≤﹣x+b的解集是　1≤x≤3　；

（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y＝；

（2）求出A（1，3），由图可得， ≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；

（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝ OD•PD＝﹣ （n﹣2）²+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．

【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：

1＝﹣3+b，解得b＝4，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，

将B（3，1）代入y＝得：

1＝，解得k＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：

3＝﹣m+4，解得m＝1，

∴A（1，3），

由图可得， ≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；

（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），

∴1≤n≤3，

∴S＝ OD•PD＝ •n（﹣n+4）＝﹣ （n²﹣4n）＝﹣ （n﹣2）²+2，

∵﹣ ＜0，且1≤n≤3，

∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，

∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、不等式解集、三角形面积等知识，解题的关键是用含n的代数式表示S．

题组B 能力提升练

一．选择题（共7小题）

1．（金华期中）如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点E，AE：EC＝1：2，反比例函数y＝过C点，且交线段BC于D，BD：DC＝1：3，连接AD，若S_△_ABD＝，则k的值为（　　）

A． B． C．4 D．6

【分析】先设点A（﹣a，0），结合AE：EC＝1：2与点C在反比例函数图象上得到点C的坐标，然后结合BD：DC＝1：3得到点D的坐标，从而得到点B的坐标，再结合△ABC的面积列出方程求得k的值．

【解答】解：设A（﹣a，0）（a＞0），

∵AE：EC＝1：2，

∴点C（2a，），

∵BD：DC＝1：3，

∴点D的纵坐标为 × ＝，

∴点D的坐标为（8a，），

∴B（10a，0），

∴AB＝11a，

∵BD：DC＝1：3，

∴S_△_ABC＝4S_△_ABD＝4× ＝11，

∴S_△_ABC＝ ×11a× ＝11，

解得：k＝4．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的面积、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过点的坐标特征得到△ABC的面积．

2．（越城区月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数y＝的图象交于E、F两点，若△DEF的面积为，则k的值是（　　）

A．1 B．7 C．1或7 D．不能确定

【分析】利用对称性可设出E、F的两点坐标，表示出△DEF的面积，可求出k的值．

【解答】解：设AF＝a（a＜2），则F（a，2），E（2，a），

∴FD＝DE＝2﹣a，

∴S_△_DEF＝ DF•DE＝（2﹣a）²＝，

解得a＝或（不合题意，舍去），

∴k＝1，

故选：A．

【点评】本题主要考查反比例函数与正方形和三角形面积的运用，表示出E和F的坐标是关键．

3．（浦江县期末）如图，反比例函数y₁＝的图象和正比例函数y₂＝k₂x的图象交于点A（﹣1，﹣2），B（1，2），若y₁＞y₂，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1

C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1

【分析】利用函数图象的上下关系求出x的范围．

【解答】解：∵y₁＞y₂，

∴y₁图象在y₂的上方．

即在交点A的左边和B的左边，y轴右边．

∴x＜﹣1或0＜x＜1．

故选：C．

【点评】本题考查用函数图象解不等式，将函数值的大小关系转化成图象的上下关系是求解本题的关键．

4．（下城区期末）在直角坐标系中，设一次函数y₁＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y₂＝（k≠0）．若函数y₁和y₂的图象仅有一个交点，则称函数y₁和y₂具有性质P．以下k，b的取值，使函数y₁和y₂具有性质P的是（　　）

A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4

【分析】联立函数方程，由函数只有一交点可得一元二次方程判别式为0，从而求解．

【解答】解：整理方程﹣kx+b＝得﹣kx²+bx﹣k＝0，

∵函数图象只有一个交点，

∴﹣kx²+bx﹣k＝0中b²﹣4k²＝0．

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是把函数图象仅有一交点问题转化为一元二次方程判别式为0．

5．（鄞州区校级开学）如图，反比例函数y＝（k≠0）过平行四边形OABC的顶点C和AB的中点D，若CB＝CD＝3，则k的值为（　　）

A．8 B．4 C．9 D．4

【分析】设C（x，），由CB＝3得到点B（x+3，），A（3，0），由点D是AB的中点得到点D的坐标为（，），再由点D在反比例函数y＝（k≠0）的函数图象上列出方程求得x的值，得到点C和点D的坐标，最后由CD＝3求得k的值．

【解答】解：设C（x，），

∵CB＝3，四边形OABC是平行四边形，

∴OA＝BC＝3，

∴点B（x+3，），A（3，0），

∵点D是AB的中点，

∴点D的坐标为（，），

∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的函数图象上，

∴（）× ＝k，

解得：x＝2，

∴点C的坐标为（2，），点D的坐标为（4，），

∵CD＝3，

∴ ＝3，

解得：k＝4 ，

故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、两点间的距离公式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．

6．（福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C．3.5 D．5

【分析】证明△DHA≌△CGD（AAS）、△ANB≌△DGC（AAS）得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，即可求解．

【解答】解：设点D（m，），

如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，

∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，

∴∠HDA＝∠GCD，

又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，

∴△DHA≌△CGD（AAS），

∴HA＝DG，DH＝CG，

同理△ANB≌△DGC（AAS），

∴AN＝DG＝1＝AH，则点G（m， ﹣1），CG＝DH，

AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，

故点G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），

则点E（﹣ ，﹣5），GE＝，

CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣ ＝，

故选：B．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，需要两次证明三角形全等，综合性较强，难度较大．

7．（莒南县期末）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝160，有下列四个结论：

①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y＝（x＞0）；④sin∠COA＝．

其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】作DH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形OABC的面积＝ OB•AC＝ ×160＝80；则△ODA的面积为20，根据三角形面积公式可计算出DA＝4，再根据菱形的性质易得DH为△OBG的中位线，则BG＝8，所以E点的纵坐标为8；接着证明Rt△DOH∽Rt△ADH，得到DH²＝OH•AH，

由于DH＝4，AH＝10﹣OH，则OH（10﹣OH）＝16，解得OH＝8或OH＝2（舍去），可确定D点坐标为（8，4），利用待定系数法得到反比例函数解析式为y＝；同时可确定E点坐标为（4，8）；CM⊥x轴于M，则CM＝8，根据菱形性质得OC＝OA＝10，根据勾股定理可计算出OM＝6，然后利用正弦的定义即可得到sin∠COM＝＝，于是有sin∠COA＝．

【解答】解：作DH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，如图，

∵四边形OABC为菱形，

∴菱形OABC的面积＝ OB•AC＝ ×160＝80，所以①正确；

∴ DH•OA＝菱形OABC的面积的＝ ×80，

而A点的坐标为（10，0），

∴ DH×10＝ ×80，

∴DH＝4，

∵OB与AC互相垂直平分，

∴∠ADO＝90°，DH为△OBG的中位线，

∴BG＝2DH＝8，

∴E点的纵坐标为8，

∵∠DOH+∠ODH＝∠ODH+∠ADH＝90°，

∴∠DOH＝∠ADH，

∴Rt△DOH∽Rt△ADH，

∴DH：AH＝OH：DH，即DH²＝OH•AH，

∵DH＝4，AH＝OA﹣OH＝10﹣OH，

∴OH（10﹣OH）＝16，解得OH＝8或OH＝2（舍去），

∴D点坐标为（8，4），

把D（8，4）代入y＝得k＝4×8＝32，

∴反比例函数解析式为y＝，所以③错误；

∵D点为AC的中点，

∴C（6，8），

∵双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，

∴E点的纵坐标为8，

把y＝8代入得＝8，解得x＝4，

∴E点坐标为（4，8），所以②正确；

CM⊥x轴于M，如图，

∴CM＝BG＝8，

∵四边形OABC为菱形，

∴OC＝OA＝10，

在Rt△OCM中，CM＝8，OC＝10，

∴OM＝＝6，

∴sin∠COM＝＝＝，

即sin∠COA＝，所以④正确．

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象的点的坐标满足其函数解析式；熟练运用菱形的性质、相似三角形的相似比和勾股定理进行计算．

二．填空题（共7小题）

8．（温州月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，AM与BN交于点P，函数y＝（x＞0）的图象过点P．连接OA，OB，若图中的阴影面积为7，则k的值为　2　．

【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，用四边形AMOE、四边形BNOF、四边形MPNO、△AEO和△BOF的面积结合反比例系数的几何意义表示阴影部分的面积，再求k的值．

【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则

S_四边形_AMOE＝S_四边形_BNOF＝9，S_四边形_MPNO＝k，S_△_AEO＝S_△_BOF＝，

∴S_阴影＝S_四边形_AMOE+S_四边形_BNOF﹣S_四边形_MPNO﹣（S_△_AEO+S_△_BOF）＝7，

∴9+9﹣k﹣（ + ）＝7，

∴k＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义、切割法求多边形的面积，解题的关键是利用反比例系数k的几何意义表示出阴影部分的面积．

9．（镇海区期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点A，点D在函数的图象上．若△ABE与△CDE的面积之比为1：2，则△ABC的面积为　3　．

【分析】分别利用函数解析式设出A，D两点坐标，由于BD∥x轴，AC⊥BD，得到E点坐标，从而得到线段AE，DE，CE的长度，利用△ABE与△CDE的面积之比为1：2，列出方程，求得BE的长度，最后求出三角形ABC的面积．

【解答】解：设A（m，），D（n，），

∵BD∥x轴，

∴B和E的纵坐标均为，

∵AC⊥BD，BD∥x轴，

∴∠AEB＝∠AED＝∠ACO＝90°，

∴AC⊥x轴，

∴E和C的横坐标均为m，

∴E的坐标为（m，），C的坐标为（m，0），

∴AE＝＝，DE＝n﹣m，CE＝，

∵ ＝，

∴ ，

∴BE＝＝，

∴S_△_ABC＝＝＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，设出A，D两点坐标，进而表示出E点坐标，是解决此题的突破口，同时，要注意此题运用了方程思想来解决问题．

10．（海曙区期末）如图，四边形ABCD的顶点B、D两点在反比例函数y＝（k₁＞0）的图象上，A、C两点在反比例函数y＝（k₂＜0）的图象上，AD∥x轴∥BC，AD＝2BC，S_△_BCD＝6，则k₁﹣k₂的值为　8　．

【分析】过点D作DE⊥BC交BC于点E，设点B的坐标为（a，），点A的坐标为（b，）根据AD∥x轴∥BC求出D，C的坐标，表示出DA，BC的长度，根据AD＝2BC求出b与a的关系，进而求出DE的长度，表示出S_△_BCD，进而求解．

【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于点E，

设点B的坐标为（a，），点A的坐标为（b，），

∵AD∥x轴∥BC，

∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（，），

∴DA＝ ﹣b，CB＝ ﹣a，

∵AD＝2BC，

∴ ﹣b＝2（ ﹣a），

整理得，b＝﹣ ，

DE＝ ﹣ ＝k₂÷（﹣ ）﹣ ＝﹣ ，

∵S_△_BCD＝ BC•DE＝（ ﹣a）•（﹣ ）＝（k₁﹣k₂）＝6，

∴k₁﹣k₂＝8，

故答案为：8

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，进而表示出三角形BCD的面积，进而求解．

11．（婺城区校级期末）平面直角坐标系中，A是y＝﹣ （x＞0）图象上一点，B是x轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，﹣2），若点D与A，B，C构成的四边形为正方形，则点D的坐标　（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2 ﹣2，2 ﹣2）　．

【分析】首先依据题意画图图形，对于图1和图2依据正方形的对称性可得到点D的坐标，对于图3可证明△AEC≌△BFA，从而可得到AE＝BF，然后由反比例函数的解析式可求得点A的坐标，然后可得到点D的坐标．

【解答】解：如图1所示：当BC为边，CD为对角线时，则CD⊥AB，CD垂直平分AB．

∵OC＝2，AB＝CD＝4，

∴D（4，﹣2）．

如图2所示：BC为边，AC为对角线时，

∵OC＝2，BD＝AC＝4，

∴D（2，﹣4）．

如图3所示：BC为对角线时，过点A作AE⊥y轴，BF⊥AE，则△AEC≌△BFA．

∴AE＝BF．

设点A的横纵坐标互为相反数，

∴A（2 ，﹣2 ）

∴D（2 ﹣2，2 ﹣2）．

综上所述，点D的坐标为（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2 ﹣2，2 ﹣2）．

故答案为：（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2 ﹣2，2 ﹣2）．

【点评】本题主要考查的是正方形的性质，反比例函数的性质，依据题意画出复合题意得图形是解题的关键．

12．（长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是　或　．

【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2 ），同理点B（，3 ），点C（，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．

【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2 ），同理点B（，3 ），

点C（，），∴AB≠AC，

①当AB＝BC时，（）²+（3 ﹣2 ）²＝（3 ﹣ ）²，解得：k＝± （舍去负值）；

②当AC＝BC时，同理可得：（ ﹣ ）²+（ ﹣2 ）²＝（3 ﹣ ）²，解得：k＝（舍去负值）；

故答案为：或．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

13．（武进区校级自主招生）两个反比例函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示．点P₁，P₂，P₃、…、P₂₀₀₇在反比例函数y＝上，它们的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、…、x₂₀₀₇，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P₁，P₂，P₃、…、P₂₀₀₇分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次为Q₁（x₁′，y₁′）、Q₁（x₂′，y₂′）、…、Q₂（x₂₀₀₇′，y₂₀₀₇′），则|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|＝　　．

【解答】解：由题意可知：P₂₀₀₇的坐标是（Px₂₀₀₇，4013），

又∵P₂₀₀₇在y＝上，

∴Px₂₀₀₇＝．

而Qx₂₀₀₇（即Px₂₀₀₇）在y＝上，所以Qy₂₀₀₇＝＝＝，

∴|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|＝|Py₂₀₀₇﹣Qy₂₀₀₇|＝|4013﹣ |＝．

故答案为：．

【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P₂₀₀₇的横坐标，进而求出Q₂₀₀₇的值，从而可得出所求的结果．

14．（翔安区模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：

①△OCN≌△OAM；

②ON＝MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0， +1）．

其中正确结论的有　①③④　．

【分析】设正方形OABC的边长为a，表示出A，B，C，M，N的坐标，利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON与MN，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等，根据三角形MON面积＝三角形OND面积+四边形ADNM面积﹣三角形OAM面积，等量代换得到四边形DAMN与△MON面积相等，结论③正确；过O作OH垂直于MN，如图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到CN＝HN＝1，求出a的值，确定出C坐标，即可对于结论④做出判断．

【解答】解：设正方形OABC的边长为a，

得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a），

在△OCN和△OAM中，

，

∴△OCN≌△OAM（SAS），结论①正确；

根据勾股定理，ON＝＝＝，MN＝＝ |a²﹣k|，

∴ON和MN不一定相等，结论②错误；

∵S_△_ODN＝S_△_OAM，

∴S_△_MON＝S_△_ODN+S_四边形_DAMN﹣S_△_OAM＝S_四边形_DAMN，结论③正确；

过点O作OH⊥MN于点H，如图所示，

∵△OCN≌△OAM，

∴ON＝OM，∠CON＝∠AOM，

∵∠MON＝45°，MN＝2，

∴NH＝HM＝1，∠CON＝∠NOH＝∠HOM＝∠AOM＝22.5°，

∴△OCN≌△OHN（ASA），

∴CN＝HN＝1，

∴ ＝1，即k＝a，

由MN＝ |a²﹣k|得，2＝ |a²﹣a|，

整理得：a²﹣2a﹣1＝0，

解得：a＝＝1± （舍去负值），

∴点C的坐标为（0， +1），结论④正确，

则结论正确的为①③④，

故答案为：①③④

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

三．解答题（共8小题）

15．（郾城区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣6，3），AB＝2，AD＝4．

（1）填空：点B的坐标是　（﹣6，1）　；点D的坐标是　（﹣2，3）　；

（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得矩形A'B'C'D'．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．

【分析】（1）根据点A的坐标，以及AB、AD长可得点B和D的坐标；

（2）根据平移方法可得A′（﹣6+m，3），C′（﹣2+m，1），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得3（﹣6+m）＝﹣2+m，解出m的值，然后可得A′坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．

【解答】解：（1）∵A（﹣6，3），AB＝2，AD＝4，

∴B（﹣6，1），D（﹣2，3）．

故答案为：（﹣6，1），（﹣2，3）．

（2）由题意得：A（﹣6，3 ），C（﹣2，1），

将矩形ABCD向右平移m个单位后，则有A′（﹣6+m，3），C′（﹣2+m，1），

∵点A′、C′恰好同时落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴3（﹣6+m）＝﹣2+m，

∴m＝8，

∴A′（2，3）

故反比例函数的解析式为y＝．

【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及点的平移，关键是掌握反比例函数图象上的点横纵坐标之积等于k．

16．（冷水滩区期末）已知如图，反比例函数的图象与一次函数y₂＝x+3的图象交于点A（1，n），点B（m，﹣1）．

（1）求m，n的值；

（2）求△OAB的面积；

（3）直接写出y₁≥y₂时x的取值范围．

【分析】（1）把A点、B点坐标分别代入反比例函数表达式，即可求解；

（2）S_△_AOB＝S_△_AOC+S_△_BOC，即可求解；

（3）观察函数图象即可求解．

【解答】解：（1）把A点、B点坐标分别代入反比例函数y＝得，

解得：，

故m、n的值分别为﹣4，4；

（2）由（1）得：点A、B的坐标分别为（1，4）、（﹣4，﹣1），

一次函数解析式是y＝x+3，当y＝0时，x+3＝0，x＝﹣3，C（﹣3，0），

S_△_AOB＝S_△_AOC+S_△_BOC＝ 3×4+ ×3×1＝；

（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），

∴根据图象可知：反比例函数值大于一次函数值时，0＜x≤1或x≤﹣4．

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想．

17．（秀洲区校级月考）如图，经过原点的直线与反比例函数y＝的图象相交于点M，N（点M在第一象限）．已知点A（﹣m，0），B（m，0），m＞0．

（1）四边形MANB的形状一定是　平行四边形　；

（2）当m＝2，且四边形MANB为矩形时，求直线MN的函数关系式；

（3）试探究：四边形MANB能不能是菱形？若能，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．

【分析】（1）根据反比例函数是中心对称图形可知OM＝ON，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；

（2）根据矩形的性质得OM＝OB＝2，设M（x，），则x²+ ＝4，解方程求出M的坐标，从而得出答案；

（3）当MN⊥AB时，四边形MANB才能是菱形，而点M在第一象限，则MN不可能垂直AB，从而解决问题．

【解答】解：（1）∵经过原点的直线与反比例函数y＝的图象相交于点M，N，

∴点M、N关于O对称，

∴OM＝ON，

∵A（﹣m，0），B（m，0），

∴OA＝OB，

∴四边形MANB是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

（2）∵四边形MANB为矩形，

∴OM＝OB＝2，

设M（x，），

∴x²+ ＝4，

∵x＞0，

解得x＝1或，

∴M（1，）或（，1），

∴直线MN的函数关系式为y＝ x或y＝ x；

（3）四边形MANB不能是菱形，

∵四边形MANB是平行四边形，

当MN⊥AB时，四边形MANB才能是菱形，

而点M在第一象限，

∴MN不可能垂直AB，

∴四边形MANB不能是菱形．

【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的对称性，平行四边形，矩形，菱形的判定与性质等知识，证明四边形MANB是平行四边形是解题的关键．

18．（定海区校级月考）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，AB＝6．点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF＝2 BE，设BE＝t．

（1）当t＝2时，则AE＝　4　，BF＝　2 　；

（2）当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为，求t的值．

（3）在整个运动过程中

①平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②若函数y＝ +a（x＞0，a为常数）的图象同时经过E、F，直接写出a的值．

【分析】（1）求出F（2t，2t），点E（6，6﹣t），当t＝2时，AE＝AB﹣BE＝6﹣t＝4，BF＝OB﹣PF＝6 ﹣2 ×2＝2 ；

（2）△BEF的面积＝ ×BE×（x_B﹣x_F），即可求解；

（3）①分EF为对角线、EF是边两种情况，利用菱形邻边相等即可求解；②将点E、F的坐标分别代入函数y＝ +a，即可求解．

【解答】解：（1）设点F（x，y），

∵四边形OABC为正方形，则x＝y，

∴2x²＝OF²＝8t²，解得：x＝2t＝y，故点F（2t，2t），

点E（6，6﹣t），

当t＝2时，AE＝AB﹣BE＝6﹣t＝4，

BF＝OB﹣PF＝6 ﹣2 ×2＝2 ，

故答案为4，2 ；

（2）△BEF的面积＝ ×BE×（x_B﹣x_F）＝ ×t×（6﹣2t）＝，

解得t＝；

（3）①由（1）知，点E、F的坐标分别为（6，6﹣t）、（2t，2t），

则OF²＝（2 t）²＝8t²，EF²＝（6﹣2t）²+（6﹣3t）²，OE²＝6²+（6﹣t）²，

当EF为对角线时，如图1，

则OE＝OF，即8t²＝6²+（6﹣t）²，解得t＝（不合题意的值已舍去）；

当EF是边时，如图2，3，

当FE＝OE时，即（6﹣2t）²+（6﹣3t）²＝6²+（6﹣t）²，解得t＝0（舍去）或4；

当EF＝OF时，同理可得：t＝，

综上，t＝或4或；

②将点E、F的坐标分别代入函数y＝ +a得，解得，

故a＝﹣4．

【点评】本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、面积的计算等，其中（3）①，要注意分类求解，避免遗漏．

19．（镇江期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（3，2）、B（﹣2，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＜的解集：　x＜﹣2或0＜x＜3　；

（3）在反比例函数图象上，找出两点C、D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这个平行四边形的面积是　10　．

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出m，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数确定B点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式即可；

（2）结合一次函数和反比例函数的图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量范围即可；

（3）根据反比例图象的对称性，找出A点、B点的对应点即为C、D点，证此时四边形ABCD是矩形，求出矩形ABCD的面积即可．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（3，2），

∴m＝3×2＝6，

∴反比例函数为y＝，

又∵B（﹣2，n）在反比例函数上，

∴﹣2n＝6，

解得n＝﹣3，

∴B（﹣2，﹣3），

将A、B两点坐标代入一次函数y＝kx+b（k≠0），

得，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；

（2）由图象知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，kx+b＜，

故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3；

（3）根据反比例函数的对称性，令A点在第三象限的对应点为C（﹣3，﹣2），B点在第一象限的对应点为D（2，3），

此时AC∥BD，且AC＝BD，

即四边形ABCD为平行四边形，

∵AC＝＝2 ，BD＝＝2 ，

∴平行四边形ABCD为矩形，

∵AB＝＝5 ，AD＝＝，

∴S_矩形_ABCD＝AB•AD＝5 • ＝10，

故答案为：10．

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的性质，两点间距离等知识，熟练掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．

20．（上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴的正半轴上的动点，正方形ABCD的顶点C，D在第一象限．

（1）当AB＝2，∠OAB＝30°时，正方形ABCD的一个顶点恰好在反比例函数y＝（k为常数，x＞0）的图象上，求k的值；

（2）保持AB＝2不变，移动点A，B，使OA：OB＝1：2，求此时点D的坐标，并判断点D是否在（1）中的反比例函数图象上．

【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DM⊥y轴于M，根据AAS证△AOB≌△AMD≌△BHC，求出C点和D点坐标，将坐标分别代入反比例函数求出k值即可；

（2）过点D作DM⊥y轴于M，由（1）知，△AOB≌△AMD，根据勾股定理计算出OB，OA的长度，即可得出D点坐标，根据D点坐标的xy值是否等于（1）中的k值来判断是否在反比例函数上即可．

【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DM⊥y轴于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，

∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，

∴∠OAB＝∠CBH，

又∵∠AOB＝∠ABC＝90°，

∴△AOB≌△BHC（AAS），

同理可证，△AOB≌△AMD，

即△AOB≌△AMD≌△BHC，

∵∠OAB＝30°，AB＝2，

∴CH＝OB＝AM＝1，BH＝OA＝DM＝，

∴C（，1），D（， +1），

∵正方形ABCD的一个顶点恰好在反比例函数y＝（k为常数，x＞0）的图象上，

∴顶点C或顶点D在反比例函数上，

①当C点在反比例函数上时，

k＝ +1；

②当D点在反比例函数上时，

k＝ ×（ +1）＝3+ ；

∴k的值为 +1或3+ ；

（2）过点D作DM⊥y轴于M，

由（1）知，△AOB≌△AMD，

∵OA：OB＝1：2，AB＝2，

设OA＝x，则OB＝2x，

由勾股定理得，AB²＝OA²+OB²，

即2²＝x²+（2x）²，

解得x＝（舍负），

即MA＝OB＝，MD＝OA＝，

∴D（，），

∵ × ＝ ≠ +1，

∴点D不在（1）中的反比例函数图象上．

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．

21．（河东区期末）如图，取一根长1米长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：