第13讲菱形（核心考点讲与练）
一．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝
ab．（a、b是两条对角线的长度）
二．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
三．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
一．菱形的性质（共6小题）
1．（永康市校级月考）菱形相邻两角的比为1：2，那么菱形的对角线与边长的比为（ ）
A．1：2：3 B．1：2：1 C．1：2：
D．1：
：1
【分析】根据菱形的性质可求得菱形的两内角，设菱形的边长等于1，根据勾股定理求得其两条对角线的长，从而便可得到其比值．
【解答】解：菱形相邻的两角互补，则得到较小的角的度数是60°，较大的角是120°，设菱形的边长等于1，则得到较小的角所对的对角线的长等于菱形的边长，较大的角所对的对角线的长是
，那么它们所对的对角线与边长的比为1：
：1．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确取出菱形的两条边长．
2．（椒江区期末）如图，菱形ABCD中，E为对角线BD的延长线上一点．求证：AE＝CE；
【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（江干区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（ ）
A．85° B．90° C．95° D．105°
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠DAF＝∠BAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE＝10°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAE，
设∠BAE＝∠DAF＝x，
∴∠DAE＝75°+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝75°+x，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝75°+x，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴x+75°+x+75°+x＝180°，
∴x＝10°，
∴∠BAD＝95°，
∴∠C＝95°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
4．（上城区期末）如图，在▱ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，连接AE，CF，AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，且AE＝BE，求∠BAD的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得AE＝BE＝EF＝AF＝DF，可证△AEF是等边三角形，由等边三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵点E、F为对角线BD的三等分点，
∴BE＝EF＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
又∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝EF＝AF＝DF，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EAF＝∠EFA，∠FAD＝∠FDA，△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴∠BAE＝30°，∠FAD＝30°，
∴∠BAD＝120°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AEF是等边三角形是解题的关键．
5．（乐清市期末）如图，菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，则BD的长度为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．8
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝
AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，再由勾股定理求出OB＝12，得出BD＝2OB＝24即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝
AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝
＝
＝12，
∴BD＝2OB＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出OB的长是解题的关键．
6．（下城区月考）如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝3.5，AE＝6，求证四边形AECF的周长．
【分析】（1）利用平行线的判定方法得出AE∥CF，再利用菱形的对边平行得出AF∥CE，进而得出答案；
（2）利用菱形的性质结合平行线的性质得出∠BAE＝∠E，进而得出BE＝AB，再利用平行四边形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∵菱形ABCD，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴AB＝EB，
∵AD＝3.5，
∴AB＝EB＝BC＝3.5，
∵AE＝6，
∴AE+EC＝13，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长是26．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．
二．菱形的判定（共5小题）
7．（路北区期末）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：根据作图方法可得AC＝AD＝BD＝BC，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定定理．
8．（八公山区期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD
【分析】根据菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
9．（萧山区月考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EB＝ED，FC＝FD．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）如图2，连接AD，当点D为BC中点时，求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，得出FD∥AB，ED∥AC，则可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质证出∠BAD＝∠CAD，证出FA＝FD，根据菱形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵FC＝FD，
∴∠FDC＝∠C，
∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，
∴FD∥AB，ED∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE∥DF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴FA＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
10．（上城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ①③ ．（只填写序号）
【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
11．（阳新县期末）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、F两点在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当AD与AB满足什么数量关系时，四边形DEBF是菱形，请说明理由．
【分析】（1）证△ADE≌△CBF（SAS），得DE＝BF，∠AED＝∠BFC，则∠DEF＝∠BFE，证出DE∥BF，即可得出结论；
（2）证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得AC⊥BD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：当AD＝AB时，四边形DEBF是菱形；理由如下：
连接BD，如图所示：
∵AD＝AB，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
由（1）得：四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
三．菱形的判定与性质（共5小题）
12．（兖州区期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为 6
．
【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB＝BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC＝60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积＝底×高计算即可．
【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝
AB2+32，
解得AB＝2
，
∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2
×3＝6
．
故答案是：6
．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
13．（下城区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，求出OE＝OF，再根据菱形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质求出AO＝2，BO＝DO＝4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2＝20，AE2＝5，求出AD2+AE2＝DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△ADE是直角三角形，
理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，
∵DE2＝52＝25，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
即△ADE是直角三角形．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
14．（杭州期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
【分析】（1）证△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BAE＝∠DAF，∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，再由等腰三角形的性质得∠B＝∠AEB，设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，然后由平行线的性质得∠B+∠BAD＝180°，即x+3（180°﹣2x）＝180°，解得x＝72°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，
∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，
解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
15．（镇海区期中）把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若AD﹣AB＝1，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值是 2 ．
【分析】设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，由四边形的性质分别得出图2中阴影部分的周长和图3中阴影部分的周长，即可得出结果．
【解答】解：设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝n，AD＝BC＝m，
∵AD﹣AB＝1，
∴m﹣n＝1，
∴图2中阴影部分的周长＝2y+2（n﹣x）+2x+2（n﹣y）
＝2y+2n﹣2x+2x+2n﹣2y
＝4n，
图3中阴影部分的周长＝2（n﹣x）+2y+2x+2（m﹣y）
＝2n﹣2x+2y+2x+2m﹣2y
＝2m+2n，
∴图3中阴影部分的周长﹣图2中阴影部分的周长＝2m+2n﹣4n＝2（m﹣n）＝2×1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（永嘉县校级期末）已知有两张全等的矩形纸片．
（1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形ABCD的面积．
【分析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP＝AQ得平行四边形ABCD是菱形；
（2）设BC＝x，则CG＝6﹣x，CD＝BC＝x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面积．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形全等，
∴AR＝AS，
∵AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）设BC＝x，则CG＝6﹣x，CD＝BC＝x，
在Rt△CDG中，CG2+DG2＝CD2，
∴（6﹣x）2+32＝x2，
解得x＝
，
∴S＝BC•DG＝
．
【点评】本题是一道综合性质的题目，考查了菱形的判定和性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，是中考的常见题型．
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（永嘉县校级模拟）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×6＝24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
2．（永嘉县校级期末）如图，菱形ABCD中，已知∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD＝70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝
∠BAD＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3．（奎屯市三模）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A．
B．
C．3 D．6
【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．
【解答】解：如图，∵菱形的边长为6，一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，
∴AO＝
AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝
＝
＝3
，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3
＝6
．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分的性质，根据一个内角是60°，判断出较短的对角线与两邻边够成等边三角形是解题的关键．
4．（启东市期中）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【分析】设AP，EF交于O点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积＝△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
【解答】解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积＝△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积＝
AC•BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
5．（乐清市月考）一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解答】解：如图，当BD＝6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO＝
＝
＝4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
6．（迁西县期末）如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据菱形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝20°，
∴∠BCD＝110°，
在菱形ABCD中，
BC＝CD，
∴∠BDC＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查菱形，解题的关键熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
7．（温岭市期末）如图，阴影部分是一个菱形剪去一个平行四边形后所剩下的，要想知道阴影部分的周长，需要测量线段（ ）的长度．
A．AB与BC B．AB与DE C．AF D．AB
【分析】由平行四边形的性质可得BC＝DH，CD＝BH，由菱形的性质可得AF＝EF＝EH＝AH，即可求解．
【解答】解：如图，延长AB，ED交于点H，
∵四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，CD＝BH，
∵四边形AFEH是菱形，
∴AF＝EF＝EH＝AH，
∴阴影部分的周长＝AB+BC+CD+DE+EF+EF＝4AF，
故需要测量AF的长度，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的四边相等是解题的关键．
8．（西湖区期末）在菱形ABCD中，记∠ABC＝α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作L，若AD＝2，则（ ）
A．L与α的大小有关 B．当α＝45°时，S＝
C．S随α的增大而增大 D．S随α的增大而减小
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB＝BC＝CD＝2，可求L＝8，由S＝BC×AE＝2AE，可得S随AE的增大而增大，而AE随α的增大而增大，则S随α的增大而增大，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，
∴L＝AD+AB+BC+CD＝8，故选项A不合题意，
当α＝45°，AE⊥BC时，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AE，
∴AB＝
BE＝2，
∴BE＝AE＝
，
∴S＝BC×AE＝2
，故选项B不合题意；
∵S＝BC×AE＝2AE，
∴S随AE的增大而增大，
∵AE随α的增大而增大，
∴S随α的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握菱形的面积的公式是解题的关键．
9．（余杭区校级月考）菱形的对角线长分别是6和8，那么其边长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝4，OA＝3，再利用勾股定理可求解．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，
则AC⊥BD，OB＝4，OA＝3，
∴AB＝
，
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝4，OA＝3是解题的关键．
10．（永嘉县校级模拟）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8
，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4
B．10 C．12 D．16
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8
，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8
，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，
∴AH＝
＝
＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（下城区期末）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 16 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝10，OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△ABO中，由勾股定理求出OB，即可得出答案．
【解答】解：设菱形ABCD的两条对角线交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，边长是10，
∴AB＝10，OA＝OC＝
AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝
＝
＝8，
∴BD＝2OB＝16；
故答案为16．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
12．（西湖区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝4，菱形ABCD的面积为24，则BD的长为 6 ．
【分析】利用菱形的性质得到AC＝8，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC＝2OA＝8，S菱形ABCD＝
AC•BD，
∴24＝
×8BD，
∴BD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形的面积有两种表示法：（1）底乘高，（2）对角线乘积的一半，本题运用的是第二种．
13．（玄武区校级月考）两对角线分别是10cm和24cm的菱形面积是 120 cm2，周长是 52 cm．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积，利用勾股定理求得其边长，从而不难求得其周长．
【解答】解：菱形面积＝10×24÷2＝120（cm2）；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得，边长为13cm，
则周长是52（cm）．
故答案为120，52．
【点评】主要考查菱形的性质及勾股定理的综合运用．
14．（永嘉县校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝35°，则∠HOB的度数为 70° ．
【分析】四边形ABCD是菱形，BO＝DO，根据DH⊥AB，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，OH＝
BD＝OB，再根据三角形内角和即可求出∠HOB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝
BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
∴∠HOB＝180°﹣2∠OBH，
∵∠OAB＝∠CAD＝35°，
∴∠ABO＝90°﹣35°＝55°，
∴∠HOB＝180°﹣2×55°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
15．（饶平县校级期末）若一个菱形的两条对角线长分别是4和6，则它的边长是 
．
【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB并得到AC⊥BD，然后根据勾股定理列式计算即可求出AB的长．
【解答】解：如图，在菱形ABCD中，OA＝
×6＝3，OB＝
×4＝2，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝
＝
＝
，
所以，菱形的边长是：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．（永嘉县校级期末）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝60°，AB＝3，BE＝1，则PG的长度＝ 
．
【分析】延长GP交CD于H，由菱形的性质得出CD∥AB∥GF，BC＝CD＝AB＝3，BG＝GF＝BE＝1，由ASA证明△PGF≌△PHD，得出对应边相等PH＝PG，DH＝FG，得出CH＝CG，再根据等腰三角形三线合一的性质得出∠PCG＝
×120°＝60°，得出∠PGC＝30°，求出PC，得出PG即可．
【解答】解：延长GP交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，BC＝CD＝AB＝3，BG＝GF＝BE＝1，
∴∠PDH＝∠PFG，
∵P是线段DF的中点，
∴PD＝PF，
在△PGF和△PHD中，
，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴PH＝PG，DH＝FG＝1，
∵CH＝CD﹣DH＝3﹣1＝2，CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，
∴CH＝CG，
∴PG⊥PC，∠PCG＝∠PCH，
∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠PCG＝
×120°＝60°，
∴∠PGC＝30°，
∴PC＝
CG＝1，
∴PG＝
PC＝
；
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
17．（永嘉县校级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为 22 ．
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝4，AD∥BC，证明四边形AECF是平行四边形，得出CF＝AE＝3，AF＝CE，再由角的互余关系求出∠BAE＝∠E，得出BE＝AB＝4，求出CE，即可得出四边形AECF的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF＝AE＝3，AF＝CE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝4+4＝8，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+CE）＝2（3+8）＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形周长的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
18．（杨浦区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 25° ．
【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴HO＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，
故答案为25°．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
19．（永嘉县校级期末）如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AB＝6，求菱形的面积．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，进而得出∠AEC＝90°，四边形AECF是平行四边形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE的长，进而求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠AEC＝90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF＝
AD，EC＝
BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴AF∥EC且AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：在Rt△ABE中，AE＝
＝3
，
所以，S菱形ABCD＝6×3
＝18
．
【点评】此题主要考查了矩形的判定以及菱形的性质与面积求法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．
20．（安定区期末）矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，CE、DE交于点E，证明：四边形DOCE是菱形．
【分析】首先判断出DOCE是平行四边形，而四边形ABCD是矩形，由OC、OD是矩形对角线的一半，知OC＝OD，从而得出DOCE是菱形．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形DOCE是平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA＝
AC，OB＝OD＝
BD，
∴OC＝OD，
∴四边形DOCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
21．（滨江区校级月考）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
（1）求证：△EGD为直角三角形；
（2）若AB＝4，求线段EG的长．
【分析】（1）由轴对称的性质可得AE＝GE，∠BAE＝∠BGE＝120°，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠ABD＝30°，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
∵点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
∴AE＝GE，∠BAE＝∠BGE＝120°，
∴∠EGD＝60°，
∴∠GED＝90°，
∴△EGD为直角三角形；
（2）∵∠GED＝90°，∠ADB＝30°，
∴DE＝
EG＝
AE，
∵AB＝4，
∴AE+
AE＝4，
∴AE＝2
﹣2，
∴EG＝2
﹣2．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（阿荣旗二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．
（1）求证：四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝
，求AD的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得EF＝
AB，EF∥AB，CF＝
BC，可得AB∥CD∥EF，EF＝CF＝CD，由菱形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，由勾股定理可得EG＝GC＝
，可求AG＝AE+EG＝4，由勾股定理可求AD的长．
【解答】证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF＝
AB，EF∥AB，CF＝
BC，AE＝CE
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF，
∵AB＝BC＝2CD
∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF
∴四边形CDEF为菱形；
（2）如图，DF与EC交于点G
∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，
∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，
∴EG＝GC＝
＝
∴AE＝CE＝2EG＝
∴AG＝AE+EG＝4
∴AD＝
＝
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
23．（长兴县期末）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．
【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝DF，
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）如图，连接EB交AD于O．
在Rt△EFD中，∵∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，
∴DF＝
＝5，
∵四边形EFBC是菱形，
∴BE⊥CF，
∴EO＝
，
∴OF＝OC＝
＝
，
∴CF＝
，
∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣
＝
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（赞皇县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20
cm
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝
AB＝20
cm；
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
2．（镇海区期末）如图1，图形A、图形B是含60°内角的全等的平行四边形纸片（非菱形），先后按图2（2B）、图3（1A1B）的方式放置在同一个含60°内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ）
A．图形①与图形③的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和
C．图形②与图形⑤的周长和 D．图形④与图形⑥的周长差
【分析】根据题意设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到（x﹣y）为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项．
【解答】解：设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，
图形②的面积S2＝sin60°（2x﹣a）（2y﹣a）＝
（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），
图形⑤的面积S5＝sin60°（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝
（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），
∴S5﹣S2＝
（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣
（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝
（x2+y2﹣2xy）＝
（x﹣y）2，
图形②的C2＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
图形⑤的C5＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
∴C2+C5＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，
故C选项不符合题意；
图形①的周长C1＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
图形③的周长C3＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
∴C1+C3＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，
故A选项不符合题意；
图形④的周长C4＝4（a﹣x），
图形⑥的周长C6＝4（a﹣y），
∴C4+C6＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，
故B选项不符合题意；
∴C4﹣C6＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），
根据题意S5﹣S2＝
（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、全等图形和平行四边形的性质，解题的关键是根据用字母根据菱形及平行四边形的性质表示出各条线段．
二．填空题（共6小题）
3．（鄞州区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC，DC上，BE＝DF，AE＝AB，若∠EAF＝30°，则∠D的度数是 70° ．
【分析】证△ABE≌△ADF（SAS），得∠BAE＝∠DAF，再证出∠BAD+∠B＝180°，∠B＝∠AEB，设∠B＝∠D＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，然后得2（180°﹣2x）+30°+x＝180°，解得x＝70°即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵AE＝AB，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠D＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，
∴∠BAD＝2（180°﹣2x）+30°，
∴2（180°﹣2x）+30°+x＝180°，
解得：x＝70°，
即∠D＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
4．（镇海区期中）把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若AD﹣AB＝1，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值是 2 ．
【分析】设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，由四边形的性质分别得出图2中阴影部分的周长和图3中阴影部分的周长，即可得出结果．
【解答】解：设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝n，AD＝BC＝m，
∵AD﹣AB＝1，
∴m﹣n＝1，
∴图2中阴影部分的周长＝2y+2（n﹣x）+2x+2（n﹣y）
＝2y+2n﹣2x+2x+2n﹣2y
＝4n，
图3中阴影部分的周长＝2（n﹣x）+2y+2x+2（m﹣y）
＝2n﹣2x+2y+2x+2m﹣2y
＝2m+2n，
∴图3中阴影部分的周长﹣图2中阴影部分的周长＝2m+2n﹣4n＝2（m﹣n）＝2×1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（鄞州区校级期中）若菱形的面积为60，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 12 ．
【分析】设另一条对角线长为x，由菱形面积公式得出方程，解方程即可．
【解答】解：设另一条对角线长为x，
∵菱形的面积为60，一条对角线长为10，
∴
×10x＝60，
解得：x＝12，
即另一条对角线长为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积＝两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
6．（汉阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是 15° ．
【分析】根据菱形的性质得出DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CAB＝
DAB＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，求出∠ADC＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的判定得出△DCN≌△BCN，根据全等三角形的性质得出∠CDN＝∠CBN，根据线段垂直平分线的性质得出AN＝BN，求出∠NBA＝∠CAB＝55°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CAB＝
DAB＝
＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∵∠BAD＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，
∴∠ABC＝70°，
在△DCN和△BCN中，
，
∴△DCN≌△BCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBN，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠NBA＝∠CAB＝55°，
∴∠CDN＝∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝70°﹣55°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了平行线的性质，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
7．（上城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ①③ ．（只填写序号）
【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
8．（萧山区月考）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD和BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上，已知AE＝ED，
＝m，则S菱形ABCD：S矩形EFGH的值为 2m ．（用含m的代数式表示）
【分析】如图，连接EG，过点E作EM⊥BD于点M，连接AC，交BD于点O，可得FH＝EG＝AB，由
＝m，可得BD＝mAD，结合矩形和菱形的面积可得：S菱形ABCD＝2S△ABD＝BD•AO＝mAD•AO，S矩形EFGH＝2S△EFH＝
AD•AO，再求比值即可．
【解答】解：如图，连接EG，过点E作EM⊥BD于点M，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDH＝∠GBF，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH，
∴180°﹣∠EHF＝180°﹣∠GFH，
即∠DHE＝∠BFG，
在△DEH和△BGF中，
，
∴△DEH≌△BGF（AAS），
∴DE＝BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AC⊥BD，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED＝
AD，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴EG＝AB，
∴FH＝EG＝AB，
∵
＝m，
∴BD＝mAD，
∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×
BD•AO＝BD•AO＝mAD•AO，
在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，AE＝ED，
∴OE＝ED，
∵EM⊥OD，
∴OM＝MD，
∴EM是△AOD的中位线，
∴EM＝
AO，
∴S矩形EFGH＝2S△EFH＝2×
FH•EM＝
AD•AO，
∴S菱形ABCD：S矩形EFGH＝
＝2m，
故答案为：2m．
【点评】本题主要考查菱形的性质，矩形的性质，菱形及矩形的面积公式等内容，掌握菱形及矩形的性质是解题关键．
三．解答题（共6小题）
9．（永嘉县校级期末）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【解答】证明：
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．
10．（苍南县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AB的延长线上，且AB＝BE，连结CE．
（1）求证：BD∥EC．
（2）若AD＝5，CE＝6，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可证四边形BDCE是平行四边形，可得BD＝CE；
（2）由平行四边形的性质可得BD＝EC＝6，由菱形的性质可得BO＝DO＝3，AO＝CO，AC⊥BD，在Rt△ADO中，由勾股定理可求AO＝4，由菱形的面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AB＝BE，
∴BE＝CD，
又∵BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BD∥CE；
（2）∵四边形BDCE是平行四边形，
∴BD＝EC＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝3，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO＝
＝
＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积＝
×AC×BD＝24．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
11．（江干区校级期末）如图，在▱ABCD和▱BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N，
（1）四边形BNDM一定是平行四边形吗？为什么？
（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形，请说明理由．
【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形BNDM是平行四边形即可；
（2）添加条件AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证．
【解答】证明：（1）∵在▱ABCD和▱BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N，
∴BC∥AD，BE∥DF，
∴四边形BNDM是平行四边形，
（2）当AB＝BF时，四边形BNDM是菱形．
∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°，
∴∠ABM＝∠FBN．
在△ABM和△FBN中，
，
∴△ABM≌△FBN（ASA），
∴BM＝BN，
∴四边形BNDM是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定及矩形的性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
12．（卢龙县期末）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E．求证：四边形OCED是菱形．
【分析】由DE∥AC，EC∥BD，易得四边形OCED是平行四边形，又矩形的对角线相等且平分，可得OC＝OD，则四边形OCED是菱形．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD＝OC，
∴四边形OCDE是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，掌握基本的性质与判定是解决问题的关键．
13．（西湖区校级自主招生）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG＝∠BAD，连接EC，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝
，求GD的长．
【分析】（1）只要证明△AEB≌△AGD即可解决问题．
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，利用勾股定理求出线段EB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
∵
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝
AB＝1，
AP＝
＝
，AE＝AG＝
，
∴EP＝2
，
∴EB＝
＝
，
∴GD＝
．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会用转化的思想思考问题，求线段DG转化为求线段EB，属于中考常考题型．
14．（金寨县期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
（1）证明▱ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝
∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝
BD＝5
．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．